Esercizio 3quattro cariche ai vertici di un quadrato

Testo (problema di preparazione ai compitini del prof). In una regione di spazio isolata sono presenti 4 cariche elettriche disposte ai vertici di un quadrato di lato $\ell = 1\ \text{cm}$. Di queste, due sono positive e due negative, alternativamente. Quelle positive hanno carica $q$ pari a un millesimo di miliardesimo di coulomb, quelle negative invece $q_N = -2q$.

a) Calcolare il campo elettrico nel centro del quadrato e nel centro di un lato. b) Calcolare il potenziale elettrico nel centro. c) Se le quattro cariche fossero incluse in una superficie chiusa, quale sarebbe, e verso dove sarebbe diretto, il flusso attraverso di essa? d) Supponiamo di poter preparare un elettrone fermo a una distanza $d = 10\ \text{m}$ dal centro del quadrato e di rilasciarlo. Quale sarebbe la sua posizione, velocità e accelerazione dopo $1/1000$ di secondo? e) Qual è l'energia cinetica dell'elettrone in J e in eV?

Teoria: Campo elettrostatico e principio di sovrapposizioneIl campo elettrostatico E è la forza per unità di carica che una carica di prova sentirebbe in ogni punto; per più cariche i campi si sommano come vettori, e per distribuzioni continue si integra usando le densità di carica λ, σ, ρ.Campo elettrostatico e principio di sovrapposizione →, Lavoro elettrico e potenziale elettrostaticoLa forza elettrostatica è conservativa: il suo lavoro dipende solo dagli estremi e si scrive come differenza di energia potenziale. Il potenziale V è l'energia potenziale per unità di carica; per una carica puntiforme V = kq/r, e il campo è E = −grad V, perpendicolare alle superfici equipotenziali.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →, Flusso del campo elettrico e legge di GaussIl flusso di E attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica contenuta divisa per ε0, qualunque siano forma della superficie e posizione delle cariche interne; in forma locale div E = ρ/ε0. Insieme a rot E = 0 riassume tutta l'elettrostatica.Flusso del campo elettrico e legge di Gauss →.

Dati e sistema di riferimento

• $q = 10^{-3} \cdot 10^{-9}\ \text{C} = 10^{-12}\ \text{C}$ (un millesimo di miliardesimo), $q_N = -2q = -2 \cdot 10^{-12}\ \text{C}$;
• $\ell = 0{,}01\ \text{m}$, $d = 10\ \text{m}$, $t = 10^{-3}\ \text{s}$;
• si usa $k = 9 \cdot 10^9\ \text{N m}^2/\text{C}^2$, come nella soluzione del prof; $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$.

Origine nel centro del quadrato, assi paralleli ai lati. "Alternativamente" vuol dire che le cariche dello stesso segno stanno su vertici opposti: $+q$ in $(\ell/2, \ell/2)$ e $(-\ell/2, -\ell/2)$, $-2q$ in $(\ell/2, -\ell/2)$ e $(-\ell/2, \ell/2)$.

Una quantità torna in tutti i conti, conviene calcolarla subito:

$$\frac{kq}{\ell^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-12}}{10^{-4}} = 90\ \text{V/m}$$

a) Campo elettrico

Nel centro

Le due cariche $+q$ sono su vertici opposti, alla stessa distanza $\ell/\sqrt2$ dal centro: i loro campi in $O$ hanno stesso modulo e versi opposti, e si annullano. Lo stesso per le due $-2q$. Quindi

$$\vec E(O) = 0$$

senza bisogno di conti, per simmetriaPrima di calcolare, si cercano coppie di cariche uguali in posizioni simmetriche rispetto al punto: i loro contributi si cancellano o si raddoppiano.Campo elettrostatico e principio di sovrapposizione →.

Nel centro di un lato

Si prende il punto medio del lato destro, $M = (\ell/2, 0)$. Le distanze:

• dai due vertici del lato destro, $(\ell/2, \pm\ell/2)$: $\ell/2$;
• dai due vertici di sinistra, $(-\ell/2, \pm\ell/2)$: $\sqrt{\ell^2 + (\ell/2)^2} = \dfrac{\sqrt5}{2}\,\ell$ (Pitagora con cateti $\ell$ e $\ell/2$).

Si calcola il campo di ognuna delle quattro cariche (campo di una carica puntiformeE = k q / r², diretto lungo la congiungente: uscente dalla carica se q > 0, entrante se q < 0.Campo elettrostatico e principio di sovrapposizione →) e lo si scompone. Chiamando $\alpha$ l'angolo che la congiungente con i vertici di sinistra forma con l'asse $x$: $\tan\alpha = \frac{\ell/2}{\ell} = \frac12$, quindi $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt5}$, $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt5}$.

(tutti i valori in V/m). I moduli vengono da $k|q_i|/r^2$: per esempio per la carica sopra $M$, $kq/(\ell/2)^2 = 4kq/\ell^2$; per quella in basso a sinistra, $kq/(5\ell^2/4) = \frac45 kq/\ell^2$.

Come si decide il verso. Il campo di una carica positiva punta lontano da essa, quello di una negativa verso di essa. La carica $-2q$ in alto a sinistra attira: il campo in $M$ punta da $M$ verso di lei, cioè verso sinistra ($x$ negativo) e verso l'alto ($y$ positivo).

Sommando le componenti:

$$E_x = 0 + 0 + 64{,}4 - 128{,}8 = -64{,}4\ \text{V/m}$$ $$E_y = -360 - 720 + 32{,}2 + 64{,}4 = -983\ \text{V/m}$$

$$|\vec E(M)| = \sqrt{64{,}4^2 + 983^2} = 986\ \text{V/m}$$

Il campo punta in basso e un po' a sinistra: domina il contributo delle due cariche vicine, che spingono entrambe verso il basso. In forma simbolica: $E_x = -\dfrac{8}{5\sqrt5}\dfrac{kq}{\ell^2}$, $E_y = -12\dfrac{kq}{\ell^2}\left(1 - \dfrac{1}{5\sqrt5}\right)$. Negli altri tre punti medi il modulo è lo stesso e la direzione si ottiene per simmetria (ruotando la figura).

b) Potenziale nel centro

Il campo in $O$ è nullo, ma il potenziale no. Il potenziale è uno scalare: si sommano i quattro contributi $kq_i/r$ con il loro segno, tutti alla distanza $r = \ell/\sqrt2$ (mezza diagonale):

$$V(O) = \frac{k}{\ell/\sqrt2}\,(q + q - 2q - 2q) = \frac{\sqrt2\,k\,(-2q)}{\ell} = -\frac{2\sqrt2 \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-12}}{0{,}01} = -2{,}55\ \text{V}$$

Campo nullo e potenziale non nullo non si contraddicono: il campo è legato alle variazioni del potenzialeE = −grad V: il campo dipende da come V cambia da un punto all'altro, non dal suo valore. In un punto dove V ha un massimo, un minimo o una sella, E = 0 anche se V ≠ 0.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →, non al suo valore.

c) Flusso attraverso una superficie chiusa

Per la legge di GaussIl flusso di E attraverso una superficie chiusa vale Q_int/ε0, qualunque sia la forma della superficie.Flusso del campo elettrico e legge di Gauss → conta solo la carica totale racchiusa:

$$Q_{\text{int}} = q + q - 2q - 2q = -2q = -2 \cdot 10^{-12}\ \text{C}$$

$$\Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = \frac{-2 \cdot 10^{-12}}{8{,}854 \cdot 10^{-12}} = -0{,}226\ \text{V m}$$

Il segno negativo vuol dire che il flusso netto è entrante: le linee di campo, nel complesso, attraversano la superficie dall'esterno verso l'interno. Il risultato non dipende da forma e dimensioni della superficie, purché contenga tutte e quattro le cariche.

d) Elettrone lasciato a 10 m

Approssimazione di carica puntiforme. $d = 10\ \text{m}$ è mille volte il lato: dall'elettrone il quadrato si vede come un punto con la carica totale $-2q$ (vedi i controlli "da lontano" nelle distribuzioni di caricaA distanza molto maggiore delle dimensioni della distribuzione, il campo è quello di una carica puntiforme pari alla carica totale.Campo di distribuzioni continue - filo, anello e disco →). Le due cariche si respingono (entrambe negative), quindi l'elettrone viene spinto via.

Forza iniziale, con $|q_e| = e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$:

$$F = k\,\frac{2q \cdot e}{d^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2 \cdot 10^{-12} \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}}{100} = 2{,}88 \cdot 10^{-23}\ \text{N}$$

Accelerazione iniziale:

$$a = \frac{F}{m_e} = \frac{2{,}88 \cdot 10^{-23}}{9{,}11 \cdot 10^{-31}} = 3{,}16 \cdot 10^{7}\ \text{m/s}^2$$

diretta in allontanamento dal quadrato. (La soluzione del prof riporta $3 \cdot 10^8$: al numeratore c'è un $10^{-20}$ al posto di $10^{-23}$, un errore di battitura.)

Moto con accelerazione costante (stima del prof). Se l'accelerazione restasse $a$ per tutto il millisecondo:

$$\Delta x = \tfrac12 a t^2 = \tfrac12 \cdot 3{,}16 \cdot 10^7 \cdot 10^{-6} = 15{,}8\ \text{m}, \qquad v = a t = 3{,}16 \cdot 10^4\ \text{m/s}$$

Ma l'approssimazione regge? L'elettrone si sposterebbe di $15{,}8\ \text{m}$, più della distanza iniziale: nel frattempo la distanza cresce e la forza, che va come $1/r^2$, cala molto. La stima ad accelerazione costante quindi sovrastima spostamento e velocità. Per avere il valore giusto bisogna risolvere l'equazione del moto $m_e\ddot x = k(2q)e/x^2$, cosa che si fa al computer (vedi la verifica qui sotto): dopo $1\ \text{ms}$ l'elettrone è a $x = 21{,}6\ \text{m}$ dal centro (spostamento $11{,}6\ \text{m}$) con velocità $1{,}84 \cdot 10^4\ \text{m/s}$, e la sua accelerazione è scesa a

$$a(t) = a\,\frac{d^2}{x^2} = 3{,}16 \cdot 10^7 \cdot \left(\frac{10}{21{,}6}\right)^2 = 6{,}8 \cdot 10^6\ \text{m/s}^2$$

La soluzione del prof ricorda che contano il ragionamento e le approssimazioni dichiarate: qui la stima "ad accelerazione costante" dà l'ordine di grandezza giusto ($10^4\ \text{m/s}$, decine di metri) ed è quella attesa al compitino, a patto di scrivere che è un'approssimazione.

Nota sulla relatività. Con $a \sim 3 \cdot 10^7\ \text{m/s}^2$ costante, dopo una decina di secondi si supererebbe la velocità della luce: le formule non relativistiche valgono solo finché $v \ll c = 3 \cdot 10^8\ \text{m/s}$. Qui $v \sim 10^4\ \text{m/s}$, quindi va bene.

e) Energia cinetica

Con la stima ad accelerazione costante:

$$K = \tfrac12 m_e v^2 = \tfrac12 \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot (3{,}16 \cdot 10^4)^2 = 4{,}56 \cdot 10^{-22}\ \text{J}$$

In elettronvolt (1 eVL'energia che acquista una carica e attraversando una differenza di potenziale di 1 V: 1 eV = 1,602·10^-19 J.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico → $= 1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$):

$$K = \frac{4{,}56 \cdot 10^{-22}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} = 2{,}8 \cdot 10^{-3}\ \text{eV}$$

Controllo con l'energia. Il valore esatto si può ottenere senza integrare il moto, usando la conservazione dell'energia tra $d = 10\ \text{m}$ e la posizione finale $x = 21{,}6\ \text{m}$:

$$K = k(2q)e\left(\frac1d - \frac1x\right) = 9 \cdot 10^9 \cdot 2 \cdot 10^{-12} \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}\left(\frac{1}{10} - \frac{1}{21{,}6}\right) = 1{,}55 \cdot 10^{-22}\ \text{J} \approx 1{,}0 \cdot 10^{-3}\ \text{eV}$$

Anche qui la stima ad accelerazione costante è circa tre volte troppo grande. Si noti che anche andando all'infinito l'elettrone non potrebbe superare $k(2q)e/d = 2{,}9 \cdot 10^{-22}\ \text{J}$: l'energia potenziale iniziale è tutto quello che c'è da convertire, e la stima ad accelerazione costante la supera, segno che non può essere esatta.

Verifica numerica

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
k, q, l, e, me = 9e9, 1e-12, 0.01, 1.6e-19, 9.11e-31
cariche = [((l/2, l/2), q), ((-l/2, -l/2), q), ((l/2, -l/2), -2*q), ((-l/2, l/2), -2*q)]
def E(P):
    tot = np.zeros(2)
    for pos, c in cariche:
        r = np.array(P) - np.array(pos)
        tot += k*c*r/np.linalg.norm(r)**3
    return tot
print(E((0, 0)), E((l/2, 0)))          # [0 0], [-64.4 -983.4] V/m
print(-2*np.sqrt(2)*k*q/l)             # -2.55 V
a = k*2*q*e/(me*10**2)
print(a, 0.5*a*1e-6, a*1e-3)           # 3.16e7, 15.8 m, 3.16e4 m/s (stima)
moto = solve_ivp(lambda t, y: [y[1], k*2*q*e/(me*y[0]**2)], [0, 1e-3], [10, 0], rtol=1e-10)
x, v = moto.y[:, -1]
print(x, v, 0.5*me*v**2/e)             # 21.6 m, 1.84e4 m/s, 9.7e-4 eV

Risultati

Errori comuni

• Dedurre $V = 0$ da $E = 0$ (o viceversa): sono grandezze diverse, il potenziale si somma come scalare con i segni delle cariche.
• Sbagliare il verso dei campi delle cariche negative: puntano verso la carica.
• Usare la formula del moto uniformemente accelerato senza dirlo: è lecito come stima, ma va dichiarato e controllato che lo spostamento sia piccolo rispetto alla distanza.