Esercizio 58due onde incoerenti tra due polarizzatori e uno specchio

Testo (I appello, 23 gennaio 2025, problema 3). Due onde elettromagnetiche piane polarizzate linearmente, di lunghezza d'onda $\lambda_a = 400\ \text{nm}$ e $\lambda_b = 720\ \text{nm}$ e intensità $I_a = 10\ \text{mW/m}^2$ e $I_b = 8{,}8\ \text{mW/m}^2$, hanno i campi elettrici ortogonali tra loro e incidono normalmente nel vuoto su un polarizzatore con asse ottico inclinato a metà tra i rispettivi campi elettrici. In seguito passano per un secondo polarizzatore con asse ottico parallelo alla direzione del primo campo elettrico. Calcolare, disegnando uno schema con i campi elettrici $\vec E_a$, $\vec E_b$, $\vec E_1$, $\vec E_2$, $\vec E_{\text{fin}}$, le seguenti quantità:

1. l'intensità luminosa $I_1$ e il campo magnetico $\vec B$ (vettore) dopo il primo polarizzatore;
2. la variazione di densità di energia trasportata dall'onda tra l'inizio e la fine, $\Delta u$;
3. a questo punto l'onda finale viene riflessa da uno specchio ideale normale al vettore di Poynting. Quanto vale e come è inclinato il campo elettrico $\vec E_{\text{fin}}$ dopo aver riattraversato i polarizzatori 2 e 1? Sempre a proposito di questo campo finale, quanto vale l'intensità di luce viola rispetto al totale, in percentuale ($v\%$)?

Teoria: Polarizzatori e legge di MalusUn polarizzatore ideale lascia passare solo la componente del campo elettrico parallela al suo asse ottico (di trasmissione) e assorbe l'altra. Se la luce incidente è polarizzata linearmente e forma l'angolo θ con l'asse, esce E0 cos θ e l'intensità diventa I = I0 cos²θ (legge di Malus); la luce esce polarizzata lungo l'asse. La luce naturale perde sempre metà dell'intensità: I = I0/2. Due polarizzatori incrociati non lasciano passare nulla, ma inserendone un terzo a 45° in mezzo passa I0/8. Con una miscela di luce polarizzata e naturale: I = Inat/2 + Ipol cos²θ.Polarizzatori e legge di Malus →, Onde elettromagneticheUn'onda è una perturbazione f(x − vt) che si propaga senza deformarsi e soddisfa l'equazione delle onde; un'onda armonica è E0 sin(kx − ωt), con k = 2π/λ, ω = 2πf, v = λf = ω/k. Dalle equazioni di Maxwell nel vuoto E e B soddisfano l'equazione delle onde con velocità c = 1/√(μ0ε0) = 3·10⁸ m/s. L'onda piana è trasversale: E, B e direzione di propagazione sono perpendicolari, E = cB, in fase. Nei mezzi v = c/n. Trasporta energia: vettore di Poynting S = E × B/μ0, intensità I = ½ cε0 E0²; e quantità di moto: pressione di radiazione I/c (assorbita).Onde elettromagnetiche →.

Schema

Mettiamo la propagazione lungo $x$, $\vec E_a$ lungo $y$ e $\vec E_b$ lungo $z$ (ortogonali). Allora:

• asse di $P_1$: a metà tra $y$ e $z$, cioè a $45°$ da entrambi;
• asse di $P_2$: parallelo al primo campo, cioè lungo $y$.

Le due onde sono incoerenti (colori diversi): non interferiscono, e ciascuna attraversa i polarizzatori per conto suo; alla fine si sommano le intensità.

1. Dopo il primo polarizzatore

Intensità. Entrambi i campi formano $45°$ con l'asse di $P_1$; per la legge di MalusI = I0 cos²θ con θ angolo tra campo elettrico e asse ottico.Polarizzatori e legge di Malus → ciascuna onda passa con il fattore $\cos^2 45° = \frac12$:

$$I_1 = I_a\cos^2 45° + I_b\cos^2 45° = \frac{10 + 8{,}8}{2} = 9{,}4\ \text{mW/m}^2$$

Entrambe le onde escono polarizzate lungo l'asse di $P_1$, a $45°$ tra $y$ e $z$.

Campi. Il campo è la somma di due onde di frequenze diverse, quindi non ha una sola ampiezza; come nella soluzione del prof si usa l'ampiezza equivalente che dà la stessa intensità:

$$E_1 = \sqrt{\frac{2I_1}{\varepsilon_0c}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 9{,}4 \cdot 10^{-3}}{8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 3 \cdot 10^8}} = 2{,}66\ \text{V/m}, \qquad B_1 = \frac{E_1}{c} = 8{,}87 \cdot 10^{-9}\ \text{T}$$

Direzione di $\vec B$. È perpendicolare sia a $\vec E_1$ sia alla propagazione $x$, e $\vec E \times \vec B$ punta lungo $+x$. Con $\vec E_1$ lungo $\frac{\hat u_y + \hat u_z}{\sqrt2}$, il vettore $\vec B$ è lungo $\frac{-\hat u_y + \hat u_z}{\sqrt2}$ (infatti $(\hat u_y + \hat u_z) \times (-\hat u_y + \hat u_z) = \hat u_x + \hat u_x = 2\hat u_x$): sta nel piano $yz$, ruotato di $90°$ rispetto all'asse di $P_1$, con modulo $8{,}87\ \text{nT}$.

2. Variazione della densità di energia

Campi iniziali e finale. Con la stessa formula: $E_a = 2{,}74\ \text{V/m}$, $E_b = 2{,}57\ \text{V/m}$. Dopo $P_2$ (asse $y$, a $45°$ dall'asse di $P_1$) passa ancora metà:

$$I_2 = I_1\cos^2 45° = 4{,}7\ \text{mW/m}^2, \qquad E_2 = E_1\cos 45° = 1{,}88\ \text{V/m}\ \ (\text{lungo } y)$$

Densità di energia. La soluzione ufficiale usa $u = \varepsilon_0E^2$ con le ampiezze (il valore massimo della densità istantanea, vedi Onde elettromagneticheUn'onda è una perturbazione f(x − vt) che si propaga senza deformarsi e soddisfa l'equazione delle onde; un'onda armonica è E0 sin(kx − ωt), con k = 2π/λ, ω = 2πf, v = λf = ω/k. Dalle equazioni di Maxwell nel vuoto E e B soddisfano l'equazione delle onde con velocità c = 1/√(μ0ε0) = 3·10⁸ m/s. L'onda piana è trasversale: E, B e direzione di propagazione sono perpendicolari, E = cB, in fase. Nei mezzi v = c/n. Trasporta energia: vettore di Poynting S = E × B/μ0, intensità I = ½ cε0 E0²; e quantità di moto: pressione di radiazione I/c (assorbita).Onde elettromagnetiche →):

$$\Delta u = \varepsilon_0\left(E_a^2 + E_b^2\right) - \varepsilon_0E_2^2 = 8{,}854 \cdot 10^{-12}\,(7{,}53 + 6{,}63 - 3{,}54) = 9{,}4 \cdot 10^{-11}\ \text{J/m}^3$$

Le medie nel tempo sono la metà: $\langle u\rangle = I/c$, quindi $\Delta\langle u\rangle = \frac{I_a + I_b - I_2}{c} = \frac{14{,}1 \cdot 10^{-3}}{3 \cdot 10^8} = 4{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{J/m}^3$. In entrambe le versioni la densità di energia diminuisce: tre quarti dell'energia sono stati assorbiti dai polarizzatori.

3. Ritorno dopo lo specchio

Specchio ideale a incidenza normale. Riflette tutta l'onda all'indietro senza cambiarne la polarizzazione: il campo resta lungo $y$, con ampiezza $E_2$.

Di nuovo $P_2$. Il campo è parallelo all'asse di $P_2$: passa tutto, $\cos^2 0 = 1$.

Di nuovo $P_1$. Il campo ($y$) forma $45°$ con l'asse di $P_1$: un altro fattore $\cos 45°$ sul campo.

$$E_{\text{fin}} = E_2\cos 45° = 1{,}88 \cdot 0{,}707 = 1{,}33\ \text{V/m}$$

inclinato come l'asse di $P_1$, cioè a $45°$ tra $y$ e $z$. L'intensità finale è $I_{\text{fin}} = I_2/2 = 2{,}35\ \text{mW/m}^2$.

Percentuale di viola. Ogni onda è stata dimezzata tre volte (da $P_1$, $P_2$ e di nuovo $P_1$): un fattore $(\cos^2 45°)^3 = \frac18$ per ciascuna. Il viola è l'onda da $400\ \text{nm}$:

$$v = \frac{I_a/8}{(I_a + I_b)/8} = \frac{10}{18{,}8} = 53{,}2\%$$

La proporzione tra i colori non cambia: tutti i passaggi hanno trattato le due onde allo stesso modo (dal primo polarizzatore in poi hanno la stessa polarizzazione).

Verifica numerica

import numpy as np
eps0, c = 8.854e-12, 2.998e8
E = lambda I: np.sqrt(2*I/(eps0*c))
Ia, Ib = 10e-3, 8.8e-3
I1 = (Ia + Ib)/2; I2 = I1/2; Ifin = I2/2
print(I1, E(I1), E(I1)/c)                        # 9.4e-3 W/m^2, 2.66 V/m, 8.88e-9 T
print(E(Ia), E(Ib), E(I2))                       # 2.74, 2.57, 1.88 V/m
print(eps0*(E(Ia)**2 + E(Ib)**2 - E(I2)**2))     # 9.4e-11 J/m^3 (valori massimi)
print(E(Ifin), Ia/8/Ifin)                        # 1.33 V/m, 0.532

Risultati

Errori comuni

• Sommare i campi delle due onde: sono incoerenti, si sommano le intensità.
• Pensare che $P_2$ blocchi l'onda $b$ perché il suo campo iniziale era perpendicolare all'asse di $P_2$: dopo $P_1$ entrambe le onde sono polarizzate a $45°$.
• Al ritorno saltare il passaggio in $P_2$: c'è, ma non toglie niente perché il campo è già parallelo al suo asse.