Esercizio 25sfera metallica e condensatori in un circuito RC

Testo (I appello, 28 gennaio 2020, problema 1). Il circuito è costituito da un generatore ideale di tensione $\mathcal E = 12\,000\ \text{V}$, una resistenza $R = 50\ \text{k}\Omega$ e da due condensatori piani $C_1 = C_2 = C$ identici, collegati in serie tra loro, la cui capacità combinata eguaglia un terzo di quella di una sfera metallica di raggio $r_S = 0{,}43\ \text{m}$, posta molto lontano dagli altri condensatori e collegata in parallelo alla serie $C_1$–$C_2$. All'istante $t_0 = 0$ si chiude un interruttore, in serie al resistore, che viene riaperto quando il sistema è carico all'80%.

a) Quanto tempo $t$ ha impiegato il sistema a caricarsi? b) Quanto vale il campo elettrostatico $\vec E$ sulla superficie della sfera all'istante $t$? c) Quale sarà il nuovo potenziale $V'_S$ della sfera se si riempie completamente uno dei condensatori con un dielettrico di costante dielettrica relativa $\varepsilon_r = 6$?

Teoria: Carica e scarica di un condensatoreIn un circuito RC la carica del condensatore non cambia di colpo: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), in scarica q(t) = q0 e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC. Dopo qualche τ il transitorio è finito. Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà finisce nel condensatore e metà si dissipa nella resistenza, qualunque sia R.Carica e scarica di un condensatore →, Capacità e condensatoriLa capacità C = Q/V misura quanta carica un conduttore (o una coppia di conduttori) accumula per ogni volt. Condensatore piano C = ε0S/d, cilindrico C = 2πε0h/ln(R2/R1), sferico C = 4πε0R1R2/(R2−R1). In parallelo le capacità si sommano, in serie si sommano gli inversi.Capacità e condensatori →, Conduttori in equilibrio elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, la carica sta sulla superficie, il conduttore è equipotenziale e appena fuori il campo è perpendicolare e vale σ/ε0 (teorema di Coulomb). Un conduttore cavo scherma l'interno (gabbia di Faraday); per induzione le cariche si separano in presenza di un campo esterno.Conduttori in equilibrio elettrostatico →, Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione →.

La sfera come condensatore

Una sfera conduttrice isolata è un condensatore la cui seconda armatura è "all'infinito" (o a terra, a potenziale zero): la sua capacitàSfera isolata di raggio R: C = 4πε0R, perché il suo potenziale è Q/(4πε0R).Capacità e condensatori → è

$$C_S = 4\pi\varepsilon_0 r_S = 1{,}113 \cdot 10^{-10} \cdot 0{,}43 = 47{,}8\ \text{pF}$$

"Molto lontano dagli altri condensatori" serve a poter usare questa formula, senza influenze reciproche.

a) Tempo di carica all'80%

Capacità equivalente. La serie $C_1$–$C_2$ vale $C_S/3$ ed è in parallelo con la sfera:

$$C_T = C_S + \frac{C_S}{3} = \frac43\,C_S = 63{,}8\ \text{pF}$$

Costante di tempo: $\tau = RC_T = 5 \cdot 10^4 \cdot 63{,}8 \cdot 10^{-12} = 3{,}19\ \mu\text{s}$.

Tempo. La tensione sul gruppo di condensatori cresce come $V(t) = \mathcal E(1 - e^{-t/\tau})$ (carica RCIn carica tensione e carica crescono come 1 − e^(−t/τ); per raggiungere la frazione f serve t = −τ ln(1 − f).Carica e scarica di un condensatore →). "Carico all'80%" vuol dire $V/\mathcal E = 0{,}8$:

$$e^{-t/\tau} = 0{,}2 \quad\Longrightarrow\quad t = -\tau\ln 0{,}2 = \tau\ln 5 = 3{,}19 \cdot 1{,}609 = 5{,}13\ \mu\text{s}$$

b) Campo sulla superficie della sfera

La sfera è collegata ai capi del gruppo, quindi il suo potenziale è $V_S = 0{,}8\,\mathcal E = 9600\ \text{V}$. Appena fuori dalla superficie di un conduttore il campo è perpendicolare e vale $\sigma/\varepsilon_0$ (teorema di CoulombAppena fuori da un conduttore E = σ/ε0, perpendicolare alla superficie.Conduttori in equilibrio elettrostatico →); per una sfera $\sigma = q_S/4\pi r_S^2$ e $V_S = q_S/4\pi\varepsilon_0 r_S$, quindi

$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{q_S}{4\pi\varepsilon_0 r_S^2} = \frac{V_S}{r_S} = \frac{9600}{0{,}43} = 2{,}23 \cdot 10^4\ \text{V/m}$$

diretto radialmente verso l'esterno (la sfera è carica positivamente). Il campo è ben sotto la rigidità dell'aria ($3 \cdot 10^6\ \text{V/m}$): nessuna scarica.

c) Dielettrico in uno dei condensatori

Cosa resta costante. L'interruttore è stato riaperto: il gruppo sfera + condensatori è isolato e conserva la carica totale

$$Q = C_T\,V_S = 63{,}8 \cdot 10^{-12} \cdot 9600 = 6{,}12 \cdot 10^{-7}\ \text{C}$$

che può però ridistribuirsi tra la sfera e la serie.

Nuova capacità della serie. Ogni condensatore vale $C = 2C_S/3 = 31{,}9\ \text{pF}$ (perché la serie di due uguali è $C/2 = C_S/3$). Riempiendone uno, diventa $\varepsilon_r C$:

$$C'_{\text{serie}} = \frac{\varepsilon_r C \cdot C}{\varepsilon_r C + C} = \frac{\varepsilon_r}{\varepsilon_r + 1}\,C = \frac67 \cdot 31{,}9 = 27{,}3\ \text{pF}$$

(prima era $15{,}9\ \text{pF}$). La capacità totale sale a $C'_T = C_S + C'_{\text{serie}} = 75{,}1\ \text{pF}$.

Nuovo potenziale. A carica costante:

$$V'_S = \frac{Q}{C'_T} = \frac{6{,}12 \cdot 10^{-7}}{75{,}1 \cdot 10^{-12}} = 8{,}15 \cdot 10^3\ \text{V}$$

Il potenziale scende da $9600$ a $8150\ \text{V}$: la serie, più capace, si prende una parte della carica che prima stava sulla sfera.

Verifica numerica

import numpy as np
eps0 = 8.854e-12
E0, R, rS, er = 12000, 50e3, 0.43, 6
CS = 4*np.pi*eps0*rS
CT = 4/3*CS; tau = R*CT
print(CS, CT, tau, tau*np.log(5))            # 47.8 pF, 63.8 pF, 3.19 µs, 5.13 µs
VS = 0.8*E0; print(VS/rS)                    # 2.23e4 V/m
C = 2/3*CS; Cs_new = er/(er + 1)*C
print(CT*VS/(CS + Cs_new))                   # 8145 V

Risultati

Errori comuni

• Dimenticare la sfera nella capacità equivalente: è un condensatore a tutti gli effetti.
• Tenere fissa la tensione dopo aver riaperto l'interruttore: il sistema è isolato, si conserva la carica.
• Moltiplicare per $\varepsilon_r$ tutta la serie: il dielettrico è in uno solo dei due condensatori.