Esercizio 43induttore e condensatore in un circuito con due interruttori

Testo (I appello, 23 gennaio 2025, problema 2). Nel circuito mostrato in figura i resistori hanno rispettivamente resistenza $R_1 = 100\ \Omega$ e $R_2 = 220\ \Omega$, mentre il condensatore ha capacità $C = 100\ \text{nF}$. Sapendo che con entrambi gli interruttori $S_1$ e $S_2$ chiusi, in condizioni di regime, la carica presente sulle armature del condensatore è $Q = 5\ \mu\text{C}$, determinare:

1. la forza elettromotrice $\mathcal E$ del generatore nel circuito.

Se invece si mantiene $S_2$ aperto e si chiude all'istante $t_0 = 0$ l'interruttore $S_1$, si osserva che all'istante $t_1 = 20\ \text{ms}$ l'intensità di corrente nei resistori è $i_1 = 194\ \text{mA}$. Calcolare:

2. l'induttanza $L$ dell'induttore inserito nel circuito.

Determinare inoltre:

3. l'energia totale $U$ immagazzinata nel circuito a regime ($S_1$ e $S_2$ chiusi).

La figura, a parole: due nodi $A$ (in alto) e $B$ (in basso). Tra $A$ e $B$ c'è un ramo centrale con l'induttore $L$ e la resistenza $R_2$ in serie. A destra, da $A$ a $B$, c'è il ramo con $R_1$, il generatore $\mathcal E$ e l'interruttore $S_1$. A sinistra, da $A$ a $B$, c'è il ramo con l'interruttore $S_2$ e il condensatore $C$. Quindi il condensatore, quando $S_2$ è chiuso, è in parallelo al ramo $L$–$R_2$.

Teoria: Autoinduzione, circuiti RL ed energia magneticaLa corrente di un circuito produce un flusso concatenato con il circuito stesso, Φ = L i; L (induttanza, in henry) dipende solo dalla geometria: per un solenoide L = μ0 n² S ℓ. Se la corrente cambia nasce una f.e.m. autoindotta −L di/dt che si oppone alla variazione. In un circuito RL la corrente cresce come i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)) e si spegne come i0 e^(−t/τ), con τ = L/R. Un induttore percorso da corrente immagazzina l'energia ½ L i², distribuita nel campo con densità u = B²/2μ0.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica →, Carica e scarica di un condensatoreIn un circuito RC la carica del condensatore non cambia di colpo: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), in scarica q(t) = q0 e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC. Dopo qualche τ il transitorio è finito. Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà finisce nel condensatore e metà si dissipa nella resistenza, qualunque sia R.Carica e scarica di un condensatore →, Circuiti in corrente continuaUn generatore mantiene la corrente grazie a una forza elettromotrice ℰ (lavoro per unità di carica del campo elettromotore non conservativo); con resistenza interna r fornisce V = ℰ − r i. Resistori in serie: R1 + R2; in parallelo: inversi che si sommano. Le leggi di Kirchhoff (nodi e maglie) risolvono qualunque rete; amperometro in serie con resistenza piccola, voltmetro in parallelo con resistenza grande.Circuiti in corrente continua →.

1) F.e.m. del generatore

A regime (tutte le grandezze costanti):

• nel ramo del condensatore non passa corrente: il condensatore è un circuito aperto;
• l'induttore, con corrente costante, ha ai capi $L\,di/dt = 0$: è un filo.

Resta una sola maglia: generatore, $R_1$, $L$ (filo), $R_2$. La corrente è

$$i_0 = \frac{\mathcal E}{R_1 + R_2}$$

La tensione sul condensatore è quella tra $A$ e $B$, cioè ai capi del ramo $L$–$R_2$: $V_{AB} = R_2\,i_0$ (sull'induttore non c'è tensione). Dalla carica:

$$V_{AB} = \frac{Q}{C} = \frac{5 \cdot 10^{-6}}{10^{-7}} = 50\ \text{V}$$

È un partitore di tensione: $V_{AB} = \mathcal E\,\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}$, quindi

$$\mathcal E = V_{AB}\,\frac{R_1 + R_2}{R_2} = 50 \cdot \frac{320}{220} = 72{,}7\ \text{V}$$

e $i_0 = 72{,}7/320 = 0{,}227\ \text{A}$.

2) Induttanza

Con $S_2$ aperto il condensatore è escluso, e chiudendo $S_1$ si ha un semplice circuito RLAlla chiusura i(t) = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)) con τ = L/R.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica → con resistenza totale $R_1 + R_2$:

$$i(t) = \frac{\mathcal E}{R_1 + R_2}\left(1 - e^{-t/\tau}\right) = i_0\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = \frac{L}{R_1 + R_2}$$

Si inverte per trovare $\tau$. A $t_1$ la corrente è $i_1 = 0{,}194\ \text{A}$, cioè la frazione $i_1/i_0 = 0{,}854$ del valore finale:

$$e^{-t_1/\tau} = 1 - \frac{i_1}{i_0} = 1 - 0{,}854 = 0{,}146 \quad\Longrightarrow\quad \tau = \frac{-t_1}{\ln 0{,}146} = \frac{0{,}020}{1{,}92} = 10{,}4\ \text{ms}$$

$$L = \tau\,(R_1 + R_2) = 10{,}4 \cdot 10^{-3} \cdot 320 = 3{,}33\ \text{H}$$

($t_1$ è circa $2\tau$: in due costanti di tempo la corrente arriva all'$86\%$, coerente con l'$85{,}4\%$ osservato.)

Sensibilità ai dati. Il risultato dipende molto da $i_1$: siccome $i_1$ è vicina a $i_0$, il logaritmo di $1 - i_1/i_0$ amplifica gli arrotondamenti. Con $i_1 = 0{,}193$ o $0{,}195\ \text{A}$ si otterrebbe $L = 3{,}38$ o $3{,}28\ \text{H}$: un errore di $1\ \text{mA}$ su $i_1$ (lo $0{,}5\%$) sposta $L$ dell'$1{,}5\%$, e la terza cifra significativa di $L$ è già incerta.

3) Energia immagazzinata a regime

Con entrambi gli interruttori chiusi, a regime, l'energia è in due posti:

• nel condensatore, carico a $V_{AB} = 50\ \text{V}$: $U_C = \frac12 C V_{AB}^2 = \frac12 \cdot 10^{-7} \cdot 2500 = 1{,}25 \cdot 10^{-4}\ \text{J}$;
• nell'induttore, percorso da $i_0 = 0{,}227\ \text{A}$: $U_L = \frac12 L i_0^2 = \frac12 \cdot 3{,}33 \cdot 0{,}0517 = 8{,}60 \cdot 10^{-2}\ \text{J}$.

$$U = U_C + U_L = 0{,}000125 + 0{,}0860 = 8{,}61 \cdot 10^{-2}\ \text{J} = 86{,}1\ \text{mJ}$$

L'energia magnetica è quasi tutto: il condensatore da $100\ \text{nF}$ a $50\ \text{V}$ contiene appena un decimo di millijoule, mentre un induttore da qualche henry con un quarto di ampere ne contiene $86$.

Verifica numerica

import numpy as np
R1, R2, C, Q, t1, i1 = 100, 220, 100e-9, 5e-6, 20e-3, 0.194
VAB = Q/C; E = VAB*(R1 + R2)/R2; i0 = E/(R1 + R2)
L = -(R1 + R2)*t1/np.log(1 - i1/i0)
print(VAB, E, i0, L)                                # 50 V, 72.7 V, 0.227 A, 3.33 H
print(0.5*C*VAB**2, 0.5*L*i0**2)                    # 1.25e-4 J, 0.0860 J
for x in (0.193, 0.195): print(-(R1 + R2)*t1/np.log(1 - x/i0))   # 3.38 H, 3.28 H

Risultati

Errori comuni

• Mettere tutta la f.e.m. sul condensatore: il condensatore è in parallelo al ramo $L$–$R_2$, quindi ha la tensione di $R_2$ (l'induttore a regime non ha tensione).
• Far passare corrente nel condensatore a regime: in continua, a regime, il suo ramo è aperto.
• Usare solo $R_2$ nella costante di tempo: la corrente attraversa $R_1$ e $R_2$ in serie, $\tau = L/(R_1 + R_2)$.