Esercizio 17tubo a U in due condensatori cilindrici

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Testo (prova in itinere del 19 novembre 2019, problema 2). Un circuito è composto da un tubo metallico di diametro $d_1 = 2\ \text{cm}$ , piegato a U e chiuso alle estremità. I due bracci entrano all'interno di due cilindri conduttori in modo coassiale, con raggio $R_2 = 2\ \text{cm}$ , e a questo sistema è connesso un generatore di tensione da $12\ \text{V}$ (tra il tubo e i due cilindri). Un cilindro è riempito di un gas con costante dielettrica relativa $\varepsilon_r = 2{,}2$ .

a) Trascurando gli effetti di bordo, si trovi la capacità del sistema quando il tubo entra nei cilindri per un'altezza $h = 2{,}81\ \text{cm}$ . b) Quanto vale l'energia immagazzinata nel sistema dei due condensatori? c) Se ora si perde il gas dal secondo cilindro, come devo spostare il tubo in modo che l'energia immagazzinata non cambi? d) Tornando alla posizione iniziale con il secondo cilindro pieno di gas, si estrae il tubo dai cilindri in modo lineare in un tempo $T = 3{,}2\ \text{s}$ . Si calcoli la potenza necessaria per questa estrazione.

Teoria: Capacità e condensatori, Energia elettrostatica e forza tra le armature, Dielettrici e polarizzazione.

Lo schema

Ogni braccio del tubo, dentro il suo cilindro, forma un condensatore cilindrico: armatura interna il braccio (raggio $R_1 = d_1/2 = 1\ \text{cm}$ ), armatura esterna il cilindro ( $R_2 = 2\ \text{cm}$ ), altezza affacciata $h$ . Il tubo è un unico conduttore, e i due cilindri sono collegati allo stesso polo del generatore: i due condensatori hanno la stessa differenza di potenziale $V = 12\ \text{V}$ , quindi sono in parallelo.

a) Capacità

Un condensatore cilindrico vuoto di altezza $h$ ha capacità

$C_1 = \frac{2\pi\varepsilon_0\,h}{\ln(R_2/R_1)}$

Quello pieno di gas ha la stessa geometria, moltiplicata per $\varepsilon_r$ (dielettrico che riempie il condensatore): $C_2 = \varepsilon_r C_1$ . In parallelo le capacità si sommano:

$C = C_1 + C_2 = \frac{2\pi\varepsilon_0(1 + \varepsilon_r)\,h}{\ln(R_2/R_1)} = \frac{2\pi \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 3{,}2 \cdot 0{,}0281}{\ln 2} = \frac{5{,}00 \cdot 10^{-12}}{0{,}693} = 7{,}22\ \text{pF}$

(separatamente $C_1 = 2{,}26\ \text{pF}$ e $C_2 = 4{,}96\ \text{pF}$ .) Si usa la formula cilindrica, non quella del condensatore piano: le armature sono coassiali, il campo è radiale e cala come $1/r$ .

b) Energia immagazzinata

Il generatore fissa la tensione, quindi si usa la forma con $V$ :

$U = \frac12 C V^2 = \frac12 \cdot 7{,}22 \cdot 10^{-12} \cdot 144 = 5{,}20 \cdot 10^{-10}\ \text{J} = 0{,}520\ \text{nJ}$

c) Il gas sfugge: di quanto spostare il tubo

Con $V$ fissato, l'energia $U = \frac12 CV^2$ dipende solo dalla capacità: per non cambiarla bisogna mantenere costante $C$ . Senza gas il secondo condensatore diventa vuoto, $C \propto (1 + 1)\,h'$ invece di $(1 + \varepsilon_r)\,h$ . Imponendo la stessa capacità:

$(1 + \varepsilon_r)\,h = 2\,h' \quad\Longrightarrow\quad h' = \frac{1 + \varepsilon_r}{2}\,h = 1{,}6 \cdot 2{,}81 = 4{,}50\ \text{cm}$

Il tubo va spinto più a fondo nei cilindri, da $2{,}81$ a $4{,}50\ \text{cm}$ : si recupera con più superficie affacciata la capacità persa dal gas.

d) Potenza per estrarre il tubo

Il tubo esce in modo lineare: l'altezza affacciata scende da $h$ a $0$ nel tempo $T$ , $h(t) = h\,(1 - t/T)$ . Anche la capacità cala linearmente fino a zero.

Bilancio dell'energia. Durante l'estrazione agiscono tre "attori": l'agente esterno che tira il tubo (lavoro $W_{\text{est}}$ ), il generatore (lavoro $W_{\text{gen}}$ ) e il condensatore (energia $U$ ). Si conserva l'energia:

$W_{\text{est}} + W_{\text{gen}} = \Delta U$

l'energia del condensatore passa da $U_i = 0{,}520\ \text{nJ}$ a $0$ : $\Delta U = -U_i$ ;
la carica sul condensatore passa da $CV$ a $0$ e torna nel generatore, che quindi riceve energia: $W_{\text{gen}} = V\,\Delta Q = V(0 - CV) = -CV^2 = -2U_i$ (come visto nella teoria, a tensione costante il generatore scambia il doppio della variazione di energia).

Quindi

$W_{\text{est}} = \Delta U - W_{\text{gen}} = -U_i + 2U_i = +U_i = 5{,}20 \cdot 10^{-10}\ \text{J}$

L'agente esterno fa lavoro positivo: il campo attira il tubo dentro i cilindri (la forza vale $F = \frac12 V^2\,dC/dh$ , costante perché $C$ è proporzionale a $h$ ), e per estrarlo bisogna tirarlo. Il lavoro fatto più l'energia che c'era nel condensatore finiscono nel generatore.

Potenza. La forza è costante e il tubo esce a velocità costante $h/T$ , quindi la potenza è costante:

$P = \frac{W_{\text{est}}}{T} = \frac12 V^2\,\frac{2\pi\varepsilon_0(1 + \varepsilon_r)}{\ln(R_2/R_1)}\,\frac{h}{T} = \frac{5{,}20 \cdot 10^{-10}}{3{,}2} = 1{,}62 \cdot 10^{-10}\ \text{W}$

(La soluzione ufficiale arriva allo stesso numero con $W = -\Delta U$ ; la riga finale riporta " $0{,}169\ \text{nW}$ ", un errore di battitura per $0{,}162\ \text{nW}$ .) La forza in gioco è $F = W_{\text{est}}/h = 5{,}20 \cdot 10^{-10}/0{,}0281 = 1{,}85 \cdot 10^{-8}\ \text{N}$ : con $12\ \text{V}$ e pochi picofarad le forze elettrostatiche sono minuscole.

Verifica numerica

python

import numpy as np
eps0, R1, R2, er, h, V, T = 8.854e-12, 0.01, 0.02, 2.2, 0.0281, 12, 3.2
C = 2*np.pi*eps0*(1 + er)*h/np.log(R2/R1)
U = 0.5*C*V**2
print(C, U)                     # 7.22e-12 F, 5.20e-10 J
print((1 + er)*h/2)             # 0.0450 m
print(U/T, U/h)                 # 1.62e-10 W, 1.85e-8 N

Risultati

grandezza	valore
capacità	$7{,}22\ \text{pF}$ (parallelo di $2{,}26$ e $4{,}96\ \text{pF}$ )
energia	$0{,}520\ \text{nJ}$
nuova altezza senza gas	$h' = 4{,}50\ \text{cm}$ (il tubo va inserito di più)
potenza di estrazione	$1{,}62 \cdot 10^{-10}\ \text{W}$

Errori comuni

Mettere i due condensatori in serie: il tubo è un solo conduttore e i cilindri sono allo stesso potenziale, quindi la tensione è la stessa per entrambi.
Usare il diametro come raggio nel logaritmo: qui $R_1 = d_1/2 = 1\ \text{cm}$ , e il rapporto $R_2/R_1$ vale $2$ .
Dimenticare il generatore nel bilancio energetico: a tensione costante non vale $W_{\text{est}} = \Delta U$ .