Esercizio 15sfera grande e sferetta appesa a una molla

Testo (prova in itinere del 20 novembre 2018, problema 1). Una sfera metallica di grande raggio $R_1 = 10\ \text{m}$ è tenuta ferma e ad essa è appesa, tramite una molla ideale metallica con lunghezza di riposo $x_0 = 5\ \text{cm}$, una seconda sfera metallica di piccolo raggio $R_2 = 10^{-2}\ \text{m}$ con massa di $0{,}1\ \text{kg}$. All'inizio il sistema è scarico e la molla si trova allungata di $\Delta x = 0{,}8\ \text{mm}$; poi si trasferisce una carica sulla prima sfera, in modo che essa acquisisca una densità di carica superficiale pari a $\sigma_1 = 10^{-6}\ \text{C/m}^2$.

a) Quanto vale la densità di carica presente sulla sfera piccola, $\sigma_2$? b) Quanto vale il potenziale elettrostatico di ciascuna sfera? c) Quanto vale il nuovo allungamento della molla, $\Delta x'$, dopo aver caricato il sistema? [Si trascuri $\Delta x'$ rispetto a $R_1$ e si usi $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$.]

Teoria: Conduttori in equilibrio elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, la carica sta sulla superficie, il conduttore è equipotenziale e appena fuori il campo è perpendicolare e vale σ/ε0 (teorema di Coulomb). Un conduttore cavo scherma l'interno (gabbia di Faraday); per induzione le cariche si separano in presenza di un campo esterno.Conduttori in equilibrio elettrostatico →, Capacità e condensatoriLa capacità C = Q/V misura quanta carica un conduttore (o una coppia di conduttori) accumula per ogni volt. Condensatore piano C = ε0S/d, cilindrico C = 2πε0h/ln(R2/R1), sferico C = 4πε0R1R2/(R2−R1). In parallelo le capacità si sommano, in serie si sommano gli inversi.Capacità e condensatori →.

Il punto chiave: la molla è metallica

La molla è un conduttore e collega le due sfere: tutto il sistema (sfera grande, molla, sferetta) è un unico conduttore in equilibrio, quindi tutto allo stesso potenziale. È la situazione delle due sfere collegate da un filo del potere delle punteDue sfere conduttrici collegate hanno lo stesso potenziale kq/R, quindi q1/R1 = q2/R2 e σ1 R1 = σ2 R2: la sfera piccola ha densità maggiore.Conduttori in equilibrio elettrostatico →.

Il modello richiesto tratta ciascuna sfera come se fosse isolata, con potenziale $V = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}$, cioè trascura l'effetto che ogni sfera ha sul potenziale dell'altra.

a) Densità sulla sfera piccola

Il potenziale di una sfera di raggio $R$ con densità superficiale $\sigma$ (carica $q = 4\pi R^2\sigma$) è

$$V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R} = \frac{4\pi R^2\sigma}{4\pi\varepsilon_0 R} = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$$

Uguagliando i potenziali delle due sfere:

$$\frac{\sigma_1 R_1}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma_2 R_2}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \sigma_2 = \sigma_1\,\frac{R_1}{R_2} = 10^{-6} \cdot \frac{10}{10^{-2}} = 10^{-3}\ \text{C/m}^2$$

La sferetta, mille volte più piccola, ha una densità mille volte più grande. Le cariche:

$$q_1 = 4\pi R_1^2\sigma_1 = 4\pi \cdot 100 \cdot 10^{-6} = 1{,}26 \cdot 10^{-3}\ \text{C}, \qquad q_2 = 4\pi R_2^2\sigma_2 = 4\pi \cdot 10^{-4} \cdot 10^{-3} = 1{,}26 \cdot 10^{-6}\ \text{C}$$

Il rapporto delle cariche è $q_1/q_2 = R_1/R_2 = 1000$: le cariche stanno come i raggi, cioè come le capacitàLa capacità di una sfera isolata è 4πε0R: a parità di potenziale, la carica è proporzionale al raggio.Capacità e condensatori → $4\pi\varepsilon_0 R$.

b) Potenziale

Lo stesso per entrambe le sfere:

$$V = \frac{\sigma_1 R_1}{\varepsilon_0} = \frac{10^{-6} \cdot 10}{8{,}854 \cdot 10^{-12}} = 1{,}13 \cdot 10^6\ \text{V}$$

Oltre un milione di volt: una sfera di 10 m di raggio con una densità di carica modesta ($1\ \mu\text{C/m}^2$) è a un potenziale altissimo. È il principio dei generatori di Van de Graaff, che accumulano carica su una grande sfera.

c) Nuovo allungamento della molla

Prima della carica. Sulla sferetta agiscono il peso (verso il basso) e la forza della molla (verso l'alto). All'equilibrio:

$$mg = k\,\Delta x \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{mg}{\Delta x} = \frac{0{,}1 \cdot 9{,}81}{0{,}8 \cdot 10^{-3}} = 1226\ \text{N/m}$$

Dopo la carica. Le due sfere hanno cariche dello stesso segno e si respingono: la sferetta, appesa sotto la sfera grande, viene spinta verso il basso e la molla si allunga di più. La nuova condizione di equilibrio:

$$mg + F_e = k\,\Delta x'$$

La forza elettrica è quella del campo della sfera grande sulla carica $q_2$. Fuori dalla sfera grande il campo è quello di una carica puntiforme $q_1$ nel centro, valutato alla distanza tra i centri $d = R_1 + x_0 + \Delta x' + R_2$:

$$F_e = q_2\,E_1 = \frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 d^2}$$

Semplificazione. $d$ contiene l'incognita $\Delta x'$, e l'equazione diventerebbe di terzo grado. Ma $R_1 = 10\ \text{m}$ è enormemente più grande di tutto il resto ($x_0 + R_2 + \Delta x' \approx 6\ \text{cm}$): in $d$ si può mettere $\Delta x'\approx \Delta x$ (o addirittura trascurare tutto tranne $R_1$) senza errore apprezzabile. Con $d \approx 10 + 0{,}05 + 0{,}0008 + 0{,}01 = 10{,}061\ \text{m}$:

$$E_1 = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0 d^2} = \frac{8{,}99 \cdot 10^9 \cdot 1{,}26 \cdot 10^{-3}}{10{,}061^2} = 1{,}12 \cdot 10^5\ \text{V/m}$$

$$F_e = q_2 E_1 = 1{,}26 \cdot 10^{-6} \cdot 1{,}12 \cdot 10^5 = 0{,}140\ \text{N}$$

(Si poteva anche usare il campo appena fuori dalla superficie, $E_1 \approx \sigma_1/\varepsilon_0 = 1{,}13 \cdot 10^5\ \text{V/m}$, dal teorema di CoulombAppena fuori da un conduttore il campo vale σ/ε0, perpendicolare alla superficie.Conduttori in equilibrio elettrostatico →: la sferetta è a 6 cm da una superficie di raggio 10 m, quasi a contatto. Il risultato cambia di circa l'1%.)

$$\Delta x' = \frac{mg + F_e}{k} = \Delta x + \frac{F_e}{k} = 0{,}8\ \text{mm} + \frac{0{,}140}{1226}\ \text{m} = 0{,}8\ \text{mm} + 0{,}114\ \text{mm} = 0{,}914\ \text{mm}$$

La forza elettrica allunga la molla di altri $0{,}114\ \text{mm}$. Risolvendo l'equazione esatta di terzo grado al computer si ottiene lo stesso valore fino alla terza cifra. (La soluzione ufficiale riporta i due contributi in centimetri, "$0{,}8\ \text{cm} + 0{,}114\ \text{cm}$": i numeri sono quelli giusti, ma l'unità è il millimetro, coerentemente con $\Delta x = 0{,}8\ \text{mm}$ del testo.)

Un limite del modello

La sferetta è appesa a soli $6\ \text{cm}$ da una sfera di $10\ \text{m}$: non è affatto "lontana". In realtà il potenziale nel punto in cui si trova è già quasi tutto dovuto alla sfera grande ($V_1 \cdot R_1/d$, cioè il $99{,}4\%$ di $V$), e la carica propria della sferetta deve fornire solo il restante $0{,}6\%$: la sua carica vera è molto più piccola di quella calcolata con il modello delle sfere isolate. Fisicamente la sferetta si comporta come una piccola sporgenza sulla superficie della sfera grande. Il modello del testo resta quello atteso all'esame, ma è utile sapere quando smette di valere: le formule $q_1/q_2 = R_1/R_2$ sono esatte solo per sfere molto lontane tra loro rispetto alle loro dimensioni.

Verifica numerica

import numpy as np
from scipy.optimize import brentq
eps0, g = 8.854e-12, 9.81
R1, x0, R2, m, dx, s1 = 10, 0.05, 0.01, 0.1, 0.8e-3, 1e-6
s2 = s1*R1/R2
q1, q2 = 4*np.pi*R1**2*s1, 4*np.pi*R2**2*s2
k = m*g/dx
print(s2, s1*R1/eps0, k)                     # 1e-3 C/m², 1.13e6 V, 1226 N/m
F = lambda X: q1*q2/(4*np.pi*eps0*(R1 + x0 + X + R2)**2)
print(dx + F(dx)/k)                          # 9.14e-4 m (approssimato)
print(brentq(lambda X: m*g + F(X) - k*X, 0, 1))   # 9.14e-4 m (esatto)

Risultati

Errori comuni

• Dimenticare che la molla è conduttrice: senza il collegamento la sferetta resterebbe scarica (a parte l'induzione) e non ci sarebbe la repulsione calcolata.
• Uguagliare le densità invece dei potenziali: è il potenziale che è comune a un conduttore.
• Mettere $F_e$ dalla parte sbagliata: le cariche sono dello stesso segno, la sferetta è respinta verso il basso e la molla si allunga.