Esercizio 18energia di tre sfere concentriche

Testo (prova in itinere del 24 novembre 2022, problema 2, versione corretta in aula). Tre sfere conduttrici sottili, cave e concentriche, hanno raggi $R_1 = 1{,}5\ \text{cm}$, $R_2 = 1{,}6\ \text{cm}$ e $R_3 = 3\ \text{cm}$. Una carica $q_1 = 10\ \text{nC}$ viene trasferita alla più interna delle tre, e una carica $q_2 = -4\ \text{nC}$ a quella centrale. Lo spazio tra la sfera 1 e la 2 è riempito di un liquido isolante con $\varepsilon_r = 3{,}3$. Si calcoli l'energia elettrostatica totale immagazzinata nel sistema.

Teoria: Conduttori in equilibrio elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, la carica sta sulla superficie, il conduttore è equipotenziale e appena fuori il campo è perpendicolare e vale σ/ε0 (teorema di Coulomb). Un conduttore cavo scherma l'interno (gabbia di Faraday); per induzione le cariche si separano in presenza di un campo esterno.Conduttori in equilibrio elettrostatico →, Capacità e condensatoriLa capacità C = Q/V misura quanta carica un conduttore (o una coppia di conduttori) accumula per ogni volt. Condensatore piano C = ε0S/d, cilindrico C = 2πε0h/ln(R2/R1), sferico C = 4πε0R1R2/(R2−R1). In parallelo le capacità si sommano, in serie si sommano gli inversi.Capacità e condensatori →, Energia elettrostatica e forza tra le armatureCaricare un condensatore costa lavoro, che resta immagazzinato come energia U = Q²/2C = CV²/2 = QV/2. L'energia si può pensare distribuita nel campo con densità u = ε0E²/2. La forza tra le armature si ricava derivando l'energia rispetto alla distanza (F = Q²/2ε0S); a tensione costante il generatore fornisce il doppio dell'energia che finisce nel condensatore.Energia elettrostatica e forza tra le armature →, Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione →.

Dove si mettono le cariche

Le sfere sono conduttori, quindi le cariche stanno sulle superfici. Bisogna capire quanta carica sta su ogni superficie (interna ed esterna di ciascun guscio), usando l'induzione completaUn conduttore cavo che racchiude una carica q ha sulla sua superficie interna esattamente −q: lo si vede con una superficie di Gauss dentro il metallo, dove E = 0.Conduttori in equilibrio elettrostatico →:

Quindi il campo c'è in tre zone: tra 1 e 2 (prodotto da $q_1$), tra 2 e 3 (prodotto da $q_1 + q_2$) e fuori dalla 3 (ancora $q_1 + q_2$). Dentro ogni guscio metallico il campo è nullo.

Tre condensatori

Ogni zona con campo è un condensatore:

1. tra la sfera 1 e la 2: condensatore sferico con carica $q_1$, pieno di liquido;
2. tra la sfera 2 e la 3: condensatore sferico con carica $q_1 + q_2$, vuoto;
3. fuori dalla sfera 3: la sfera 3 isolata, con carica $q_1 + q_2$ sulla faccia esterna (l'altra "armatura" è all'infinito).

L'energia totale è la somma delle energie dei tre, ognuno con la sua carica: $U = \dfrac{Q^2}{2C}$ (energia di un condensatoreU = Q²/2C: la forma comoda quando si conosce la carica.Energia elettrostatica e forza tra le armature →). È equivalente a integrare la densità di energia $\frac12\varepsilon_0\varepsilon_r E^2$ in tutto lo spazio, zona per zona.

Le capacità

$$C_1 = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r\,\frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1} = 4\pi \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 3{,}3 \cdot \frac{0{,}015 \cdot 0{,}016}{0{,}001} = 88{,}1\ \text{pF}$$

$$C_2 = 4\pi\varepsilon_0\,\frac{R_2 R_3}{R_3 - R_2} = 1{,}113 \cdot 10^{-10} \cdot \frac{0{,}016 \cdot 0{,}03}{0{,}014} = 3{,}81\ \text{pF}$$

$$C_3 = 4\pi\varepsilon_0 R_3 = 1{,}113 \cdot 10^{-10} \cdot 0{,}03 = 3{,}34\ \text{pF}$$

$C_1$ è molto più grande delle altre: le armature distano solo $1\ \text{mm}$ e c'è il liquido che moltiplica per $3{,}3$ (dielettricoRiempire un condensatore con un dielettrico di costante εr ne moltiplica la capacità per εr.Dielettrici e polarizzazione →).

Le energie

$$U_1 = \frac{q_1^2}{2C_1} = \frac{(10^{-8})^2}{2 \cdot 88{,}1 \cdot 10^{-12}} = 0{,}57\ \mu\text{J}$$

$$U_2 = \frac{(q_1 + q_2)^2}{2C_2} = \frac{(6 \cdot 10^{-9})^2}{2 \cdot 3{,}81 \cdot 10^{-12}} = 4{,}72\ \mu\text{J}$$

$$U_3 = \frac{(q_1 + q_2)^2}{2C_3} = \frac{(6 \cdot 10^{-9})^2}{2 \cdot 3{,}34 \cdot 10^{-12}} = 5{,}39\ \mu\text{J}$$

$$\boxed{U = U_1 + U_2 + U_3 = 10{,}7\ \mu\text{J}}$$

Il condensatore interno, pur avendo la carica più grande, contribuisce poco: la sua capacità enorme vuol dire tensione piccola ($V_1 - V_2 = q_1/C_1 = 113\ \text{V}$). La maggior parte dell'energia sta fuori, nel campo esterno alla sfera 3.

Controllo con i potenziali

Per un sistema di conduttori l'energia si può scrivere anche come $U = \frac12\sum_i Q_i V_i$, con $Q_i$ carica totale e $V_i$ potenziale di ciascun conduttore. I potenziali si ottengono salendo dall'infinito:

• $V_3 = \dfrac{q_1 + q_2}{C_3} = 1798\ \text{V}$
• $V_2 = V_3 + \dfrac{q_1 + q_2}{C_2} = 1798 + 1573 = 3370\ \text{V}$
• $V_1 = V_2 + \dfrac{q_1}{C_1} = 3370 + 113 = 3484\ \text{V}$

$$U = \tfrac12\,(q_1 V_1 + q_2 V_2 + 0 \cdot V_3) = \tfrac12\,(10^{-8} \cdot 3484 - 4 \cdot 10^{-9} \cdot 3370) = 10{,}7\ \mu\text{J}\ ✓$$

Per completezza, la carica di polarizzazione sulla superficie del liquido a contatto con la sfera 1 vale $q_p = \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}\,q_1 = 7{,}0\ \text{nC}$, negativa (opposta a $q_1$).

Verifica numerica

import numpy as np
eps0 = 8.854e-12
R1, R2, R3, q1, q2, er = 0.015, 0.016, 0.03, 1e-8, -4e-9, 3.3
C1 = 4*np.pi*eps0*er*R1*R2/(R2 - R1)
C2 = 4*np.pi*eps0*R2*R3/(R3 - R2)
C3 = 4*np.pi*eps0*R3
U = q1**2/(2*C1) + (q1 + q2)**2/(2*C2) + (q1 + q2)**2/(2*C3)
V3 = (q1 + q2)/C3; V2 = V3 + (q1 + q2)/C2; V1 = V2 + q1/C1
print(C1, C2, C3, U)                 # 88.1 pF, 3.81 pF, 3.34 pF, 1.068e-5 J
print(0.5*(q1*V1 + q2*V2))           # 1.068e-5 J

Risultati

Errori comuni

• Usare $q_2$ come carica del secondo condensatore: tra la sfera 2 e la 3 il campo è prodotto da tutta la carica interna, $q_1 + q_2$.
• Dimenticare l'energia del campo esterno (la sfera 3 isolata): è la parte più grande.
• Mettere $\varepsilon_r$ in tutti i condensatori: il liquido è solo tra la sfera 1 e la 2.