Esercizio 30due fili paralleli e un dipolo magnetico

Testo (I appello, 26 gennaio 2021, problema 2). Due fili, percorsi da corrente di intensità $i = 0{,}2\ \text{A}$ uscente dal foglio e paralleli all'asse $z$, attraversano il piano $xy$ nell'origine e nel punto posto in $b = 2\ \text{cm}$ lungo l'asse $y$.

1. Si trovi il campo magnetico $\vec B$ nei punti $P$ e $Q$ situati rispettivamente sull'asse $x$ a $x_1 = 3\ \text{cm}$ e sull'asse $y$ a $y_2 = 3\ \text{cm}$.
2. Tenendo fisso un dipolo magnetico $\vec m = (0{,}01\ \text{A m}^2)\,\hat u_x$ e spostandolo dal punto $P$ al punto $Q$, quanta energia si guadagna o si perde (specificare)?
3. Quale punto bisognerebbe scegliere sull'asse $y$ come punto finale dello spostamento in modo da non avere nessuna variazione dell'energia potenziale?

Teoria: Prima legge di Laplace e legge di Biot-SavartOgni tratto di filo percorso da corrente produce un campo dB = (μ0/4π) i dl × u_r / r² (prima legge elementare di Laplace). Integrando: filo rettilineo indefinito B = μ0 i/2πR (Biot-Savart), con linee di campo circolari; spira circolare al centro B = μ0 i/2R, sull'asse uguale al campo di un dipolo magnetico lontano. Due fili paralleli si attraggono se le correnti sono concordi, con forza per unità di lunghezza μ0 i1 i2/2πd.Prima legge di Laplace e legge di Biot-Savart →, Forza magnetica su un conduttore e momento su una spiraSu un tratto di filo percorso da corrente agisce la forza dF = i dl × B (seconda legge elementare di Laplace); su un filo rettilineo in campo uniforme F = i l B sinθ. Nell'effetto Hall la forza sui portatori produce una tensione trasversale che misura B. Una spira in un campo uniforme non sente forza totale ma un momento M = m × B, con momento magnetico m = i S n; l'energia è U = −m·B. Su questo funzionano galvanometro e motore elettrico.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira →.

Il campo di un filo, in componenti

Un filo indefinito lungo $z$ con corrente uscente ($+z$) produce a distanza $d$ un campo di modulo $\dfrac{\mu_0 i}{2\pi d}$ (legge di Biot-SavartB = μ0 i/(2πR), linee di campo circolari attorno al filo, verso dato dalla mano destra.Prima legge di Laplace e legge di Biot-Savart →), tangente alla circonferenza attorno al filo, in verso antiorario visto dall'alto (mano destra con il pollice uscente). Se $\hat u_r = (u_x, u_y)$ è il versore che va dal filo al punto, la direzione del campo è $\hat u_z \times \hat u_r = (-u_y,\ u_x)$.

Un valore che torna spesso: $\dfrac{\mu_0 i}{2\pi} = 2 \cdot 10^{-7} \cdot 0{,}2 = 4 \cdot 10^{-8}\ \text{T m}$.

1) Campo in $P$ e in $Q$

In $P = (3, 0)\ \text{cm}$.

• Filo nell'origine: distanza $3\ \text{cm}$, $\hat u_r = \hat u_x$, campo lungo $\hat u_z \times \hat u_x = \hat u_y$: $\vec B_1 = \dfrac{4 \cdot 10^{-8}}{0{,}03}\,\hat u_y = 1{,}33 \cdot 10^{-6}\ \text{T}\ \hat u_y$.
• Filo in $(0, 2)\ \text{cm}$: distanza $d = \sqrt{3^2 + 2^2} = 3{,}61\ \text{cm}$; $\hat u_r = (3, -2)/3{,}61 = (0{,}832;\ -0{,}555)$; direzione del campo $(0{,}555;\ 0{,}832)$; modulo $4 \cdot 10^{-8}/0{,}0361 = 1{,}11 \cdot 10^{-6}\ \text{T}$. Quindi $\vec B_2 = (6{,}15 \cdot 10^{-7};\ 9{,}23 \cdot 10^{-7})\ \text{T}$.

$$\vec B_P = (6{,}15 \cdot 10^{-7})\,\hat u_x + (2{,}26 \cdot 10^{-6})\,\hat u_y\ \text{T}$$

In $Q = (0, 3)\ \text{cm}$. Entrambi i fili stanno sotto $Q$ sull'asse $y$, quindi $\hat u_r = \hat u_y$ per tutti e due e il campo è lungo $\hat u_z \times \hat u_y = -\hat u_x$; le distanze sono $3\ \text{cm}$ e $1\ \text{cm}$:

$$\vec B_Q = -4 \cdot 10^{-8}\left(\frac{1}{0{,}03} + \frac{1}{0{,}01}\right)\hat u_x = -5{,}33 \cdot 10^{-6}\ \text{T}\ \hat u_x$$

2) Energia nello spostamento da $P$ a $Q$

Il dipolo ha orientazione fissa $\vec m = m\,\hat u_x$; la sua energia potenziale è $U = -\vec m \cdot \vec B = -m B_x$ (energia di un dipolo magneticoU = −m·B; spostando un dipolo con orientazione fissa conta solo la componente del campo lungo m.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira →). Conta solo la componente $x$ del campo:

$$\Delta U = U_Q - U_P = -m\,(B_{Q,x} - B_{P,x}) = -0{,}01 \cdot (-5{,}33 \cdot 10^{-6} - 6{,}15 \cdot 10^{-7}) = +5{,}95 \cdot 10^{-8}\ \text{J}$$

L'energia potenziale aumenta: in $P$ il dipolo era (in parte) concorde con il campo, in $Q$ è opposto al campo, configurazione sfavorevole. Il campo compie lavoro negativo, e un agente esterno deve fornire $5{,}95 \cdot 10^{-8}\ \text{J}$.

3) Punto dell'asse $y$ con la stessa energia

Serve un punto $(0, y)$ in cui $B_x(y) = B_{P,x} = 6{,}15 \cdot 10^{-7}\ \text{T}$. Sull'asse $y$ il campo dei due fili è tutto lungo $x$; con le distanze con segno si scrive in un'unica formula valida per ogni $y$:

$$B_x(y) = -\frac{\mu_0 i}{2\pi}\left(\frac1y + \frac{1}{y - b}\right)$$

(per esempio sopra entrambi i fili, $y > b$, i due termini sono positivi e il campo punta verso $-x$, come in $Q$; tra i due fili il primo termine domina vicino all'origine.) Ponendolo uguale a $B_{P,x}$:

$$\frac1y + \frac{1}{y - b} = -\frac{2\pi B_{P,x}}{\mu_0 i} = -\frac{6{,}15 \cdot 10^{-7}}{4 \cdot 10^{-8}} = -15{,}4\ \text{m}^{-1} \equiv K$$

Moltiplicando per $y(y - b)$: $(y - b) + y = K\,y(y - b)$, cioè

$$K y^2 - (Kb + 2)\,y + b = 0 \quad\Longrightarrow\quad -15{,}4\,y^2 - 1{,}69\,y + 0{,}02 = 0$$

$$y = \frac{-1{,}69 \pm \sqrt{1{,}69^2 + 4 \cdot 15{,}4 \cdot 0{,}02}}{2 \cdot 15{,}4} \quad\Longrightarrow\quad y_1 = +1{,}08\ \text{cm}, \qquad y_2 = -12{,}1\ \text{cm}$$

Il primo punto sta tra i due fili, il secondo sotto l'origine. In entrambi il campo vale $+6{,}15 \cdot 10^{-7}\ \text{T}$ lungo $x$, e lo spostamento da $P$ non cambia l'energia.

Verifica numerica

import numpy as np
mu0, i, b = 4e-7*np.pi, 0.2, 0.02
def Bfilo(P, F):
    r = np.array(P) - np.array(F); d = np.linalg.norm(r); u = r/d
    return mu0*i/(2*np.pi*d)*np.array([-u[1], u[0]])
P, Q = (0.03, 0), (0, 0.03)
BP = Bfilo(P, (0, 0)) + Bfilo(P, (0, b)); BQ = Bfilo(Q, (0, 0)) + Bfilo(Q, (0, b))
print(BP, BQ)                              # [6.15e-7 2.26e-6], [-5.33e-6 0]
print(-0.01*(BQ[0] - BP[0]))               # 5.95e-8 J
K = -2*np.pi*BP[0]/(mu0*i)
print(np.roots([K, -(K*b + 2), b]))        # -0.121 m, 0.0108 m

Risultati

Errori comuni

• Dare al campo la direzione del raggio: il campo di un filo è tangente alle circonferenze attorno al filo, perpendicolare al raggio.
• Usare i moduli dei campi nell'energia: con il dipolo fisso lungo $x$ conta solo $B_x$.
• Scartare la radice negativa al punto 3: rappresenta un punto reale dell'asse, sotto l'origine.