Principio di Huygens, riflessione e rifrazione

Segue Onde elettromagneticheUn'onda è una perturbazione f(x − vt) che si propaga senza deformarsi e soddisfa l'equazione delle onde; un'onda armonica è E0 sin(kx − ωt), con k = 2π/λ, ω = 2πf, v = λf = ω/k. Dalle equazioni di Maxwell nel vuoto E e B soddisfano l'equazione delle onde con velocità c = 1/√(μ0ε0) = 3·10⁸ m/s. L'onda piana è trasversale: E, B e direzione di propagazione sono perpendicolari, E = cB, in fase. Nei mezzi v = c/n. Trasporta energia: vettore di Poynting S = E × B/μ0, intensità I = ½ cε0 E0²; e quantità di moto: pressione di radiazione I/c (assorbita).Onde elettromagnetiche →. Prosegue in Coefficienti di Fresnel e angolo di BrewsterIl campo elettrico dell'onda si scompone nella componente σ (perpendicolare al piano di incidenza) e π (nel piano). I coefficienti di Fresnel danno i rapporti tra le ampiezze: rσ = −sin(θi−θt)/sin(θi+θt), rπ = tan(θi−θt)/tan(θi+θt); a incidenza normale r = (n1−n2)/(n1+n2). La frazione di potenza riflessa è R = r², quella trasmessa T = 1 − R; aria-vetro a incidenza normale R = 4%. L'intensità trasmessa è T·Ii·cosθi/cosθt perché il fascio cambia sezione. Riflettendo su un mezzo più denso l'onda si inverte (sfasamento π). All'angolo di Brewster tan θB = n2/n1 (θi + θt = 90°) la componente π non viene riflessa: la luce riflessa è tutta polarizzata σ.Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster →. Esercizi: Esercizio 50 · lastra a facce parallele, spostamento del raggio e misura di n, Esercizio 51 · cubo di vetro pieno di gas attraversato da un laser.

Ottica geometrica e ottica fisica

La luce si può descrivere in due modi.

• Ottica geometrica: la luce viaggia lungo raggi rettilinei, che si riflettono e si rifrangono sulle superfici. Funziona quando gli oggetti (fori, lenti, ostacoli) sono molto più grandi della lunghezza d'onda.
• Ottica fisica (od ondulatoria): la luce è un'onda elettromagnetica, descritta dai fronti d'onda. Serve quando entrano in gioco le fasi: interferenza, diffrazione, polarizzazione, e per sapere quanta luce viene riflessa.

Il raggio non è altro che la direzione di propagazione dell'onda, perpendicolare ai fronti d'onda. Il corso tratta quasi solo l'ottica fisica: dell'ottica geometrica servono le leggi di riflessione e rifrazione dei raggi (questa nota), mentre lenti e specchi curvi non sono in programma.

Fronti d'onda e principio di Huygens

Un fronte d'onda è una superficie su cui l'onda ha in ogni punto la stessa fase (per esempio, tutti i punti in cui il campo è massimo nello stesso istante). Per un'onda piana i fronti sono piani perpendicolari alla propagazione, per un'onda sferica sono sfere centrate nella sorgente.

Principio di Huygens (-Fresnel). Ogni punto di un fronte d'onda si comporta come una sorgente puntiforme di onde sferiche secondarie, con la stessa frequenza dell'onda e in fase con essa. Il fronte d'onda in un istante successivo è la superficie che inviluppa (tocca tutte) le onde secondarie.

Esempio: un fronte piano all'istante $t$. Dopo un tempo $\Delta t$ ogni onda secondaria è una sfera di raggio $v\,\Delta t$; il piano tangente a tutte queste sfere è il nuovo fronte, spostato in avanti di $v\,\Delta t$. Il principio sembra banale per un'onda libera, ma permette di capire cosa succede quando il fronte incontra un mezzo diverso (rifrazione, qui sotto) o un ostacolo (interferenza e diffrazione, Diffrazione da una fenditura e reticoloLa diffrazione è l'allargarsi di un'onda oltre un'apertura o un ostacolo, evidente quando l'apertura è confrontabile con λ. Per Huygens ogni punto della fenditura è una sorgente: è l'interferenza di infinite sorgenti. Diffrazione di Fraunhofer (schermo lontano) da una fenditura di larghezza a: I = Imax (sin α/α)² con α = π a sin θ/λ; minimi per a sin θ = mλ (m ≠ 0), massimo centrale largo il doppio degli altri, massimi secondari deboli (4,7%, 1,6%...). Con N fenditure di larghezza a e passo d l'intensità è la figura di interferenza di N sorgenti modulata dalla diffrazione della singola fenditura. Reticolo: massimi principali d sin θ = mλ, diversi per ogni colore; potere risolutivo λ/Δλ = mN.Diffrazione da una fenditura e reticolo →).

Indice di rifrazione e intensità nei mezzi

Come visto in Onde elettromagneticheUn'onda è una perturbazione f(x − vt) che si propaga senza deformarsi e soddisfa l'equazione delle onde; un'onda armonica è E0 sin(kx − ωt), con k = 2π/λ, ω = 2πf, v = λf = ω/k. Dalle equazioni di Maxwell nel vuoto E e B soddisfano l'equazione delle onde con velocità c = 1/√(μ0ε0) = 3·10⁸ m/s. L'onda piana è trasversale: E, B e direzione di propagazione sono perpendicolari, E = cB, in fase. Nei mezzi v = c/n. Trasporta energia: vettore di Poynting S = E × B/μ0, intensità I = ½ cε0 E0²; e quantità di moto: pressione di radiazione I/c (assorbita).Onde elettromagnetiche →, in un mezzo trasparente la luce viaggia con velocità $v = c/n$, dove

$$n = \frac{c}{v} = \sqrt{\varepsilon_r\mu_r} \approx \sqrt{\varepsilon_r}$$

è l'indice di rifrazione ($n \geq 1$). La frequenza è fissata dalla sorgente e non cambia passando da un mezzo all'altro; cambia la lunghezza d'onda, $\lambda = \lambda_0/n$, con $\lambda_0$ la lunghezza d'onda nel vuoto. Un mezzo con $n$ più grande si dice otticamente più denso.

Impedenza del vuoto. Negli esercizi del prof l'intensità si scrive spesso con la costante

$$Z_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = \frac{1}{\varepsilon_0 c} = 376{,}7\ \Omega \approx 377\ \Omega$$

(si misura in ohm perché è il rapporto tra $E$, in V/m, e $H = B/\mu_0$, in A/m). Con essa:

$$\boxed{I = \frac{1}{2}\,c\,\varepsilon_0\,E_0^2 = \frac{E_0^2}{2Z_0}\ \ \text{(vuoto)}, \qquad I = \frac{n\,E_0^2}{2Z_0}\ \ \text{(mezzo di indice } n\text{)}}$$

La seconda viene da $I = \frac12 v\,\varepsilon E_0^2$ con $v = c/n$ ed $\varepsilon = \varepsilon_0 n^2$ (se $\mu_r = 1$): $\frac12\frac{c}{n}\varepsilon_0 n^2 E_0^2 = \frac{n}{2}c\,\varepsilon_0 E_0^2 = \frac{nE_0^2}{2Z_0}$. Nel mezzo vale anche $B_0 = E_0/v = nE_0/c$.

Leggi della riflessione e della rifrazione

Un'onda piana viaggia nel mezzo 1 (indice $n_1$) e incontra la superficie piana di separazione con il mezzo 2 (indice $n_2$). Si osserva che nascono due onde: una riflessa, che torna nel mezzo 1, e una trasmessa (o rifratta), che entra nel mezzo 2.

Nomi degli angoli. Si misurano sempre rispetto alla normale alla superficie (non rispetto alla superficie!): $\theta_i$ angolo di incidenza, $\theta_r$ angolo di riflessione, $\theta_t$ angolo di trasmissione (o di rifrazione). Il piano che contiene il raggio incidente e la normale si chiama piano di incidenza.

Dimostrazione (continuità sulla superficie). Mettiamo la superficie nel piano $z = 0$, con la normale lungo $z$. Le tre onde hanno la forma $E_0\sin(\vec k \cdot \vec r - \omega t)$, ciascuna con il suo vettore d'onda ($\vec k_i$, $\vec k_r$, $\vec k_t$) e la sua pulsazione. Sulla superficie i campi dei due lati sono legati da condizioni di raccordo (le stesse di campi all'interfaccia tra due dielettriciLe componenti di E parallele alla superficie sono uguali sui due lati, perché la circuitazione di E su un rettangolino sottilissimo a cavallo della superficie è nulla (il flusso di B attraverso un rettangolo di area nulla è nullo).Dielettrici e polarizzazione →). Perché una relazione del genere valga in ogni punto della superficie e in ogni istante, le tre onde devono oscillare "a tempo" tra loro, cioè avere la stessa fase in ogni punto $(x, y, 0)$ e in ogni $t$:

$$\vec k_i \cdot \vec r - \omega_i t = \vec k_r \cdot \vec r - \omega_r t = \vec k_t \cdot \vec r - \omega_t t \qquad \text{per ogni } x,\ y,\ t$$

Da qui escono tutte le leggi, guardando separatamente i coefficienti di $t$, di $x$ e di $y$.

1. Coefficiente di $t$: $\omega_i = \omega_r = \omega_t$. La frequenza non cambia.
2. Coefficiente di $y$: scegliamo gli assi in modo che l'onda incidente stia nel piano $xz$, cioè $k_{iy} = 0$. Allora anche $k_{ry} = k_{ty} = 0$: i raggi riflesso e trasmesso stanno nel piano di incidenza.
3. Coefficiente di $x$: $k_{ix} = k_{rx} = k_{tx}$. La componente di $\vec k$ lungo la superficie è $k\sin\theta$, quindi

$$k_i\sin\theta_i = k_r\sin\theta_r = k_t\sin\theta_t$$

Ora si usa il modulo di $\vec k$ in ciascun mezzo: $k = \frac{\omega}{v} = \frac{n\,\omega}{c}$.

• L'onda riflessa sta nello stesso mezzo dell'incidente, quindi $k_r = k_i$ e

$$\boxed{\theta_r = \theta_i} \qquad \text{(legge della riflessione)}$$

• L'onda trasmessa ha $k_t = n_2\omega/c$, l'incidente $k_i = n_1\omega/c$; semplificando $\omega/c$:

$$\boxed{n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t} \qquad \text{(legge di Snell)}$$

(Questa dimostrazione è una tipica domanda d'orale.)

La stessa legge con Huygens. Un fronte piano $AB$ arriva obliquo sulla superficie: il punto $A$ la tocca per primo. Nel tempo $\Delta t$ in cui l'estremo $B$ percorre nel mezzo 1 il tratto $v_1\Delta t$ fino alla superficie (punto $B'$), l'onda secondaria partita da $A$ si allarga nel mezzo 2 solo fino al raggio $v_2\Delta t$. Il nuovo fronte è la retta da $B'$ tangente a questa sfera. Nei due triangoli rettangoli che hanno per ipotenusa comune $AB'$:

$$\sin\theta_i = \frac{v_1\Delta t}{AB'}, \qquad \sin\theta_t = \frac{v_2\Delta t}{AB'} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sin\theta_i}{\sin\theta_t} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}$$

Il fronte "si piega" perché la parte che è già entrata nel mezzo lento rallenta, come una fila di soldati che entra obliquamente nel fango.

Cosa dice Snell, in pratica.

• $n_2 > n_1$ (verso un mezzo più denso, es. aria → vetro): $\sin\theta_t < \sin\theta_i$, il raggio si avvicina alla normale.
• $n_2 < n_1$ (verso un mezzo meno denso, es. acqua → aria): il raggio si allontana dalla normale.
• Incidenza normale ($\theta_i = 0$): $\theta_t = 0$, il raggio passa senza deviare (ma una parte viene comunque riflessa, vedi Coefficienti di Fresnel e angolo di BrewsterIl campo elettrico dell'onda si scompone nella componente σ (perpendicolare al piano di incidenza) e π (nel piano). I coefficienti di Fresnel danno i rapporti tra le ampiezze: rσ = −sin(θi−θt)/sin(θi+θt), rπ = tan(θi−θt)/tan(θi+θt); a incidenza normale r = (n1−n2)/(n1+n2). La frazione di potenza riflessa è R = r², quella trasmessa T = 1 − R; aria-vetro a incidenza normale R = 4%. L'intensità trasmessa è T·Ii·cosθi/cosθt perché il fascio cambia sezione. Riflettendo su un mezzo più denso l'onda si inverte (sfasamento π). All'angolo di Brewster tan θB = n2/n1 (θi + θt = 90°) la componente π non viene riflessa: la luce riflessa è tutta polarizzata σ.Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster →).

Esempio. Luce dall'aria all'acqua con $\theta_i = 45°$: $\sin\theta_t = \frac{\sin 45°}{1{,}33} = \frac{0{,}707}{1{,}33} = 0{,}532$, quindi $\theta_t = 32{,}1°$.

Più strati. Con mezzi a facce parallele $n_1 \to n_2 \to n_3$ si applica Snell a ogni superficie: $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 = n_3\sin\theta_3$. La quantità $n\sin\theta$ si conserva, e l'angolo nell'ultimo mezzo dipende solo da $n_1$ e $n_3$, non dagli strati intermedi.

Riflessione totale

Se la luce passa a un mezzo meno denso ($n_1 > n_2$), l'angolo di trasmissione è più grande di quello di incidenza. Aumentando $\theta_i$, $\theta_t$ arriva a $90°$ (il raggio trasmesso striscia sulla superficie) per l'angolo limite:

$$n_1\sin\theta_{\lim} = n_2\sin 90° \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\sin\theta_{\lim} = \frac{n_2}{n_1}}$$

Per $\theta_i > \theta_{\lim}$ la legge di Snell chiederebbe $\sin\theta_t > 1$, impossibile: non c'è onda trasmessa e tutta la luce viene riflessa (riflessione totale). Nessuno specchio metallico riflette così bene.

Applicazioni:

• fibre ottiche: un filo di vetro (nucleo) rivestito da un vetro con $n$ un po' più basso; la luce che viaggia quasi parallela all'asse colpisce la parete con angoli più grandi di $\theta_{\lim}$ e resta intrappolata, anche se la fibra curva (purché non troppo). Su questo si basano le telecomunicazioni a lunga distanza;
• prismi a riflessione totale (binocoli, periscopi): in un prisma di vetro con angoli di $45°$ la luce colpisce la faccia lunga a $45° > 41{,}8°$ e viene riflessa completamente;
• il brillare del diamante: con $\theta_{\lim}$ così piccolo, la luce entrata rimbalza molte volte prima di uscire.

Lastra a facce piane e parallele

Un raggio attraversa una lastra di spessore $h$ e indice $n$, immersa in aria. Alla prima faccia $\sin\theta_1 = n\sin\theta_2$; alla seconda faccia, parallela alla prima, il raggio arriva con lo stesso angolo $\theta_2$ e $n\sin\theta_2 = \sin\theta_3$. Quindi $\theta_3 = \theta_1$: il raggio esce parallelo a quello entrante, ma spostato lateralmente.

Spostamento laterale. Dentro la lastra il raggio percorre il tratto $\ell = h/\cos\theta_2$ (ipotenusa del triangolo con cateto $h$). La distanza $d$ tra il raggio uscente e il prolungamento di quello entrante è il cateto opposto all'angolo $\theta_1 - \theta_2$ tra i due:

$$\boxed{d = \ell\,\sin(\theta_1 - \theta_2) = \frac{h\,\sin(\theta_1 - \theta_2)}{\cos\theta_2}}$$

È nullo per incidenza normale e cresce con $\theta_1$ e con $n$. Misurando $d$ si può ricavare l'indice di rifrazione: è quello che si fa in Esercizio 50 · lastra a facce parallele, spostamento del raggio e misura di n.

Profondità apparente

Guardando dall'alto il fondo di una piscina profonda $p$, i raggi che escono dall'acqua si allontanano dalla normale e sembrano provenire da un punto più in alto. Per raggi quasi verticali ($\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$) Snell dà $1{,}33\,\theta_{\text{acqua}} = \theta_{\text{aria}}$; lo stesso spostamento orizzontale $x$ visto sotto l'angolo maggiore corrisponde a una profondità minore:

$$p' = \frac{x}{\tan\theta_{\text{aria}}} \approx \frac{x}{n\,\theta_{\text{acqua}}} = \frac{p}{n}$$

Una piscina profonda $2\ \text{m}$ sembra profonda $2/1{,}33 = 1{,}50\ \text{m}$.

Dispersione e prisma

L'indice di rifrazione dipende (poco) dalla lunghezza d'onda: è la dispersione. Per i vetri e l'acqua $n$ cresce al diminuire di $\lambda$, secondo una legge empirica del tipo

$$n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2} \qquad (\text{legge di Cauchy, nelle note del corso "di Abbe"})$$

con $A \gg B/\lambda^2$. Quindi il violetto viene deviato più del rosso.

Esempio. Un vetro con $n = 1{,}513$ per il rosso e $n = 1{,}532$ per il violetto, luce bianca a $45°$: $\theta_t = 27{,}86°$ per il rosso e $27{,}49°$ per il violetto. La differenza è piccola, ma in un prisma la luce si rifrange due volte su facce non parallele e le deviazioni si sommano invece di compensarsi (come nella lastra): la luce bianca esce separata nei colori dello spettro (Newton, 1666). L'arcobaleno è lo stesso fenomeno nelle gocce d'acqua.

Errori comuni

• Misurare gli angoli dalla superficie invece che dalla normale: in Snell compaiono gli angoli rispetto alla normale.
• Cercare la riflessione totale entrando in un mezzo più denso: esiste solo da $n_1$ grande a $n_2$ piccolo.
• Cambiare la frequenza nel nuovo mezzo: cambiano $v$ e $\lambda$, non $f$.
• Scrivere $I = \frac12 c\varepsilon_0 E_0^2$ dentro un mezzo: lì $I = nE_0^2/(2Z_0)$.