Esercizio 7campo elettrico da un potenziale assegnato

Testo (esercizio di allenamento sul gradiente). In una regione di spazio il potenziale elettrostatico vale $$V(x, y, z) = 3x^2 y - 2yz^2 + 5z$$ con $V$ in volt e le coordinate in metri.

a) Calcolare il campo elettrico $\vec E$ in un punto generico e nel punto $P = (1, -2, 1)\ \text{m}$. b) Verificare che il campo trovato è conservativo. c) Calcolare il lavoro compiuto dal campo per portare una carica $q = 2\ \mu\text{C}$ dall'origine a $P$. d) Calcolare la densità di carica $\rho$ che produce questo potenziale, nel punto $P$.

Teoria: Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotoreGli strumenti matematici dei campi: derivate parziali, operatore nabla, gradiente di un campo scalare (vettore che punta dove la funzione cresce più in fretta), divergenza (sorgenti di un campo vettoriale) e rotore (vorticosità), più i teoremi della divergenza e di Stokes.Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore →, Lavoro elettrico e potenziale elettrostaticoLa forza elettrostatica è conservativa: il suo lavoro dipende solo dagli estremi e si scrive come differenza di energia potenziale. Il potenziale V è l'energia potenziale per unità di carica; per una carica puntiforme V = kq/r, e il campo è E = −grad V, perpendicolare alle superfici equipotenziali.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →, Flusso del campo elettrico e legge di GaussIl flusso di E attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica contenuta divisa per ε0, qualunque siano forma della superficie e posizione delle cariche interne; in forma locale div E = ρ/ε0. Insieme a rot E = 0 riassume tutta l'elettrostatica.Flusso del campo elettrico e legge di Gauss → (punto d).

a) Il campo come meno il gradiente

Il campo si ottiene dal potenziale con (relazione campo-potenzialeE = −grad V: ogni componente del campo è meno la derivata parziale del potenziale rispetto a quella coordinata.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →)

$$\vec E = -\nabla V = -\left(\frac{\partial V}{\partial x},\ \frac{\partial V}{\partial y},\ \frac{\partial V}{\partial z}\right)$$

Una derivata parzialeSi deriva rispetto a una variabile trattando le altre come costanti.Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore → si fa considerando costanti le altre variabili. Termine per termine:

Per esempio, derivando $3x^2y$ rispetto a $y$ si tiene fermo $x$: $3x^2$ è una costante che moltiplica $y$, e la derivata è $3x^2$.

Cambiando segno:

$$\vec E(x, y, z) = \big(-6xy,\ \ -3x^2 + 2z^2,\ \ 4yz - 5\big)\ \text{V/m}$$

Nel punto $P = (1, -2, 1)$:

• $E_x = -6 \cdot 1 \cdot (-2) = 12\ \text{V/m}$
• $E_y = -3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = -1\ \text{V/m}$
• $E_z = 4 \cdot (-2) \cdot 1 - 5 = -13\ \text{V/m}$

$$\vec E(P) = (12,\ -1,\ -13)\ \text{V/m}, \qquad |\vec E(P)| = \sqrt{144 + 1 + 169} = \sqrt{314} = 17{,}7\ \text{V/m}$$

Unità. $V$ è in volt e le coordinate in metri: ogni derivata è in volt al metro, l'unità del campo ✓.

b) Il campo è conservativo

Un campo è conservativo se il suo rotorerot E = nabla × E; per un campo che è il gradiente di qualcosa, il rotore è sempre nullo perché le derivate miste si scambiano.Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore → è nullo. Componente per componente:

$$(\nabla \times \vec E)_x = \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} = 4z - 4z = 0$$ $$(\nabla \times \vec E)_y = \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} = 0 - 0 = 0$$ $$(\nabla \times \vec E)_z = \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} = -6x - (-6x) = 0$$

Era scontato: un campo che è il gradiente di una funzione ha sempre rotore nullo (le derivate seconde miste non dipendono dall'ordine). Il conto serve a controllare di non aver sbagliato le derivate: un errore in una componente farebbe quasi sempre comparire un rotore non nullo.

c) Lavoro del campo dall'origine a $P$

Siccome il campo è conservativo, il lavoro non dipende dal percorso e si calcola con la differenza di potenziale:

$$W_{\text{campo}} = q\,[V(O) - V(P)]$$

$$V(O) = 0, \qquad V(P) = 3 \cdot 1^2 \cdot (-2) - 2 \cdot (-2) \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = -6 + 4 + 5 = 3\ \text{V}$$

$$W_{\text{campo}} = 2 \cdot 10^{-6} \cdot (0 - 3) = -6 \cdot 10^{-6}\ \text{J}$$

Il lavoro del campo è negativo: una carica positiva che va verso un potenziale più alto "risale", e il campo le si oppone. Un agente esterno deve fornire $+6\ \mu\text{J}$.

Per confronto, calcolare $\int \vec E \cdot d\vec l$ lungo un percorso a scelta (per esempio tre segmenti paralleli agli assi) darebbe lo stesso numero, con molta più fatica: il potenziale esiste proprio per evitare questi integrali.

d) La densità di carica

La legge di Gauss in forma localediv E = ρ/ε0: in ogni punto la divergenza del campo è la densità di carica divisa per ε0.Flusso del campo elettrico e legge di Gauss → lega la divergenza del campo alla densità di carica:

$$\nabla \cdot \vec E = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = -6y + 0 + 4y = -2y$$

$$\rho = \varepsilon_0\,\nabla \cdot \vec E = -2\varepsilon_0\,y$$

In $P$, dove $y = -2\ \text{m}$:

$$\rho(P) = -2 \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot (-2) = 3{,}54 \cdot 10^{-11}\ \text{C/m}^3$$

(L'unità: $\varepsilon_0$ è in $\text{C}/(\text{V m})$ e $\nabla \cdot \vec E$ in $\text{V/m}^2$, il prodotto in $\text{C/m}^3$ ✓.) Questo potenziale quindi non è prodotto da cariche lontane: nella regione c'è una carica distribuita, positiva dove $y < 0$ e negativa dove $y > 0$. Se fosse $\nabla \cdot \vec E = 0$ (cioè $\nabla^2 V = 0$), la regione sarebbe vuota di cariche.

Verifica numerica

import sympy as sp
x, y, z = sp.symbols('x y z')
V = 3*x**2*y - 2*y*z**2 + 5*z
E = [-sp.diff(V, s) for s in (x, y, z)]
P = {x: 1, y: -2, z: 1}
print(E, [c.subs(P) for c in E])                  # (12, -1, -13) V/m
rot = [sp.diff(E[2], y) - sp.diff(E[1], z), sp.diff(E[0], z) - sp.diff(E[2], x), sp.diff(E[1], x) - sp.diff(E[0], y)]
print(sp.simplify(sp.Matrix(rot)))                # [0, 0, 0]
print(2e-6*(0 - V.subs(P)))                       # -6e-6 J
div = sum(sp.diff(E[i], s) for i, s in enumerate((x, y, z)))
print(div, 8.854e-12*div.subs(P))                 # -2y, 3.54e-11 C/m³

Risultati

Errori comuni

• Dimenticare il segno meno in $\vec E = -\nabla V$: il campo punta verso i potenziali decrescenti.
• Derivare anche le variabili che vanno tenute ferme: $\partial(3x^2y)/\partial x = 6xy$, non $6xy + 3x^2$.
• Calcolare il lavoro come $q[V(P) - V(O)]$: quello è il lavoro dell'agente esterno; il campo fa $q[V(\text{partenza}) - V(\text{arrivo})]$.