Esercizio 47cilindro di ferro estratto da un solenoide

Testo (prova scritta del 22 febbraio 2021, temi del Dipartimento di Fisica, problema 1). All'interno di un solenoide cilindrico di lunghezza $h = 1{,}5\ \text{m}$ e raggio $r_S \ll h$, con $N = 500$ spire, sono posti un cilindro di ferro di lunghezza $h$ e raggio $r_C = 2\ \text{cm}$ e una spira di raggio $\rho$, con $r_C < \rho < r_S$ e resistenza $R = 10\ \Omega$, connessa ad un galvanometro balistico. Nella situazione considerata è possibile trattare il ferro come un materiale magnetico lineare ed associarvi una permeabilità magnetica relativa $\mu_r = 100$. Il solenoide, il cilindro di ferro e la spira sono coassiali: sia $z$ il loro asse comune. Nel solenoide viene mantenuta una corrente costante $I = 3\ \text{A}$, nel verso convenzionalmente associato all'asse $z$. Trascurando gli effetti di bordo, ed utilizzando coordinate cilindriche $(z, r, \varphi)$ con i rispettivi versori $(\hat u_z, \hat u_r, \hat u_\varphi)$, si determinino:

(a) i campi $\vec H$, $\vec B$ e $\vec M$ in funzione della distanza $r$ dall'asse, per tutti i valori di $r$; (b) la densità superficiale di corrente di magnetizzazione $\vec k_m$ sulla superficie laterale del cilindro di ferro e la densità volumetrica di corrente di magnetizzazione $\vec j_m$ al suo interno.

Una forza esterna estrae poi rapidamente il cilindro di ferro dal solenoide, di resistenza trascurabile, e lo porta a grande distanza, muovendolo lungo l'asse $z$. Si determinino:

(c) la carica totale $Q$ che scorre attraverso una sezione della spira, misurata dal galvanometro balistico nel verso associato all'asse $z$; (d) il lavoro $W_{\text{est}}$ compiuto dalla forza esterna ed il lavoro $W_{\text{gen}}$ compiuto dal generatore che alimenta il solenoide, trascurando la presenza della spira connessa al galvanometro.

Teoria: Legge di Faraday-Neumann-LenzOgni volta che il flusso di B concatenato con un circuito cambia (perché cambia B, l'area o l'orientazione) nel circuito nasce una f.e.m. indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione. La carica che circola è q = ΔΦ/R (legge di Felici). Una sbarretta che scorre su rotaie dà ℰ = Bℓv ed è frenata da F = B²ℓ²v/R. Un campo B variabile produce un campo elettrico indotto non conservativo: ∮E·dl = −dΦ/dt, rot E = −∂B/∂t. Applicazioni: correnti di Foucault, alternatore.Legge di Faraday-Neumann-Lenz →, Autoinduzione, circuiti RL ed energia magneticaLa corrente di un circuito produce un flusso concatenato con il circuito stesso, Φ = L i; L (induttanza, in henry) dipende solo dalla geometria: per un solenoide L = μ0 n² S ℓ. Se la corrente cambia nasce una f.e.m. autoindotta −L di/dt che si oppone alla variazione. In un circuito RL la corrente cresce come i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)) e si spegne come i0 e^(−t/τ), con τ = L/R. Un induttore percorso da corrente immagazzina l'energia ½ L i², distribuita nel campo con densità u = B²/2μ0.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica →, Magnetizzazione e campo HNella materia ogni atomo si comporta come una piccola spira (correnti amperiane). Il vettore magnetizzazione M è il momento magnetico per unità di volume (A/m); un materiale magnetizzato equivale a correnti di magnetizzazione, superficiali k_m = M × n e di volume j_m = rot M. Il campo H = B/μ0 − M ha come sorgenti solo le correnti libere: ∮H·dl = i_libere. Nei materiali lineari M = χm H e B = μ0 μr H, con μr = 1 + χm. In un solenoide pieno di materiale H = n i e B = μ0 μr n i.Magnetizzazione e campo H → (campi H, B, M nella materia).

(a) I campi in tutte le zone

$\vec H$ con Ampère. Le sorgenti di $\vec H$ (nella legge della circuitazione) sono solo le correnti libere, cioè quelle delle spire. La simmetria è quella del solenoide indefinito ($r_S \ll h$, effetti di bordo trascurati), e il ferro è coassiale, quindi non la rompe. Con il rettangolo di Ampère per H∮H·dl = correnti libere concatenate: in un solenoide pieno di materiale H = n i, indipendentemente dal materiale.Magnetizzazione e campo H →:

$$\vec H = \frac{N I}{h}\,\hat u_z = \frac{500 \cdot 3}{1{,}5}\,\hat u_z = 1{,}00 \cdot 10^3\ \text{A/m}\ \hat u_z \qquad (r < r_S)$$

uguale dentro e fuori dal ferro; fuori dal solenoide ($r > r_S$) è nullo.

$\vec B$ e $\vec M$ zona per zona.

Nel ferro il campo $B$ è $100$ volte quello nell'aria. Si chiama $B_0 = \mu_0 NI/h = 1{,}26\ \text{mT}$ il campo senza ferro, e $B_{\text{Fe}} = \mu_r B_0 = 0{,}126\ \text{T}$ quello nel ferro.

Controllo con le condizioni al contorno. Sulla superficie laterale del ferro i campi sono tangenti: deve essere continua la componente tangente di $\vec H$ (nessuna corrente libera sulla superficie del ferro), ed è proprio così, $H = 10^3\ \text{A/m}$ da entrambe le parti. $\vec B$ tangente invece salta: lo fanno saltare le correnti di magnetizzazione del punto (b).

(b) Correnti di magnetizzazione

Sulla superficie laterale la normale uscente è $\hat u_r$:

$$\vec k_m = \vec M \times \hat u_n = M\,\hat u_z \times \hat u_r = M\,\hat u_\varphi = 9{,}9 \cdot 10^4\ \text{A/m}\ \hat u_\varphi$$

Una corrente che gira attorno al cilindro nello stesso verso di quella delle spire ($\hat u_z \times \hat u_r = \hat u_\varphi$ per la terna destra $(r, \varphi, z)$): il ferro magnetizzato equivale a un secondo solenoide, coassiale, con $99\,000$ ampere per metro, $99$ volte più "fitto" di quello vero ($nI = 1000\ \text{A/m}$). Il suo campo, $\mu_0 k_m = 0{,}124\ \text{T}$, sommato a $B_0$, dà $B_{\text{Fe}}$. ✓

Sulle basi $\vec M \parallel \hat u_n$ e $\vec k_m = 0$.

All'interno $\vec M$ è uniforme, quindi $\vec j_m = \nabla \times \vec M = 0$.

(c) Carica misurata dal galvanometro

La spira ha raggio $\rho$ compreso tra $r_C$ e $r_S$: abbraccia tutto il ferro e una corona d'aria.

Flusso iniziale (con il ferro): nel cerchio di raggio $r_C$ c'è $B_{\text{Fe}}$, nella corona tra $r_C$ e $\rho$ c'è $B_0$:

$$\Phi_i = B_{\text{Fe}}\,\pi r_C^2 + B_0\,(\pi\rho^2 - \pi r_C^2)$$

Flusso finale (ferro lontano): $\Phi_f = B_0\,\pi\rho^2$. La corrente del solenoide è mantenuta costante, quindi $B_0$ non cambia.

$$\Phi_i - \Phi_f = (B_{\text{Fe}} - B_0)\,\pi r_C^2 = (\mu_r - 1)\,\mu_0\frac{NI}{h}\,\pi r_C^2$$

Il raggio $\rho$ della spira si semplifica: conta solo il flusso "in più" portato dal ferro. Con la legge di Feliciq = (Φi − Φf)/R, indipendentemente dalla rapidità della variazione: è ciò che misura un galvanometro balistico.Legge di Faraday-Neumann-Lenz →:

$$Q = \frac{\Phi_i - \Phi_f}{R} = \frac{99 \cdot 1{,}26 \cdot 10^{-3} \cdot \pi(0{,}02)^2}{10} = \frac{1{,}56 \cdot 10^{-4}\ \text{Wb}}{10\ \Omega} = 1{,}56 \cdot 10^{-5}\ \text{C}$$

positiva nel verso associato a $z$: il flusso (lungo $+z$) diminuisce, e la corrente indotta cerca di sostenerlo.

(d) Lavoro della forza esterna e del generatore

Il generatore. Estraendo il ferro, il flusso concatenato con il solenoide cala, e nel solenoide si induce una f.e.m. $-d\Phi_S/dt$. Il solenoide ha resistenza trascurabile e la corrente deve restare $I$: il generatore deve fornire una tensione che bilanci esattamente la f.e.m. indotta, $V = d\Phi_S/dt$. Il suo lavoro:

$$W_{\text{gen}} = \int V\,I\,dt = I\int d\Phi_S = I\,\Delta\Phi_S$$

Il flusso concatenato con il solenoide cambia solo nella zona del ferro, per ognuna delle $N$ spire: $\Delta\Phi_S = -N(B_{\text{Fe}} - B_0)\pi r_C^2 = -N \cdot 1{,}56 \cdot 10^{-4}\ \text{Wb}$.

$$W_{\text{gen}} = -I\,N\,(\mu_r - 1)\,\mu_0\frac{NI}{h}\,\pi r_C^2 = -(\mu_r - 1)\,\frac{\mu_0 (NI)^2\,\pi r_C^2}{h} = -3 \cdot 500 \cdot 1{,}56 \cdot 10^{-4} = -0{,}234\ \text{J}$$

Negativo: il generatore riceve energia (la f.e.m. indotta spinge corrente nel suo verso, e lui la frena per tenerla costante).

L'energia magnetica. Cambia solo nel volume del ferro, $\pi r_C^2 h$, dove la densità di energiau = ½ B·H nella materia lineare; nel vuoto B²/2μ0.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica → passa da $\frac12 B_{\text{Fe}}H$ a $\frac12 B_0H$ (con $H$ invariato):

$$\Delta U_m = \frac12(B_0 - B_{\text{Fe}})\,H\,\pi r_C^2 h = -\frac12(\mu_r - 1)\frac{\mu_0(NI)^2\pi r_C^2}{h} = -0{,}117\ \text{J}$$

La forza esterna. Trascurando l'effetto Joule, i due lavori fatti sul sistema ne cambiano l'energia magnetica: $W_{\text{est}} + W_{\text{gen}} = \Delta U_m$.

$$W_{\text{est}} = \Delta U_m - W_{\text{gen}} = -0{,}117 + 0{,}234 = +0{,}117\ \text{J}$$

Come si legge. A corrente costante vale una regola generale: $W_{\text{gen}} = 2\,\Delta U_m$ e $W_{\text{est}} = -\Delta U_m$. Il lavoro esterno è positivo: il ferro è attratto dentro il solenoide (è ferromagnetico, si magnetizza concorde al campo e va verso le zone di campo intenso), e per estrarlo bisogna tirare. Il generatore riceve sia l'energia magnetica liberata ($0{,}117\ \text{J}$) sia il lavoro della forza esterna ($0{,}117\ \text{J}$).

Verifica numerica

import numpy as np
mu0 = 4e-7*np.pi
h, N, rC, R, mur, I = 1.5, 500, 0.02, 10, 100, 3
H = N*I/h; B0 = mu0*H; BFe = mur*B0; M = (mur - 1)*H
print(H, B0, BFe, M)                               # 1000 A/m, 1.26e-3 T, 0.126 T, 9.9e4 A/m
dPhi = (BFe - B0)*np.pi*rC**2; print(dPhi, dPhi/R) # 1.56e-4 Wb, 1.56e-5 C
Wgen = -I*N*dPhi; dU = 0.5*(B0 - BFe)*H*np.pi*rC**2*h
print(Wgen, dU, dU - Wgen)                         # -0.234 J, -0.117 J, +0.117 J

Risultati

Errori comuni

• Calcolare $H$ diverso nel ferro e nell'aria: in questa geometria $H$ dipende solo dalle correnti libere ed è lo stesso; cambiano $B$ e $M$.
• Far dipendere la carica dal raggio della spira: la corona d'aria ha lo stesso flusso prima e dopo.
• Dimenticare il lavoro del generatore: a corrente costante il generatore scambia energia, e $W_{\text{est}} \ne \Delta U_m$.