Esercizio 8protone in un potenziale a tratti

Testo (I appello, 23 gennaio 2025, problema 1). Un protone (massa $1{,}67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$ e carica $e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$) attraversa il punto $x = 0$ al tempo $t = 0$ con velocità $\vec v_0 = 10^4\ \text{m/s}\ \hat u_x$ in una zona dove è presente il potenziale elettrico disegnato in figura. Calcolare:

1. la velocità della particella in $x_A = 3\ \text{m}$;
2. il tempo impiegato dalla particella per raggiungere $x_A$;
3. il punto di arresto della particella, dato $V(x) = (3x - 16)\ \text{V}$ per $x > 4\ \text{m}$.

La figura, a parole: $V$ vale $2\ \text{V}$ costante per $x \le 1\ \text{m}$; scende in linea retta fino a $-4\ \text{V}$ in $x = 3\ \text{m}$; resta a $-4\ \text{V}$ fino a $x = 4\ \text{m}$; poi risale come $3x - 16$ (che in $x = 4$ vale proprio $-4$, e in $x = 8$ vale $8\ \text{V}$).

Teoria: Lavoro elettrico e potenziale elettrostaticoLa forza elettrostatica è conservativa: il suo lavoro dipende solo dagli estremi e si scrive come differenza di energia potenziale. Il potenziale V è l'energia potenziale per unità di carica; per una carica puntiforme V = kq/r, e il campo è E = −grad V, perpendicolare alle superfici equipotenziali.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →.

Leggere il grafico del potenziale

Prima dei conti conviene tradurre il grafico in campo elettrico, perché il campo dice che tipo di moto fa il protone. Lungo un asse vale $E_x = -\dfrac{dV}{dx}$ (dal potenziale al campoIn una dimensione E_x = −dV/dx: il campo è meno la pendenza del grafico di V. Dove V è costante il campo è nullo.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →): il campo è meno la pendenza del grafico.

Dove il potenziale scende, una carica positiva viene spinta in avanti (come una pallina che rotola giù per una discesa); dove sale, viene frenata.

1) Velocità in $x_A = 3\ \text{m}$

La forza elettrica è conservativa: si conserva l'energia meccanica, cinetica più potenziale, con energia potenziale $U = eV$:

$$\tfrac12 m v_0^2 + eV(0) = \tfrac12 m v_A^2 + eV(x_A)$$

Dal grafico $V(0) = 2\ \text{V}$ e $V(x_A) = -4\ \text{V}$. Ricavando $v_A$:

$$v_A = \sqrt{v_0^2 + \frac{2e}{m}\,[V(0) - V(x_A)]} = \sqrt{10^8 + \frac{2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}}{1{,}67 \cdot 10^{-27}} \cdot 6}$$

$$= \sqrt{10^8 + 1{,}150 \cdot 10^9} = \sqrt{1{,}250 \cdot 10^9} = 3{,}54 \cdot 10^4\ \text{m/s}$$

Il protone "scende" di $6\ \text{V}$ e guadagna $6\ \text{eV}$ di energia cinetica. Si noti che non serve sapere com'è fatto il potenziale tra $0$ e $3$: con l'energia contano solo gli estremi.

2) Tempo per arrivare in $x_A$

Il tempo invece dipende da come si va: si divide il percorso nei due tratti del grafico.

Tratto 1, da 0 a 1 m: moto uniforme. Campo nullo, velocità costante $v_0$:

$$t_1 = \frac{1\ \text{m}}{10^4\ \text{m/s}} = 1{,}00 \cdot 10^{-4}\ \text{s} = 100\ \mu\text{s}$$

Tratto 2, da 1 a 3 m: moto uniformemente accelerato. Campo costante $E = 3\ \text{V/m}$, quindi accelerazione costante

$$a = \frac{eE}{m} = \frac{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 3}{1{,}67 \cdot 10^{-27}} = 2{,}87 \cdot 10^8\ \text{m/s}^2$$

Il protone entra con $v_0$ ed esce con $v_A$; da $v_A = v_0 + a\,t_2$:

$$t_2 = \frac{v_A - v_0}{a} = \frac{3{,}54 \cdot 10^4 - 1{,}00 \cdot 10^4}{2{,}87 \cdot 10^8} = 8{,}82 \cdot 10^{-5}\ \text{s} = 88{,}2\ \mu\text{s}$$

Controllo con lo spazio: $v_A^2 - v_0^2 = 2a\,d_2$ con $d_2 = 2\ \text{m}$ dà $2 \cdot 2{,}87 \cdot 10^8 \cdot 2 = 1{,}15 \cdot 10^9$, uguale al termine trovato al punto 1 ✓ (le due strade, energia e cinematica, devono coincidere).

$$t_A = t_1 + t_2 = 100 + 88{,}2 = 188\ \mu\text{s}$$

3) Punto di arresto

Tra 3 e 4 m il campo è nullo e il protone procede a $v_A$. Oltre $x = 4\ \text{m}$ il potenziale sale e il campo lo frena: si ferma nel punto $x_{\max}$ in cui tutta l'energia cinetica è tornata potenziale. Conservazione dell'energia tra $x = 0$ e $x_{\max}$ (dove $v = 0$):

$$\tfrac12 m v_0^2 + eV(0) = eV(x_{\max}) \quad\Longrightarrow\quad V(x_{\max}) = V(0) + \frac{m v_0^2}{2e}$$

$$V(x_{\max}) = 2 + \frac{1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 10^8}{2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}} = 2 + 0{,}52 = 2{,}52\ \text{V}$$

Il termine $\frac{mv_0^2}{2e} = 0{,}52\ \text{V}$ è l'energia cinetica iniziale espressa in volt (cioè in eV per un protone): il protone può risalire $0{,}52\ \text{V}$ sopra il potenziale da cui era partito. Con la legge del tratto finale:

$$3x_{\max} - 16 = 2{,}52 \quad\Longrightarrow\quad x_{\max} = \frac{2{,}52 + 16}{3} = 6{,}17\ \text{m}$$

Controllo: $6{,}17\ \text{m}$ sta davvero nel tratto $x > 4\ \text{m}$ ✓. Poi il protone torna indietro: il campo $E_x = -3\ \text{V/m}$ continua a spingerlo verso le $x$ decrescenti.

Verifica numerica

import numpy as np
m, e, v0 = 1.67e-27, 1.6e-19, 1e4
vA = np.sqrt(v0**2 + 2*e/m*(2 - (-4)))
a = e*3/m
t1, t2 = 1/v0, (vA - v0)/a
print(vA, a, t1, t2, t1 + t2)       # 3.54e4, 2.87e8, 1e-4, 8.82e-5, 1.88e-4 s
Vmax = 2 + m*v0**2/(2*e)
print(Vmax, (Vmax + 16)/3)          # 2.52 V, 6.17 m

Risultati

Errori comuni

• Sbagliare il segno dell'energia potenziale: per il protone $U = +eV$, quindi scende di energia dove $V$ scende. Per un elettrone sarebbe il contrario.
• Calcolare il tempo con l'energia: l'energia dà le velocità, ma per il tempo serve la cinematica tratto per tratto.
• Dimenticare che il protone parte già con energia cinetica: si ferma a $2{,}52\ \text{V}$, non a $2\ \text{V}$.