Esercizio 53fascio polarizzato a 30 gradi all'angolo di Brewster

Testo (V appello, 15 settembre 2023, problema 3). Un fascio di onde in aria, polarizzato rettilinearmente all'angolo $\beta = 30°$ con il piano π e di intensità $I_i = 2\ \text{W/m}^2$, incide su un materiale dielettrico all'angolo di Brewster, con i coefficienti di riflessione

$$R_\pi = \left[\frac{\tan(\theta_i - \theta_t)}{\tan(\theta_i + \theta_t)}\right]^2 = 0 \qquad\text{e}\qquad R_\sigma = \left[\frac{\sin(\theta_i - \theta_t)}{\sin(\theta_i + \theta_t)}\right]^2 = 0{,}105$$

Determinare:

1. il modulo dell'ampiezza del campo magnetico dell'onda riflessa, $B_r$;
2. l'indice di rifrazione del mezzo, $n$;
3. l'intensità del fascio trasmesso, $I_t$.

Teoria: Coefficienti di Fresnel e angolo di BrewsterIl campo elettrico dell'onda si scompone nella componente σ (perpendicolare al piano di incidenza) e π (nel piano). I coefficienti di Fresnel danno i rapporti tra le ampiezze: rσ = −sin(θi−θt)/sin(θi+θt), rπ = tan(θi−θt)/tan(θi+θt); a incidenza normale r = (n1−n2)/(n1+n2). La frazione di potenza riflessa è R = r², quella trasmessa T = 1 − R; aria-vetro a incidenza normale R = 4%. L'intensità trasmessa è T·Ii·cosθi/cosθt perché il fascio cambia sezione. Riflettendo su un mezzo più denso l'onda si inverte (sfasamento π). All'angolo di Brewster tan θB = n2/n1 (θi + θt = 90°) la componente π non viene riflessa: la luce riflessa è tutta polarizzata σ.Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster →.

1. Campo magnetico dell'onda riflessa

Ampiezza del campo incidente. Nel vuoto (aria) $I = \frac12 c\varepsilon_0 E^2$:

$$E_i = \sqrt{\frac{2I_i}{\varepsilon_0 c}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2}{8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 3 \cdot 10^8}} = 38{,}8\ \text{V/m}$$

Scomposizione in σ e π. Il campo forma l'angolo $\beta = 30°$ con il piano di incidenza (piano π):

$$E_{i,\pi} = E_i\cos\beta = 33{,}6\ \text{V/m}, \qquad E_{i,\sigma} = E_i\sin\beta = 19{,}4\ \text{V/m}$$

Campo riflesso. All'angolo di Brewster la componente π non si riflette ($R_\pi = 0$). Della componente σ si riflette la frazione $R_\sigma$ della potenza; le ampiezze stanno come la radice delle intensità, quindi il coefficiente per l'ampiezza è $|r_\sigma| = \sqrt{R_\sigma} = 0{,}324$:

$$E_r = \sqrt{R_\sigma}\,E_i\sin\beta = 0{,}324 \cdot 19{,}4 = 6{,}29\ \text{V/m}, \qquad \boxed{B_r = \frac{E_r}{c} = 2{,}1 \cdot 10^{-8}\ \text{T}}$$

2. Indice di rifrazione

Semplificare $R_\sigma$ all'angolo di Brewster. All'angolo di Brewster raggio riflesso e trasmesso sono perpendicolari, $\theta_i + \theta_t = 90°$. Il denominatore di $R_\sigma$ vale $\sin^2 90° = 1$, e nel numeratore $\theta_t = 90° - \theta_i$:

$$R_\sigma = \sin^2(\theta_i - \theta_t) = \sin^2(2\theta_i - 90°) = \cos^2(2\theta_i)$$

(si è usato $\sin(x - 90°) = -\cos x$, e il segno sparisce nel quadrato).

Risolvere. $\cos^2(2\theta_i) = 0{,}105$ dà $\cos(2\theta_i) = \pm 0{,}324$. Quale segno?

• Con il segno $+$: $2\theta_i = 71{,}1°$, $\theta_i = 35{,}5°$ e $n = \tan\theta_i = 0{,}71$. Un indice minore di 1 non è possibile per un materiale dielettrico (la luce andrebbe più veloce che nel vuoto): si scarta.
• Con il segno $-$: $2\theta_i = \arccos(-0{,}324) = 108{,}9°$, quindi

$$\theta_i = 54{,}45°, \qquad \boxed{n = \tan\theta_B = \tan 54{,}45° = 1{,}40}$$

In generale entrando in un mezzo più denso l'angolo di Brewster è maggiore di $45°$.

3. Intensità trasmessa

Intensità riflessa. Si riflette solo la parte σ, che contiene la frazione $\sin^2\beta$ dell'intensità:

$$I_r = R_\sigma\,I_i\sin^2\beta = 0{,}105 \cdot 2 \cdot 0{,}25 = 0{,}0525\ \text{W/m}^2$$

Potenza trasmessa. Il fascio illumina sulla superficie un'area $A_0$; la sua sezione è $A_0\cos\theta_i$, sia per il fascio incidente sia per quello riflesso. L'energia si conserva:

$$P_t = P_i - P_r = (I_i - I_r)\,A_0\cos\theta_i$$

Intensità trasmessa. Il fascio trasmesso ha sezioneLe sezioni dei fasci sono le ombre dell'area illuminata A lungo ciascuna direzione: A cos θi per incidente e riflesso, A cos θt per il trasmesso.Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster → $A_0\cos\theta_t$:

$$I_t = \frac{P_t}{A_0\cos\theta_t} = (I_i - I_r)\,\frac{\cos\theta_i}{\cos\theta_t}$$

All'angolo di Brewster $\cos\theta_t = \cos(90° - \theta_i) = \sin\theta_i$, quindi il rapporto dei coseni è $1/\tan\theta_i = 1/n$:

$$I_t = \frac{I_i - I_r}{\tan\theta_i} = \frac{2 - 0{,}0525}{1{,}40} = 1{,}39\ \text{W/m}^2$$

Il fascio trasmesso si avvicina alla normale e si allarga, quindi la sua intensità è più bassa della potenza trasmessa per unità di sezione incidente. (Controllo con i coefficienti di trasmissione delle ampiezze, $I_t = n\,(t_\sigma^2 I_{i,\sigma} + t_\pi^2 I_{i,\pi})$: si ottiene lo stesso $1{,}39\ \text{W/m}^2$.)

Verifica numerica

import numpy as np
eps0, c = 8.854e-12, 2.998e8
Ii, b, Rs = 2, np.radians(30), 0.105
Ei = np.sqrt(2*Ii/(eps0*c)); Er = np.sqrt(Rs)*Ei*np.sin(b)
print(Ei, Er, Er/c)                              # 38.8 V/m, 6.29 V/m, 2.10e-8 T
ti = np.arccos(-np.sqrt(Rs))/2; tt = np.pi/2 - ti
print(np.degrees(ti), np.tan(ti))                # 54.45 gradi, n = 1.40
Ir = Rs*Ii*np.sin(b)**2
print(Ir, (Ii - Ir)*np.cos(ti)/np.cos(tt))       # 0.0525, 1.39 W/m^2

Risultati

Errori comuni

• Usare $R_\sigma$ sulle ampiezze: $R$ è un rapporto di potenze, per i campi serve $\sqrt{R}$.
• Prendere la radice positiva di $\cos^2 2\theta_i$ senza controllo: porta a $n < 1$.
• Scrivere $I_t = I_i - I_r$: le potenze si sottraggono, le intensità no, perché le sezioni dei fasci sono diverse.