Esercizio 32circuito a semicirconferenza e semiquadrato

Testo (appello del 2018, problema 2). Un filo conduttore (resistività $\rho = 4 \cdot 10^{-8}\ \Omega\,\text{m}$) viene piegato a formare un circuito chiuso composto da una semicirconferenza di raggio $a = 10\ \text{cm}$ e da un semiquadrato di lato $2a$. Il circuito è alimentato tramite un generatore di forza elettromotrice $\mathcal E = 0{,}4\ \text{V}$ e resistenza interna $r = 30\ \text{m}\Omega$. Sapendo che il momento di dipolo magnetico del circuito è $m = 0{,}3\ \text{A m}^2$, determinare:

1. l'intensità di corrente $i$ nel circuito;
2. il modulo del campo magnetico $B_O$ nel punto $O$ (centro del quadrato e della circonferenza);
3. il diametro $d$ del filo usato per fare il circuito.

La figura, a parole: un diametro di lunghezza $2a$ divide la figura in due metà. Da una parte c'è la semicirconferenza di raggio $a$ centrata in $O$; dall'altra la metà di un quadrato di lato $2a$ centrato in $O$, cioè un rettangolo $2a \times a$ di cui il filo percorre tre lati: due lati corti di lunghezza $a$ (perpendicolari al diametro, partono dai suoi estremi) e il lato lungo $2a$ (parallelo al diametro, a distanza $a$ da $O$). Il diametro non fa parte del circuito.

Teoria: Prima legge di Laplace e legge di Biot-SavartOgni tratto di filo percorso da corrente produce un campo dB = (μ0/4π) i dl × u_r / r² (prima legge elementare di Laplace). Integrando: filo rettilineo indefinito B = μ0 i/2πR (Biot-Savart), con linee di campo circolari; spira circolare al centro B = μ0 i/2R, sull'asse uguale al campo di un dipolo magnetico lontano. Due fili paralleli si attraggono se le correnti sono concordi, con forza per unità di lunghezza μ0 i1 i2/2πd.Prima legge di Laplace e legge di Biot-Savart →, Forza magnetica su un conduttore e momento su una spiraSu un tratto di filo percorso da corrente agisce la forza dF = i dl × B (seconda legge elementare di Laplace); su un filo rettilineo in campo uniforme F = i l B sinθ. Nell'effetto Hall la forza sui portatori produce una tensione trasversale che misura B. Una spira in un campo uniforme non sente forza totale ma un momento M = m × B, con momento magnetico m = i S n; l'energia è U = −m·B. Su questo funzionano galvanometro e motore elettrico.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira →, Corrente elettrica e legge di OhmLa corrente i = dq/dt è la carica che attraversa una sezione per unità di tempo; la densità di corrente j = n q v_d lega la corrente al moto di deriva delle cariche. La carica si conserva (equazione di continuità). Nei conduttori ohmici j = σE, cioè V = R i con R = ρ ℓ/S; la potenza dissipata per effetto Joule è P = R i².Corrente elettrica e legge di Ohm →.

1) Corrente dal momento magnetico

Il momento magnetico di una spira piana è $m = iS$, con $S$ area racchiusa dal circuito (momento magneticom = i S n: corrente per area, per una spira piana di forma qualsiasi.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira →). L'area è mezzo quadrato più mezzo cerchio:

$$S = \frac{(2a)^2}{2} + \frac{\pi a^2}{2} = 2a^2 + \frac{\pi a^2}{2} = \frac{(4 + \pi)\,a^2}{2} = \frac{7{,}14 \cdot 0{,}01}{2} = 0{,}0357\ \text{m}^2$$

$$i = \frac{m}{S} = \frac{2m}{(4 + \pi)\,a^2} = \frac{0{,}3}{0{,}0357} = 8{,}4\ \text{A}$$

2) Campo nel centro $O$

Il campo è la somma (vettoriale) dei contributi dei pezzi del circuito, ciascuno calcolato con la prima legge di LaplacedB = (μ0/4π) i dl × u_r/r²; per un tratto rettilineo B = μ0 i (sinα1 + sinα2)/(4πR), per un arco di angolo φ al centro B = μ0 i φ/(4πR).Prima legge di Laplace e legge di Biot-Savart →. Tutti i pezzi girano attorno a $O$ nello stesso verso, quindi tutti i contributi in $O$ sono perpendicolari al piano e concordi: si sommano i moduli.

La semicirconferenza. Un arco di angolo $\varphi = \pi$ e raggio $a$ visto dal suo centro:

$$B_{\text{arco}} = \frac{\mu_0 i}{4\pi a}\,\pi = \frac{\mu_0 i}{4a}$$

(metà del campo di una spira intera, $\mu_0 i/2a$.)

I tre lati del semiquadrato. Conviene dividerli in quattro segmenti di lunghezza $a$, ognuno dei quali ha un estremo nel piede della perpendicolare da $O$:

• il lato lungo $2a$, a distanza $a$ da $O$, si divide nelle due metà a destra e a sinistra del piede della perpendicolare;
• ciascun lato corto, lungo $a$, giace su una retta a distanza $a$ da $O$ e parte proprio dal piede della perpendicolare (l'estremo del diametro).

Ogni segmento è visto da $O$ (distanza $a$) da un angolo che va da $0$ a $45°$ rispetto alla perpendicolare (un estremo è il piede, l'altro un vertice del quadrato, a $45°$). Per un tratto finito $B = \frac{\mu_0 i}{4\pi R}(\sin\alpha_1 + \sin\alpha_2)$ con $\alpha_1 = 0$, $\alpha_2 = 45°$:

$$B_{\text{segmento}} = \frac{\mu_0 i}{4\pi a}\cdot\frac{\sqrt2}{2}$$

Totale:

$$B_O = 4\,\frac{\mu_0 i}{4\pi a}\,\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\mu_0 i}{4a} = \frac{\mu_0 i}{2a}\left(\frac{\sqrt2}{\pi} + \frac12\right)$$

$$\frac{\mu_0 i}{2a} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 8{,}4}{0{,}2} = 5{,}28 \cdot 10^{-5}\ \text{T}, \qquad \frac{\sqrt2}{\pi} + \frac12 = 0{,}450 + 0{,}500 = 0{,}950$$

$$B_O = 5{,}02 \cdot 10^{-5}\ \text{T}$$

(La soluzione ufficiale riporta $5{,}02 \cdot 10^{-7}\ \text{T}$: la formula e le cifre sono le stesse, l'esponente corretto è $-5$.) Metà del campo viene dalla semicirconferenza e metà, poco meno, dai quattro segmenti.

3) Diametro del filo

Resistenza totale del circuito. Dalla legge di Ohm per il circuito con il generatore reale, $\mathcal E = (R + r)\,i$:

$$R = \frac{\mathcal E}{i} - r = \frac{0{,}4}{8{,}4} - 0{,}030 = 0{,}0476 - 0{,}030 = 0{,}0176\ \Omega$$

Lunghezza del filo. Semicirconferenza $\pi a$ più tre lati $a + 2a + a = 4a$:

$$L = (4 + \pi)\,a = 0{,}714\ \text{m}$$

Sezione e diametro. Dalla seconda legge di OhmR = ρ L / S.Corrente elettrica e legge di Ohm →:

$$S = \frac{\rho L}{R} = \frac{4 \cdot 10^{-8} \cdot 0{,}714}{0{,}0176} = 1{,}62 \cdot 10^{-6}\ \text{m}^2, \qquad d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}} = 1{,}44 \cdot 10^{-3}\ \text{m} = 1{,}44\ \text{mm}$$

Verifica numerica

import numpy as np
mu0, a, m, E, r, rho = 4e-7*np.pi, 0.10, 0.3, 0.4, 0.03, 4e-8
i = 2*m/((4 + np.pi)*a**2)
B = mu0*i/(2*a)*(np.sqrt(2)/np.pi + 0.5)
R = E/i - r; S = rho*(4 + np.pi)*a/R
print(i, B, R, np.sqrt(4*S/np.pi))     # 8.4 A, 5.02e-5 T, 0.0176 Ω, 1.44e-3 m

Risultati

Errori comuni

• Contare anche il diametro come parte del circuito (nell'area va contato, nel perimetro no).
• Usare la formula del filo indefinito per i lati del semiquadrato: sono segmenti finiti.
• Dimenticare la resistenza interna nel calcolo della resistenza del filo.