Carica elettrica e legge di Coulomb

Primo argomento del corso. Seguito: Campo elettrostatico e principio di sovrapposizioneIl campo elettrostatico E è la forza per unità di carica che una carica di prova sentirebbe in ogni punto; per più cariche i campi si sommano come vettori, e per distribuzioni continue si integra usando le densità di carica λ, σ, ρ.Campo elettrostatico e principio di sovrapposizione →. Esercizi: Esercizio 1 · molecola esagonale con sei cariche, Esercizio 2 · due lastre metalliche cariche messe in contatto.

Le quattro interazioni e il posto dell'elettromagnetismo

In natura si conoscono quattro interazioni fondamentali: gravitazionale, elettromagnetica, nucleare forte e nucleare debole. Le due nucleari agiscono solo a distanze dell'ordine del nucleo atomico ($10^{-15}\ \text{m}$); gravità ed elettromagnetismo invece hanno raggio d'azione infinito. Tutto ciò che succede nella vita quotidiana tra atomi e molecole (legami chimici, attrito, elasticità, la luce, i circuiti) è di origine elettromagnetica: Fisica 2 studia proprio questa interazione.

Fenomenologia: l'elettrizzazione per strofinio

Strofinando una bacchetta di vetro con un panno di seta, o una di plastica (ambra, ebanite) con un panno di lana, la bacchetta acquista la capacità di attirare pezzetti di carta: si dice che si è elettrizzata (triboelettricitàElettrizzazione per strofinio: due materiali diversi messi a contatto e separati si scambiano elettroni, e uno resta carico positivamente, l'altro negativamente.). Gli esperimenti mostrano che:

• esistono due soli tipi di elettrizzazione, chiamati per convenzione positiva (quella del vetro) e negativa (quella della plastica);
• corpi con elettrizzazione dello stesso tipo si respingono, di tipo opposto si attraggono;
• il panno usato per strofinare si carica sempre con il segno opposto a quello della bacchetta.

Si interpreta tutto introducendo una grandezza, la carica elettrica $q$, che può essere positiva o negativa. La materia è fatta di atomi: un nucleo con $Z$ protoni (carica $+e$ ciascuno) e neutroni (carica nulla), circondato da $Z$ elettroni (carica $-e$ ciascuno). Normalmente un atomo è neutro perché le cariche si compensano. Strofinando non si crea carica: si spostano elettroni da un corpo all'altro. Chi acquista elettroni diventa negativo, chi li perde positivo.

Le tre proprietà fondamentali della carica

1. Conservazione. In un sistema isolato la carica totale (somma algebrica delle cariche) resta costante. Le cariche possono spostarsi, separarsi, ricombinarsi, ma la somma non cambia. Anche nei processi tra particelle elementari (per esempio un fotone che si trasforma in un elettrone e un positrone) la carica totale prima e dopo è la stessa.
2. Quantizzazione. Ogni carica osservata è un multiplo intero della carica elementare $$e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \text{C}, \qquad q = N e \quad (N \in \mathbb{Z})$$ La quantizzazione fu misurata da Millikan (1909): goccioline d'olio nebulizzate, cariche per attrito, venivano tenute sospese tra due piastre orizzontali. Regolando la tensione fino a fermare una gocciolina, la forza elettrica $qE$ bilancia il peso $mg$, quindi $q = mg/E$. Ripetendo su moltissime gocce, i valori di $q$ trovati erano sempre multipli di uno stesso numero, $e$.
3. Invarianza. La carica di una particella non dipende dalla sua velocità (a differenza, per esempio, della sua energia).

Ordini di grandezza. $1\ \text{C}$ è una carica enorme: corrisponde a $1/e \approx 6{,}24 \cdot 10^{18}$ elettroni. Nell'elettrostatica di laboratorio si incontrano cariche di $\text{nC}$ ($10^{-9}\ \text{C}$) o $\text{pC}$ ($10^{-12}\ \text{C}$). Il coulomb nel SI è definito a partire dall'ampere: $1\ \text{C} = 1\ \text{A} \cdot 1\ \text{s}$ (la carica che attraversa un filo percorso da 1 A in 1 s).

Conduttori e isolanti

• Nei conduttori (metalli, soluzioni elettrolitiche, gas ionizzati) alcune cariche sono libere di muoversi in tutto il corpo: nei metalli sono gli elettroni più esterni di ogni atomo (circa uno per atomo). Una carica depositata in un punto si distribuisce subito su tutto il conduttore.
• Negli isolanti (o dielettrici: vetro, plastica, ceramica, aria secca) gli elettroni restano legati ai loro atomi: la carica resta dove la si deposita. Per questo si elettrizzano per strofinio, mentre un metallo tenuto in mano no (la carica scappa attraverso il corpo verso terra).
• Esistono anche i semiconduttori (silicio, germanio), con un comportamento intermedio che dipende fortemente dalla temperatura e dalle impurità.

L'elettroscopio a foglie. Un'asta metallica con due sottili foglie d'oro in fondo, chiusa in un contenitore di vetro. Toccando la pallina in cima con un corpo carico, parte della carica passa sull'asta e si distribuisce anche sulle foglie, che, avendo carica dello stesso segno, si respingono e si aprono. L'angolo di apertura dà un'idea della quantità di carica.

La legge di Coulomb

Coulomb (1785) misurò con una bilancia di torsione la forza tra due piccole sfere cariche. Il risultato, per due cariche puntiformi $q_1$ e $q_2$ ferme a distanza $r$ nel vuoto, è:

$$\boxed{\vec F_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_1\,q_2}{r^2}\,\hat u_{12}}$$

dove:

• $\vec F_{12}$ è la forza che $q_1$ esercita su $q_2$;
• $\hat u_{12}$ è il versoreVettore di modulo 1 che indica solo una direzione e un verso. Qui va dalla carica 1 alla carica 2. che va da $q_1$ verso $q_2$;
• $\varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot 10^{-12}\ \text{C}^2/(\text{N}\,\text{m}^2)$ è la costante dielettrica del vuotoDetta anche permittività del vuoto. È una costante che fissa l'intensità della forza elettrica nel SI; la si incontra in tutte le formule dell'elettrostatica.;
• $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}99 \cdot 10^9\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2$ (negli esercizi spesso si arrotonda a $9 \cdot 10^9$).

Come si legge il segno. Se $q_1 q_2 > 0$ (cariche dello stesso segno) la forza ha il verso di $\hat u_{12}$, cioè allontana $q_2$ da $q_1$: repulsiva. Se $q_1 q_2 < 0$ la forza ha verso opposto a $\hat u_{12}$: attrattiva. Non serve ricordare regole a parte: il segno del prodotto fa tutto da solo.

Terzo principio. La forza che $q_2$ esercita su $q_1$ è $\vec F_{21} = -\vec F_{12}$: stesso modulo, verso opposto, stessa retta d'azione.

Perché $1/(4\pi\varepsilon_0)$ e non semplicemente $k$? Il fattore $4\pi$ è l'area della sfera di raggio unitario: scrivendo la costante così, sparisce dalla legge di GaussIl flusso di E attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica contenuta divisa per ε0, qualunque siano forma della superficie e posizione delle cariche interne; in forma locale div E = ρ/ε0. Insieme a rot E = 0 riassume tutta l'elettrostatica.Flusso del campo elettrico e legge di Gauss → e dalle formule dei condensatori, che si usano molto più spesso. È una scelta di comodità del Sistema Internazionale.

Caratteristiche della forza di Coulomb

• Dipende da $1/r^2$, come la gravitazione di Newton $F = G m_1 m_2/r^2$. L'esponente 2 è stato verificato con precisione altissima (scostamenti inferiori a $10^{-16}$).
• È centrale: diretta lungo la congiungente le due cariche.
• È molto più intensa della gravità. Per due protoni: $$\frac{F_e}{F_g} = \frac{k e^2}{G m_p^2} = \frac{8{,}99 \cdot 10^9 \cdot (1{,}6 \cdot 10^{-19})^2}{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot (1{,}67 \cdot 10^{-27})^2} \approx 1{,}2 \cdot 10^{36}$$ La gravità domina su scala astronomica solo perché la materia è globalmente neutra e le forze elettriche si compensano, mentre le masse si sommano sempre.
• Vale il principio di sovrapposizione: la forza totale su una carica dovuta a più cariche è la somma vettoriale delle singole forze, ognuna calcolata come se le altre non ci fossero (si approfondisce in Campo elettrostatico e principio di sovrapposizioneIl campo elettrostatico E è la forza per unità di carica che una carica di prova sentirebbe in ogni punto; per più cariche i campi si sommano come vettori, e per distribuzioni continue si integra usando le densità di carica λ, σ, ρ.Campo elettrostatico e principio di sovrapposizione →).

Nei mezzi materiali

Se le due cariche sono immerse in un mezzo isolante omogeneo (olio, acqua distillata…), la forza si riduce di un fattore $\varepsilon_r > 1$, la costante dielettrica relativa del mezzo: $$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\frac{q_1 q_2}{r^2}$$ Il motivo (la polarizzazione del mezzo) si vede in Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione →. Per l'aria $\varepsilon_r \approx 1{,}0006$, quindi in pratica si usa il valore del vuoto.

Esempio numerico

Due cariche $q_1 = 2\ \text{nC}$ e $q_2 = -3\ \text{nC}$ sono a distanza $r = 5\ \text{cm} = 0{,}05\ \text{m}$. Modulo della forza: $$F = 8{,}99 \cdot 10^9 \cdot \frac{(2 \cdot 10^{-9})(3 \cdot 10^{-9})}{(0{,}05)^2} = 8{,}99 \cdot 10^9 \cdot \frac{6 \cdot 10^{-18}}{2{,}5 \cdot 10^{-3}} = 2{,}16 \cdot 10^{-5}\ \text{N}$$ Le cariche hanno segno opposto, quindi la forza è attrattiva. Si noti che le distanze vanno sempre convertite in metri prima di sostituire.

Errori comuni

• Dimenticare il quadrato della distanza, o usare i centimetri.
• Sommare i moduli delle forze invece dei vettori quando le cariche sono più di due: bisogna scomporre in componenti.
• Applicare Coulomb a corpi estesi non puntiformi senza integrare: la formula vale per cariche puntiformi (o per sfere con carica distribuita in modo simmetrico, come si dimostrerà con Gauss).