Esercizio 65cento fenditure parzialmente oscurate da un pannello

Testo (V appello, 16 settembre 2025, problema 3). Lo schema di interferenza di un sistema di $N = 100$ fenditure sottili egualmente illuminate da luce di frequenza $\nu = 600\ \text{THz}$ viene osservato su uno schermo a distanza $L = 2{,}4\ \text{m}$ dalle fenditure. Sullo schermo, la distanza dei massimi principali di ordine $m = \pm20$ è $h = 32\ \text{cm}$ e l'intensità massima delle frange chiare è $I_{\max} = 20\ \text{kW/m}^2$. Si calcoli:

1. l'ampiezza del campo magnetico $B_0$ (dell'onda emessa da ciascuna fenditura);
2. la distanza $a$ tra due fenditure consecutive, in approssimazione di angoli piccoli.

Un pannello completamente opaco è ora usato per ridurre la luminosità delle frange (riducendo il numero di fenditure attive) fino a $I'_{\max} = 7{,}2\ \text{kW/m}^2$. Si determini:

3. la larghezza minima del pannello da usare, $d$.

(Qui $a$ è la distanza tra le fenditure, che nelle note è chiamata $d$; $d$ è invece la larghezza del pannello.)

Teoria: Interferenza di N sorgenti e onde stazionarieN sorgenti coerenti, uguali ed equidistanti (passo d), come N fenditure sottili: tra due sorgenti vicine c'è la differenza di fase δ = 2π d sin θ/λ e l'intensità è I = I0 sin²(Nδ/2)/sin²(δ/2). Massimi principali per d sin θ = mλ, con intensità N²I0; minimi per d sin θ = m'λ/N (m' non multiplo di N): tra due massimi principali ci sono N − 1 minimi e N − 2 massimi secondari deboli. Più sorgenti = massimi più alti (N²) e più stretti (1/N). Due onde uguali che viaggiano in versi opposti formano un'onda stazionaria 2A sin(kx) cos(ωt): nodi fissi ogni λ/2, nessun trasporto di energia; davanti a uno specchio metallico E ha un nodo sullo specchio.Interferenza di N sorgenti e onde stazionarie →.

1. Campo di una fenditura

Le frange chiare più intense sono i massimi principali, dove le onde di tutte le fenditure arrivano in fase e l'intensità vale N²I0Nei massimi principali i campi delle N onde si sommano: E = N E0, quindi I = N² I0.Interferenza di N sorgenti e onde stazionarie →:

$$I_{\max} = N^2I_0 \quad\Longrightarrow\quad I_0 = \frac{I_{\max}}{N^2} = \frac{20\,000}{10\,000} = 2\ \text{W/m}^2$$

Ampiezze dell'onda di una fenditura (nel vuoto, $I_0 = E_0^2/2Z_0$):

$$E_0 = \sqrt{2Z_0I_0} = \sqrt{2 \cdot 376{,}7 \cdot 2} = 38{,}8\ \text{V/m}, \qquad B_0 = \frac{E_0}{c} = 1{,}29 \cdot 10^{-7}\ \text{T}$$

2. Distanza tra le fenditure

Lunghezza d'onda: $\lambda = c/\nu = 3 \cdot 10^8/(6 \cdot 10^{14}) = 500\ \text{nm}$.

Posizione dei massimi di ordine $\pm20$. Sono simmetrici rispetto al centro: ciascuno sta a $h/2 = 16\ \text{cm}$ dal massimo centrale, quindi

$$\tan\theta_{20} = \frac{h/2}{L} = \frac{0{,}16}{2{,}4} = 0{,}0667 \approx \sin\theta_{20}$$

Condizione dei massimi principali: $a\sin\theta = m\lambda$, quindi

$$a = \frac{m\lambda}{\sin\theta_{20}} \approx \frac{2Lm\lambda}{h} = \frac{2 \cdot 2{,}4 \cdot 20 \cdot 500 \cdot 10^{-9}}{0{,}32} = 150\ \mu\text{m}$$

(senza approssimazione $150{,}2\ \mu\text{m}$).

3. Larghezza del pannello

Quante fenditure devono restare attive. Nei massimi principali $I'_{\max} = N_1^2I_0$, con $N_1$ il numero di fenditure non oscurate (ognuna continua a emettere $I_0$, e nei massimi principali tutte sono in fase, ovunque si trovino lungo la fila):

$$N_1 = \sqrt{\frac{I'_{\max}}{I_0}} = \sqrt{\frac{7200}{2}} = 60$$

Il pannello deve coprire $N - N_1 = 40$ fenditure.

Quanto deve essere largo. Le fenditure sono sottili: per coprirne 40 consecutive basta che il pannello vada dalla prima all'ultima, cioè copra i $40 - 1 = 39$ intervalli tra loro:

$$d_{\min} = (N - N_1 - 1)\,a = 39 \cdot 150\ \mu\text{m} = 5{,}85\ \text{mm}$$

(appena di più, per coprire anche le due fenditure agli estremi). Il pannello deve però essere più stretto di $41a = 6{,}15\ \text{mm}$, altrimenti può coprirne 41.

Attenzione alla soluzione ufficiale, che scrive la stessa formula ma riporta $7{,}5\ \text{mm}$ ($7{,}5 < d < 7{,}65\ \text{mm}$, cioè tra $50a$ e $51a$). Quei numeri corrispondono a oscurare 51 fenditure e lasciarne attive 49, cioè a $I'_{\max} = 49^2 \cdot 2 = 4{,}8\ \text{kW/m}^2$, probabilmente il dato di un'altra versione del compito. Con $7{,}2\ \text{kW/m}^2$ la formula dà $5{,}85\ \text{mm}$.

Verifica numerica

import numpy as np
Z0, c = 376.73, 3e8
N, nu, L, h, Imax, Ip = 100, 600e12, 2.4, 0.32, 20e3, 7.2e3
I0 = Imax/N**2; E0 = np.sqrt(2*Z0*I0)
print(I0, E0, E0/c)                              # 2 W/m^2, 38.8 V/m, 1.29e-7 T
lam = c/nu; a = 2*L*20*lam/h
print(lam, a)                                    # 5.0e-7 m, 1.5e-4 m
N1 = np.sqrt(Ip/I0)
print(N1, (N - N1 - 1)*a, (N - N1 + 1)*a)        # 60, 5.85e-3 m, 6.15e-3 m

Risultati

Errori comuni

• Usare $h$ come distanza del massimo di ordine 20 dal centro: $h$ separa gli ordini $+20$ e $-20$, ciascuno dista $h/2$.
• Pensare che l'intensità dei massimi cali in proporzione alle fenditure ($60\%$): cala come il quadrato, $0{,}6^2 = 36\%$.
• Contare 40 intervalli per 40 fenditure: tra 40 fenditure in fila ci sono 39 intervalli.