Esercizio 61due coppie di sorgenti coerenti con lunghezze d'onda diverse

Testo (V appello, 16 settembre 2024, problema 3). Due coppie di sorgenti puntiformi, sincrone, coerenti, con distanza intersorgente $a = 2\ \text{mm}$, sono poste a distanza $2d = 4\ \text{cm}$ fra di loro. Ogni sorgente emette onde di uguale intensità $I_S$, ma una coppia con lunghezza d'onda $\lambda_1 = 22{,}7\ \mu\text{m}$ e l'altra con lunghezza d'onda $\lambda_2$. Si osserva la figura d'interferenza su uno schermo posto a distanza $L = 5\ \text{m}$ dalle sorgenti. Se è in funzione solo la coppia di lunghezza d'onda $\lambda_2$, si osserva il massimo d'interferenza di ordine $m = 1$ nel punto $P$ posto a distanza $d = 2\ \text{cm}$ rispetto alla normale. L'intensità misurata in $P$ con ambedue le coppie in funzione è $I_P = 300\ \text{W/m}^2$. Calcolare, trascurando l'attenuazione fra i punti $O_1$, $O_2$ e $P$:

1. il rapporto $I_{1,P}/I_{1,O_1}$ fra l'intensità dell'onda nel punto $P$ e nel punto $O_1$, se è in funzione solo la coppia di lunghezza d'onda $\lambda_1$;
2. la lunghezza d'onda $\lambda_2$ della seconda coppia di sorgenti;
3. l'intensità $I_0$ di ciascuna onda sullo schermo.

(Nella figura del compito: la coppia 1 sta davanti al punto $O_1$ dello schermo, la coppia 2 davanti a $O_2$; $P$ è a metà strada, a distanza $d$ dalla normale di ciascuna coppia.)

Teoria: Interferenza di due sorgenti ed esperimento di YoungDue onde coerenti (stessa frequenza, differenza di fase costante) con la stessa polarizzazione che si sovrappongono danno I = I1 + I2 + 2√(I1 I2) cos δ, con δ = k(r2 − r1) + sfasamento tra le sorgenti. Massimi (interferenza costruttiva) per δ = 2mπ, cioè r2 − r1 = mλ; minimi (distruttiva) per δ = (2m+1)π, cioè r2 − r1 = (m + ½)λ. Con intensità uguali I = 4I0 cos²(δ/2): massimi 4I0, minimi 0. Onde incoerenti o polarizzate perpendicolarmente non interferiscono: I = I1 + I2. Esperimento di Young (fenditure a distanza d, schermo a distanza L): massimi a d sin θ = mλ, frange equidistanti di passo Δx = λL/d. In un mezzo conta il cammino ottico n·r; una lamina di spessore s davanti a una fenditura sfasa di 2π(n−1)s/λ0.Interferenza di due sorgenti ed esperimento di Young →.

Geometria

Ogni coppia vede il punto $P$ sotto l'angolo $\theta$ rispetto alla propria normale (la retta che va dal centro della coppia al suo punto $O$):

$$\tan\theta = \frac{d}{L} = \frac{0{,}02}{5} = 0{,}004 \quad\Longrightarrow\quad \theta = 0{,}23°$$

Angolo piccolissimo: $\sin\theta \approx \tan\theta = d/L$. Inoltre $L \gg a$, quindi vale l'approssimazione di parallasse: la differenza di cammino tra le due sorgenti di una coppia è $a\sin\theta \approx ad/L = 8\ \mu\text{m}$.

"Trascurare l'attenuazione" significa che ogni sorgente produce la stessa intensità $I_0$ in $O_1$, $O_2$ e $P$ (le distanze sono quasi uguali).

1. Rapporto tra $P$ e $O_1$ per la coppia 1

In $O_1$ (sulla normale della coppia 1) le due onde percorrono cammini uguali e arrivano in fase: massimo centrale, $I_{1,O_1} = 4I_0$.

In $P$ la differenza di fase è

$$\delta_1 = \frac{2\pi}{\lambda_1}\,a\sin\theta = \frac{2\pi}{\lambda_1}\,\frac{ad}{L} = \frac{2\pi \cdot 8 \cdot 10^{-6}}{22{,}7 \cdot 10^{-6}} = 2{,}214\ \text{rad} = 126{,}9°$$

e l'intensità di due onde ugualiI = I1 + I2 + 2√(I1 I2) cos δ; con intensità uguali I = 2I0(1 + cos δ).Interferenza di due sorgenti ed esperimento di Young → è $I_{1,P} = 2I_0(1 + \cos\delta_1)$. Il rapporto:

$$\frac{I_{1,P}}{I_{1,O_1}} = \frac{2I_0(1 + \cos\delta_1)}{4I_0} = \frac{1 + \cos\delta_1}{2} = \frac{1 - 0{,}600}{2} = 0{,}20$$

In $P$ la coppia 1 dà solo il 20% del suo massimo: $P$ è più vicino a un minimo ($\delta = 180°$) che a un massimo.

2. Lunghezza d'onda della coppia 2

In $P$ la coppia 2 ha il massimo di ordine 1: differenza di cammino uguale a una lunghezza d'onda.

$$a\sin\theta = m\lambda_2 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_2 = \frac{ad}{mL} = \frac{2 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}02}{1 \cdot 5} = 8 \cdot 10^{-6}\ \text{m} = 8\ \mu\text{m}$$

(infrarosso, come $\lambda_1$).

3. Intensità di una sorgente

Le due coppie non interferiscono tra loro: hanno lunghezze d'onda diverse, quindi sono incoerenti, e in $P$ si sommano le intensità delle due figure.

• Coppia 1 in $P$: $I_{1,P} = 2I_0(1 + \cos\delta_1)$.
• Coppia 2 in $P$: è un massimo, $I_{2,P} = 4I_0$.

$$I_P = 2I_0(1 + \cos\delta_1) + 4I_0 = 2I_0(3 + \cos\delta_1)$$

$$I_0 = \frac{I_P}{2(3 + \cos\delta_1)} = \frac{300}{2 \cdot 2{,}4} = 62{,}5\ \text{W/m}^2$$

Verifica numerica

import numpy as np
a, d, L, l1, IP = 2e-3, 0.02, 5, 22.7e-6, 300
th = np.arctan(d/L)
d1 = 2*np.pi/l1*a*np.sin(th)
print(np.degrees(th), d1, np.cos(d1))            # 0.23 gradi, 2.214 rad, -0.600
print((1 + np.cos(d1))/2)                        # 0.20
print(a*np.sin(th)/1)                            # 8.0e-6 m
print(IP/(2*(3 + np.cos(d1))))                   # 62.5 W/m^2

Risultati

Errori comuni

• Far interferire le due coppie: con $\lambda$ diverse sono incoerenti, si sommano le intensità.
• Usare $2d$ come distanza tra le sorgenti di una coppia: la distanza che conta per l'interferenza è $a$; $2d$ è la distanza tra le coppie.
• Dare $I_{1,O_1} = 2I_0$: sulla normale c'è il massimo centrale, $4I_0$.