Esercizio 37spira che entra in un campo magnetico

Testo (I appello, 25 gennaio 2022, problema 2). Una spira quadrata di lato $a = 20\ \text{cm}$, massa $m = 100\ \text{g}$ e resistenza $R = 0{,}05\ \Omega$, si trova, come mostrato in figura, al di fuori di una regione $\mathcal R$ in cui agisce un campo magnetico di modulo $B = 0{,}5\ \text{T}$ perpendicolare al piano della spira. All'istante $t_0 = 0$ la spira inizia ad entrare in tale regione con velocità $v_0 = 3\ \text{m/s}$. Al tempo $t_1$ è completamente penetrata in $\mathcal R$ ed ha velocità $v_1$. Determinare:

1. la potenza elettrica $P$ nella spira all'istante $t_0$, in cui ha appena iniziato a penetrare in $\mathcal R$ ed ha velocità $v_0$;
2. la carica $q$ che ha attraversato la spira nel tempo $t_1$;
3. l'energia $W_R$ dissipata nella spira nel tempo $t_1$ (si integri l'equazione del moto).

La figura, a parole: la regione $\mathcal R$ occupa il semipiano a destra di un bordo verticale, con $\vec B$ uscente dal foglio; la spira arriva da sinistra muovendosi verso destra, con due lati paralleli al bordo.

Teoria: Legge di Faraday-Neumann-LenzOgni volta che il flusso di B concatenato con un circuito cambia (perché cambia B, l'area o l'orientazione) nel circuito nasce una f.e.m. indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione. La carica che circola è q = ΔΦ/R (legge di Felici). Una sbarretta che scorre su rotaie dà ℰ = Bℓv ed è frenata da F = B²ℓ²v/R. Un campo B variabile produce un campo elettrico indotto non conservativo: ∮E·dl = −dΦ/dt, rot E = −∂B/∂t. Applicazioni: correnti di Foucault, alternatore.Legge di Faraday-Neumann-Lenz →, Forza magnetica su un conduttore e momento su una spiraSu un tratto di filo percorso da corrente agisce la forza dF = i dl × B (seconda legge elementare di Laplace); su un filo rettilineo in campo uniforme F = i l B sinθ. Nell'effetto Hall la forza sui portatori produce una tensione trasversale che misura B. Una spira in un campo uniforme non sente forza totale ma un momento M = m × B, con momento magnetico m = i S n; l'energia è U = −m·B. Su questo funzionano galvanometro e motore elettrico.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira →.

Cosa succede

Mentre la spira entra, la parte immersa nel campo è un rettangolo $a \times x$, dove $x$ è il tratto già entrato: il flusso $\Phi = Bax$ cresce e nella spira circola una corrente indotta. Solo il lato anteriore (quello già dentro $\mathcal R$, parallelo al bordo) sente una forza netta; sui due lati perpendicolari al bordo le forze sono uguali e opposte. Quando la spira è tutta dentro, il flusso non cambia più, la corrente si annulla e la spira prosegue a velocità costante $v_1$.

1) Potenza all'istante iniziale

F.e.m. Il flusso cresceℰ = −dΦ/dt; per un lato che avanza con velocità v in un campo B la f.e.m. è B ℓ v.Legge di Faraday-Neumann-Lenz → con rapidità $\frac{d\Phi}{dt} = Ba\,\frac{dx}{dt} = Bav$:

$$\mathcal E_0 = Bav_0 = 0{,}5 \cdot 0{,}2 \cdot 3 = 0{,}3\ \text{V}$$

Corrente e potenza:

$$i_0 = \frac{\mathcal E_0}{R} = \frac{0{,}3}{0{,}05} = 6\ \text{A}, \qquad P = R\,i_0^2 = 0{,}05 \cdot 36 = 1{,}8\ \text{W}$$

Il verso (Lenz): il flusso uscente aumenta, quindi la corrente indotta produce un campo entrante dentro la spira, cioè circola in senso orario.

2) Carica circolata

Per la legge di FeliciLa carica che circola in un circuito di resistenza R è|Φi − Φf|/R, indipendentemente da come varia il flusso.Legge di Faraday-Neumann-Lenz → basta conoscere il flusso iniziale (zero, la spira è fuori) e quello finale (spira tutta dentro, $Ba^2$):

$$q = \frac{|\Phi_f - \Phi_i|}{R} = \frac{Ba^2}{R} = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}04}{0{,}05} = 0{,}4\ \text{C}$$

Non serve sapere come cambia la velocità durante l'ingresso.

3) Energia dissipata

Equazione del moto. Con velocità $v$ la corrente è $i = Bav/R$ e la forza sul lato anteriore, per Lenz, è contraria al moto:

$$m\,\frac{dv}{dt} = -i\,a\,B = -\frac{B^2a^2}{R}\,v$$

Dal tempo allo spazio. Il testo dà una distanza (la spira è tutta dentro dopo aver percorso $a$), non un tempo. Si usa $\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\,\frac{dx}{dt} = v\,\frac{dv}{dx}$:

$$m\,v\,\frac{dv}{dx} = -\frac{B^2a^2}{R}\,v \quad\Longrightarrow\quad m\,dv = -\frac{B^2a^2}{R}\,dx$$

La $v$ si semplifica: la velocità cala linearmente con lo spazio. Integrando da $x = 0$ ($v = v_0$) a $x = a$ ($v = v_1$):

$$v_1 = v_0 - \frac{B^2a^3}{mR} = 3 - \frac{0{,}25 \cdot 0{,}008}{0{,}1 \cdot 0{,}05} = 3 - 0{,}4 = 2{,}6\ \text{m/s}$$

Energia. Nessun'altra forza compie lavoro: l'energia cinetica persa è tutta dissipata per effetto Joule nella spira.

$$W_R = \frac12 m\left(v_0^2 - v_1^2\right) = \frac12 \cdot 0{,}1 \cdot (9 - 6{,}76) = 0{,}112\ \text{J}$$

Un modo equivalente per la velocità. L'impulso della forza frenante è $\int i\,aB\,dt = aB\int i\,dt = aBq$: la quantità di moto persa è $aB$ per la carica circolata, $m(v_0 - v_1) = aBq = 0{,}2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}04\ \text{kg m/s}$, cioè $\Delta v = 0{,}4\ \text{m/s}$. ✓ Le due domande 2 e 3 sono collegate.

Il tempo $t_1$ (non richiesto): nel tempo la velocità cala esponenzialmente, $v = v_0\,e^{-t/\tau}$ con $\tau = \frac{mR}{B^2a^2} = 0{,}5\ \text{s}$; $v_1 = 2{,}6\ \text{m/s}$ si raggiunge a $t_1 = \tau\ln\frac{v_0}{v_1} = 72\ \text{ms}$.

Verifica numerica

import numpy as np
a, m, R, B, v0 = 0.2, 0.1, 0.05, 0.5, 3
i0 = B*a*v0/R; print(i0, R*i0**2, B*a**2/R)        # 6 A, 1.8 W, 0.4 C
v1 = v0 - B**2*a**3/(m*R); print(v1)               # 2.6 m/s
print(0.5*m*(v0**2 - v1**2))                       # 0.112 J
tau = m*R/(B*a)**2; print(tau, tau*np.log(v0/v1))  # 0.5 s, 0.072 s

Risultati

Errori comuni

• Calcolare la forza su tutti e quattro i lati: le forze sui due lati perpendicolari al bordo si cancellano, e il lato posteriore è fuori dal campo.
• Integrare nel tempo quando il dato è una distanza: conviene passare a $v\,dv/dx$.
• Pensare che la spira si fermi: una volta tutta dentro il campo il flusso è costante e non ci sono più forze.