Esercizio 14condensatore con armature inclinate

Testo (appello del 28 gennaio 2020, problema 1). Un condensatore ha le armature quadrate di lato $a = 10\ \text{cm}$, ma inclinate di $\theta = 30°$ come in figura. La distanza minima è $h_0 = 1\ \text{cm}$ ed è fatto il vuoto al suo interno.

a) Si trovi la sua capacità, usando la coordinata $x$ lungo una delle armature. b) Alle armature è applicata una differenza di potenziale costante di $40\ \text{V}$: quanto vale il campo elettrico al centro del condensatore?

La figura, a parole: le due armature formano una "V" aperta verso l'alto. In basso distano $h_0$; salendo, ciascuna si allontana dalla verticale di un angolo $\theta$, quindi la distanza tra le due cresce da entrambi i lati.

Teoria: Capacità e condensatoriLa capacità C = Q/V misura quanta carica un conduttore (o una coppia di conduttori) accumula per ogni volt. Condensatore piano C = ε0S/d, cilindrico C = 2πε0h/ln(R2/R1), sferico C = 4πε0R1R2/(R2−R1). In parallelo le capacità si sommano, in serie si sommano gli inversi.Capacità e condensatori →.

L'idea: tante strisce in parallelo

Le armature non sono parallele, quindi il campo non è uniforme e la formula $C = \varepsilon_0 S/d$ non si può usare così com'è. Però si può dividere il condensatore in strisce orizzontali sottili, di altezza $dx$ e larghezza $a$: in una striscia le armature sono praticamente parallele, a una distanza $h(x)$ che si può considerare costante. Ogni striscia è un piccolo condensatore piano.

Tutte le strisce hanno le armature collegate tra loro (sono pezzi delle stesse due lastre metalliche), quindi stanno alla stessa differenza di potenziale: sono condensatori in paralleloCondensatori con la stessa differenza di potenziale: le capacità si sommano.Capacità e condensatori →. In parallelo le capacità si sommano, e sommare infinite strisce sottili vuol dire integrare.

È un'approssimazione: vicino alle armature inclinate le linee di campo sono un po' curve e non perpendicolari a entrambe. Funziona bene finché l'angolo non è troppo grande, ed è il modello richiesto dal testo.

a) Capacità

Distanza tra le armature. Si misura $x$ a partire dal fondo della V. Salendo di $x$, ogni armatura si allontana dall'asse di $x\tan\theta$ (cateto opposto all'angolo $\theta$ in un triangolo rettangolo con cateto adiacente $x$); le armature sono due, quindi

$$h(x) = h_0 + 2x\tan\theta$$

Capacità di una striscia. Area $dS = a\,dx$, distanza $h(x)$:

$$dC = \varepsilon_0\,\frac{a\,dx}{h_0 + 2x\tan\theta}$$

Somma (integrale). $x$ va da $0$ ad $a$ (il lato dell'armatura):

$$C = \int_0^a \frac{\varepsilon_0\,a\,dx}{h_0 + 2x\tan\theta}$$

Si sostituisce $t = h_0 + 2x\tan\theta$: allora $dt = 2\tan\theta\,dx$, cioè $dx = \dfrac{dt}{2\tan\theta}$, e gli estremi diventano $t = h_0$ (per $x = 0$) e $t = h_0 + 2a\tan\theta$ (per $x = a$):

$$C = \frac{\varepsilon_0\,a}{2\tan\theta}\int_{h_0}^{h_0 + 2a\tan\theta}\frac{dt}{t} = \frac{\varepsilon_0\,a}{2\tan\theta}\,\ln\frac{h_0 + 2a\tan\theta}{h_0}$$

(l'integrale di $1/t$ è $\ln t$, e la differenza di due logaritmi è il logaritmo del rapporto.)

Numeri. $\tan 30° = 0{,}5774$, quindi $2a\tan\theta = 0{,}1155\ \text{m}$:

$$\frac{\varepsilon_0\,a}{2\tan\theta} = \frac{8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}1}{1{,}155} = 7{,}67 \cdot 10^{-13}\ \text{F}, \qquad \ln\frac{0{,}01 + 0{,}1155}{0{,}01} = \ln 12{,}55 = 2{,}530$$

$$C = 7{,}67 \cdot 10^{-13} \cdot 2{,}530 = 1{,}94 \cdot 10^{-12}\ \text{F} = 1{,}94\ \text{pF}$$

Confronti che aiutano a capire.

• Con armature parallele a distanza $h_0$: $C = \varepsilon_0 a^2/h_0 = 8{,}85\ \text{pF}$. Aprire le armature riduce molto la capacità.
• Con armature parallele alla distanza media $h_0 + a\tan\theta = 6{,}77\ \text{cm}$: $C = 1{,}31\ \text{pF}$. Il valore vero ($1{,}94$) è più grande, perché le strisce in basso, vicine, contano molto più di quelle in alto (la capacità va come $1/h$, e la media di $1/h$ è maggiore di $1/\text{media}(h)$).
• Controllo del limite $\theta \to 0$: per angoli piccoli $\ln(1 + 2a\tan\theta/h_0) \approx 2a\tan\theta/h_0$ e la formula diventa $\varepsilon_0 a^2/h_0$, il condensatore piano ✓.

b) Campo al centro

La tensione è la stessa per tutte le strisce, $V = 40\ \text{V}$, ma la distanza no: in ogni striscia il campo è quello di un condensatore piano con distanza $h(x)$,

$$E(x) = \frac{V}{h(x)} = \frac{V}{h_0 + 2x\tan\theta}$$

Più in alto le armature sono più lontane e il campo è più debole. Al centro del condensatore, $x = a/2$:

$$E\!\left(\tfrac{a}{2}\right) = \frac{V}{h_0 + a\tan\theta} = \frac{40}{0{,}01 + 0{,}0577} = \frac{40}{0{,}0677} = 591\ \text{V/m}$$

Per confronto, sul fondo ($x = 0$) $E = 40/0{,}01 = 4000\ \text{V/m}$, in cima $E = 40/0{,}1255 = 319\ \text{V/m}$.

Carica sulle armature: $Q = CV = 1{,}94 \cdot 10^{-12} \cdot 40 = 77{,}6\ \text{pC}$, concentrata soprattutto in basso (la densità di carica è $\sigma = \varepsilon_0 E$, più grande dove il campo è più intenso).

Verifica numerica

import numpy as np
from scipy.integrate import quad
eps0, a, h0, th, V = 8.854e-12, 0.10, 0.01, np.radians(30), 40
h = lambda x: h0 + 2*x*np.tan(th)
C_num = quad(lambda x: eps0*a/h(x), 0, a)[0]
C_form = eps0*a/(2*np.tan(th))*np.log(h(a)/h0)
print(C_num, C_form)                   # 1.94e-12 F (entrambi)
print(V/h(a/2), V/h(0), V/h(a))        # 591, 4000, 319 V/m
print(eps0*a**2/h0, eps0*a**2/h(a/2))  # 8.85e-12, 1.31e-12 F

Risultati

Errori comuni

• Usare la distanza minima o massima nella formula del condensatore piano: la distanza cambia, bisogna integrare.
• Mettere le strisce in serie: hanno tutte la stessa tensione, quindi sono in parallelo.
• Scrivere $h = h_0 + x\tan\theta$: le armature inclinate sono due, e ognuna contribuisce con $x\tan\theta$.