Esercizio 12sfera con densità di carica variabile

In questa pagina 7

Testo (esercizio di allenamento sulla legge di Gauss). Una sfera isolante di raggio $R = 10\ \text{cm}$ è carica con una densità di volume che cresce linearmente dal centro verso la superficie: $\rho(r) = \rho_0\,\frac{r}{R}, \qquad \rho_0 = 3\ \mu\text{C/m}^3$

a) Calcolare la carica totale $Q$ della sfera. b) Calcolare il campo elettrico in funzione della distanza $r$ dal centro, dentro e fuori dalla sfera, e il suo valore massimo. c) Calcolare il potenziale sulla superficie e al centro (zero all'infinito).

Teoria: Applicazioni della legge di Gauss, Flusso del campo elettrico e legge di Gauss, Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico.

a) Carica totale

La densità non è costante, quindi la carica non è $\rho \cdot \frac43\pi R^3$ . Si divide la sfera in gusci sferici sottili: un guscio di raggio $r'$ e spessore $dr'$ ha volume

$dV = 4\pi r'^2\,dr'$

(area della sfera per spessore) e, essendo sottile, ha densità praticamente costante $\rho(r')$ . La sua carica è $dq = \rho(r')\,4\pi r'^2\,dr'$ . La carica contenuta entro un raggio $r$ si ottiene sommando tutti i gusci da $0$ a $r$ :

$Q_{\text{int}}(r) = \int_0^r \rho_0\,\frac{r'}{R}\,4\pi r'^2\,dr' = \frac{4\pi\rho_0}{R}\int_0^r r'^3\,dr' = \frac{4\pi\rho_0}{R} \cdot \frac{r^4}{4} = \frac{\pi\rho_0\,r^4}{R}$

La carica totale è quella entro $r = R$ :

$Q = \pi\rho_0 R^3 = \pi \cdot 3 \cdot 10^{-6} \cdot (0{,}1)^3 = 9{,}42 \cdot 10^{-9}\ \text{C}$

Perché i gusci. La densità dipende solo da $r$ : su ogni superficie sferica centrata nel centro è costante. Scegliere come elementi di volume proprio i gusci rende l'integrale a una sola variabile. Per confronto, una sfera con densità uniforme $\rho_0$ avrebbe carica $\frac43\pi\rho_0 R^3$ : qui è $\frac34$ di quel valore, perché la densità parte da zero al centro.

b) Campo elettrico

Simmetria. La distribuzione è a simmetria sferica: il campo è radiale e il suo modulo dipende solo da $r$ . Si applica la legge di Gauss a una sfera di raggio $r$ concentrica: su di essa $E$ è costante e perpendicolare, quindi il flusso è $E \cdot 4\pi r^2$ (ricetta di Gauss):

$E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0}$

Dentro la sfera ( $r < R$ ): $Q_{\text{int}} = \pi\rho_0 r^4/R$ , quindi

$E(r) = \frac{\pi\rho_0 r^4}{R\,\varepsilon_0\,4\pi r^2} = \frac{\rho_0\,r^2}{4\varepsilon_0 R}$

Cresce come $r^2$ : più rapidamente che nella sfera uniforme (dove cresce come $r$ ), perché la carica è concentrata verso l'esterno.

Fuori dalla sfera ( $r > R$ ): $Q_{\text{int}} = Q$ , tutta la carica:

$E(r) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{\rho_0 R^3}{4\varepsilon_0 r^2}$

come una carica puntiforme $Q$ nel centro. Le due espressioni coincidono in $r = R$ (il campo è continuo perché sulla superficie non c'è una carica superficiale):

$E_{\max} = E(R) = \frac{\rho_0 R}{4\varepsilon_0} = \frac{3 \cdot 10^{-6} \cdot 0{,}1}{4 \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12}} = 8{,}47 \cdot 10^3\ \text{V/m}$

Il massimo è sulla superficie: dentro il campo cresce, fuori cala.

$r$	$E$
$0$	$0$
$R/2 = 5\ \text{cm}$	$E_{\max}/4 = 2{,}12 \cdot 10^3\ \text{V/m}$
$R = 10\ \text{cm}$	$8{,}47 \cdot 10^3\ \text{V/m}$
$2R = 20\ \text{cm}$	$E_{\max}/4 = 2{,}12 \cdot 10^3\ \text{V/m}$

Grafico interattivo: E(r)/E(R) in funzione di r/R: cresce come (r/R)² dentro, cala come (R/r)² fuori, massimo sulla superficie

c) Potenziale

Sulla superficie. Fuori dalla sfera il campo è quello di una carica puntiforme, quindi anche il potenziale (zero all'infinito):

$V(R) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} = \frac{\rho_0 R^2}{4\varepsilon_0} = \frac{3 \cdot 10^{-6} \cdot 0{,}01}{4 \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12}} = 847\ \text{V}$

Al centro. Si integra il campo interno dal centro alla superficie (differenza di potenziale), lungo un raggio:

$V(0) - V(R) = \int_0^R E(r)\,dr = \frac{\rho_0}{4\varepsilon_0 R}\int_0^R r^2\,dr = \frac{\rho_0}{4\varepsilon_0 R} \cdot \frac{R^3}{3} = \frac{\rho_0 R^2}{12\varepsilon_0}$

$V(0) = \frac{\rho_0 R^2}{4\varepsilon_0} + \frac{\rho_0 R^2}{12\varepsilon_0} = \frac{\rho_0 R^2}{3\varepsilon_0} = \frac{3 \cdot 10^{-6} \cdot 0{,}01}{3 \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12}} = 1{,}13 \cdot 10^3\ \text{V}$

Il potenziale è massimo al centro: il campo punta verso l'esterno, e andando contro il campo il potenziale cresce.

Controllo con la forma locale

La forma locale della legge di Gauss permette di risalire dalla $E(r)$ alla $\rho$ . Per un campo radiale $\nabla \cdot \vec E = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2 E)$ ; dentro la sfera $r^2 E = \frac{\rho_0 r^4}{4\varepsilon_0 R}$ , la cui derivata è $\frac{\rho_0 r^3}{\varepsilon_0 R}$ :

$\nabla \cdot \vec E = \frac{1}{r^2} \cdot \frac{\rho_0 r^3}{\varepsilon_0 R} = \frac{\rho_0 r}{\varepsilon_0 R} = \frac{\rho(r)}{\varepsilon_0} \ ✓$

Verifica numerica

python

import numpy as np
from scipy.integrate import quad
eps0, rho0, R = 8.854e-12, 3e-6, 0.1
Q = quad(lambda r: rho0*r/R*4*np.pi*r**2, 0, R)[0]
E = lambda r: (np.pi*rho0*r**4/R if r < R else Q)/(4*np.pi*eps0*r**2)
print(Q, np.pi*rho0*R**3)                          # 9.42e-9 C
print(E(R), E(R/2), E(2*R))                        # 8.47e3, 2.12e3, 2.12e3 V/m
VR = Q/(4*np.pi*eps0*R)
print(VR, VR + quad(E, 1e-12, R)[0])               # 847 V, 1129 V

Risultati

grandezza	valore
carica totale	$Q = \pi\rho_0 R^3 = 9{,}42 \cdot 10^{-9}\ \text{C}$
campo interno	$\rho_0 r^2/(4\varepsilon_0 R)$
campo esterno	$\rho_0 R^3/(4\varepsilon_0 r^2)$
campo massimo (in $r = R$ )	$8{,}47 \cdot 10^3\ \text{V/m}$
potenziale sulla superficie	$847\ \text{V}$
potenziale al centro	$\rho_0 R^2/(3\varepsilon_0) = 1{,}13 \cdot 10^3\ \text{V}$

Errori comuni

Moltiplicare $\rho$ per il volume quando $\rho$ non è costante: bisogna integrare sui gusci.
Usare la carica totale anche dentro la sfera: per $r < R$ conta solo $Q_{\text{int}}(r)$ .
Fermarsi a $V(0) - V(R)$ : per avere $V(0)$ bisogna aggiungere $V(R)$ , che non è zero.