Esercizio 51cubo di vetro pieno di gas attraversato da un laser

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Testo (II appello, 18 febbraio 2025, problema 3). Un grande contenitore cubico di vetro ( $n = 1{,}5$ ) si trova nel vuoto ( $n_0 = 1$ ) e ha le pareti abbastanza spesse. L'interno è pieno di un gas con indice di rifrazione $n_g = 1{,}1$ . Un raggio laser monocromatico viene fatto incidere normalmente su una faccia con intensità $I_0 = 6\ \text{mW/m}^2$ . Calcolare:

l'intensità della radiazione uscente dal cubo, $I_{\text{fin}}$ .

Si inclina ora il raggio di $10°$ . Calcolare:

l'angolo $\vartheta_g$ rispetto alla normale con cui transita nella parte centrale;
la nuova intensità passante per il primo vetro incontrato, assumendo che il laser fosse tutto polarizzato di tipo π;
sotto quale angolo di incidenza del laser non si avrebbe alcuna riflessione sulla primissima faccia, $\vartheta_X$ .

Teoria: Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster, Principio di Huygens, riflessione e rifrazione.

1. Intensità uscente a incidenza normale

Quante superfici attraversa il raggio. Il raggio entra nella parete di vetro, passa nel gas, entra nella parete opposta ed esce nel vuoto: quattro superfici di separazione.

superficie	da → a
1	vuoto → vetro ( $1 \to 1{,}5$ )
2	vetro → gas ( $1{,}5 \to 1{,}1$ )
3	gas → vetro ( $1{,}1 \to 1{,}5$ )
4	vetro → vuoto ( $1{,}5 \to 1$ )

A incidenza normale il raggio non devia e la sezione del fascio non cambia, quindi l'intensità si riduce solo per le riflessioni. A ogni superficie passa la frazione T = 1 − R.

Vuoto-vetro (superfici 1 e 4): $R = \left(\frac{1 - 1{,}5}{1 + 1{,}5}\right)^2 = 0{,}04$ , $T = 0{,}96$ .
Vetro-gas (superfici 2 e 3): $R = \left(\frac{1{,}1 - 1{,}5}{1{,}1 + 1{,}5}\right)^2 = \left(\frac{0{,}4}{2{,}6}\right)^2 = 0{,}0237$ , $T = 0{,}9763$ .

$R$ non cambia scambiando i mezzi, quindi i fattori sono uguali a due a due. Trascurando le riflessioni multiple (la luce riflessa avanti e indietro tra le pareti), si moltiplicano i quattro fattori:

$I_{\text{fin}} = I_0\,T_{\text{vv}}^2\,T_{\text{vg}}^2 = 6 \cdot 0{,}96^2 \cdot 0{,}9763^2 = 6 \cdot 0{,}8785 = 5{,}27\ \text{mW/m}^2$

Si perde circa il 12% della luce, quasi tutto alle due superfici esterne (il salto di indice vuoto-vetro è più grande di quello vetro-gas).

2. Angolo nel gas

Con il raggio inclinato di $\vartheta_i = 10°$ si applica Snell a ogni superficie. Le pareti sono lastre a facce parallele, quindi la quantità $n\sin\vartheta$ si conserva attraverso tutti gli strati:

$n_0\sin\vartheta_i = n\sin\vartheta_V = n_g\sin\vartheta_g$

Il vetro intermedio non conta: dal primo e dall'ultimo membro

$\vartheta_g = \arcsin\left(\frac{n_0}{n_g}\sin\vartheta_i\right) = \arcsin\left(\frac{0{,}1736}{1{,}1}\right) = 9{,}08°$

Il gas è otticamente più denso del vuoto, quindi il raggio è un po' più vicino alla normale. Nel vetro: $\vartheta_V = \arcsin(0{,}1736/1{,}5) = 6{,}65°$ .

3. Intensità dopo il primo vetro, luce π

Coefficiente di Fresnel. Il laser è polarizzato π (campo elettrico nel piano di incidenza), quindi conta $R_\pi$ alla prima superficie, con $\vartheta_i = 10°$ e $\vartheta_V = 6{,}65°$ :

$R_\pi = \frac{\tan^2(\vartheta_i - \vartheta_V)}{\tan^2(\vartheta_i + \vartheta_V)} = \frac{\tan^2(3{,}35°)}{\tan^2(16{,}65°)} = 0{,}0384, \qquad T_\pi = 1 - R_\pi = 0{,}9616$

(È un po' più di 0,96 perché $R_\pi$ cala allontanandosi dall'incidenza normale, verso l'angolo di Brewster.) La soluzione del prof usa la forma equivalente $T_\pi = \frac{4\sin 2\vartheta_i\sin 2\vartheta_V}{(\sin 2\vartheta_i + \sin 2\vartheta_V)^2}$ , che dà lo stesso numero.

Intensità. La soluzione ufficiale prende come risposta

$T_\pi I_0 = 0{,}9616 \cdot 6 = 5{,}77\ \text{mW/m}^2$

cioè la potenza trasmessa riferita alla sezione del fascio incidente. A rigore il fascio dentro il vetro, più vicino alla normale, è un po' più largo, e l'intensità vera è

$I_V = T_\pi I_0\,\frac{\cos\vartheta_i}{\cos\vartheta_V} = 5{,}77 \cdot \frac{0{,}9848}{0{,}9933} = 5{,}72\ \text{mW/m}^2$

A $10°$ la differenza è sotto l'1%: per angoli così piccoli si può trascurare.

4. Nessuna riflessione sulla prima faccia

Il laser è polarizzato π: la riflessione sparisce del tutto all'angolo di Brewster dal vuoto al vetro:

$\vartheta_X = \arctan\frac{n}{n_0} = \arctan 1{,}5 = 56{,}3°$

Con luce naturale non esisterebbe un angolo così: la componente σ viene sempre riflessa.

Verifica numerica

python

import numpy as np
n0, n, ng, I0 = 1, 1.5, 1.1, 6e-3
T_vv = 1 - ((n0 - n)/(n0 + n))**2; T_vg = 1 - ((ng - n)/(ng + n))**2
print(T_vv, T_vg, I0*T_vv**2*T_vg**2)            # 0.96, 0.9763, 5.27e-3 W/m^2
ti = np.radians(10)
tv = np.arcsin(np.sin(ti)/n); tg = np.arcsin(np.sin(ti)/ng)
print(np.degrees(tv), np.degrees(tg))            # 6.65, 9.08 gradi
Tp = 1 - (np.tan(ti - tv)/np.tan(ti + tv))**2
print(Tp, Tp*I0, Tp*I0*np.cos(ti)/np.cos(tv))    # 0.9616, 5.77e-3, 5.72e-3 W/m^2
print(np.degrees(np.arctan(n/n0)))               # 56.3 gradi

Risultati

grandezza	valore
intensità uscente (incidenza normale)	$5{,}27\ \text{mW/m}^2$
angolo nel gas	$9{,}08°$
$T_\pi$ alla prima faccia	$0{,}9616$
intensità dopo la prima faccia	$5{,}77\ \text{mW/m}^2$ (soluzione ufficiale); $5{,}72\ \text{mW/m}^2$ tenendo conto della sezione
angolo senza riflessione (Brewster)	$56{,}3°$

Errori comuni

Contare solo due superfici: le pareti hanno due facce ciascuna, quindi le superfici sono quattro.
Calcolare l'angolo nel gas passando per il vetro con angoli arrotondati: basta $n_0\sin\vartheta_i = n_g\sin\vartheta_g$ .
Usare $R_\sigma$ : il laser è polarizzato π.