Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira

Segue Campo magnetico e forza di LorentzIl campo magnetico B si definisce dalla forza che agisce su una carica in moto: F = q v × B (forza di Lorentz), perpendicolare alla velocità, quindi non compie lavoro e non cambia l'energia cinetica. Una carica con velocità perpendicolare a B percorre una circonferenza di raggio r = mv/qB con pulsazione ω = qB/m; con una componente parallela il moto è un'elica. Applicazioni: selettore di velocità, spettrometro di massa.Campo magnetico e forza di Lorentz →. Seguito: Prima legge di Laplace e legge di Biot-SavartOgni tratto di filo percorso da corrente produce un campo dB = (μ0/4π) i dl × u_r / r² (prima legge elementare di Laplace). Integrando: filo rettilineo indefinito B = μ0 i/2πR (Biot-Savart), con linee di campo circolari; spira circolare al centro B = μ0 i/2R, sull'asse uguale al campo di un dipolo magnetico lontano. Due fili paralleli si attraggono se le correnti sono concordi, con forza per unità di lunghezza μ0 i1 i2/2πd.Prima legge di Laplace e legge di Biot-Savart →. Esercizi: Esercizio 29 · bobina con momento magnetico obliquo.

Seconda legge elementare di Laplace

Un filo percorso da corrente contiene portatori di carica in moto con la velocità di deriva $\vec v_d$. In un campo $\vec B$ ognuno sente la forza di LorentzF = q v × B, perpendicolare alla velocità e al campo.Campo magnetico e forza di Lorentz →, e la somma di queste forze si trasmette al filo. In un tratto di filo di lunghezza $dl$ e sezione $S$ ci sono $nS\,dl$ portatori:

$$d\vec F = nS\,dl\,q\,\vec v_d \times \vec B$$

Siccome $nqv_dS = i$ (vedi Corrente elettrica e legge di OhmLa corrente i = dq/dt è la carica che attraversa una sezione per unità di tempo; la densità di corrente j = n q v_d lega la corrente al moto di deriva delle cariche. La carica si conserva (equazione di continuità). Nei conduttori ohmici j = σE, cioè V = R i con R = ρ ℓ/S; la potenza dissipata per effetto Joule è P = R i².Corrente elettrica e legge di Ohm →), e chiamando $d\vec l$ il vettore lungo $dl$ orientato come la corrente:

$$\boxed{d\vec F = i\,d\vec l \times \vec B}$$

È la seconda legge elementare di Laplace. Per un filo rettilineo di lunghezza $\ell$ in un campo uniforme si integra subito:

$$\vec F = i\,\vec\ell \times \vec B, \qquad F = i\ell B\sin\theta$$

con $\theta$ angolo tra filo e campo. La forza è perpendicolare sia al filo sia al campo; è nulla se il filo è parallelo a $\vec B$.

Esempio. Un filo lungo $20\ \text{cm}$ con $i = 5\ \text{A}$, perpendicolare a un campo di $0{,}5\ \text{T}$: $F = 5 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}5 = 0{,}5\ \text{N}$. È il principio del motore elettrico e degli altoparlanti.

Due conseguenze utili.

• Un filo di forma qualsiasi tra due punti $A$ e $B$, in un campo uniforme, sente la stessa forza di un filo rettilineo da $A$ a $B$: $\int d\vec l = \vec{AB}$ e $\vec B$ esce dall'integrale.
• Per lo stesso motivo, su un circuito chiuso in campo uniforme la forza totale è nulla ($\oint d\vec l = 0$). Restano però i momenti.

Effetto Hall

Una lamina conduttrice (spessore $a$ lungo $\vec B$, larghezza $b$) è percorsa da una corrente $i$ in un campo $\vec B$ perpendicolare alla lamina. La forza di Lorentz spinge i portatori verso uno dei bordi; lì si accumulano, l'altro bordo resta con carica opposta, e tra i due bordi nasce un campo elettrico trasversale $E_H$, il campo di Hall. L'accumulo si ferma quando la forza elettrica bilancia quella magnetica:

$$qE_H = qv_dB \quad\Longrightarrow\quad E_H = v_d B, \qquad V_H = E_H\,b = v_d B b$$

Con $v_d = \dfrac{i}{nq\,ab}$:

$$\boxed{V_H = \frac{iB}{nqa}}$$

A cosa serve.

• Misura del campo magnetico: una sonda di Hall (lamina di semiconduttore con $n$ noto e piccolo, così $V_H$ è grande) dà una tensione proporzionale a $B$.
• Segno dei portatori: la polarità della tensione dice se i portatori sono positivi o negativi. Nei metalli sono elettroni; in alcuni semiconduttori (drogati $p$) risultano positivi (le "lacune").
• Densità dei portatori: da $V_H$ misurata si ricava $n$.

Nei metalli $n$ è enorme ($\sim 10^{29}\ \text{m}^{-3}$) e $V_H$ è di microvolt; nei semiconduttori ($n \sim 10^{21}$–$10^{23}\ \text{m}^{-3}$) di millivolt o più.

Momento su una spira

Una spira rettangolare di lati $a$ e $b$, percorsa dalla corrente $i$, in un campo uniforme $\vec B$. Si definisce la normale $\hat n$ alla spira con la regola della mano destra (dita nel verso della corrente, pollice lungo $\hat n$); sia $\theta$ l'angolo tra $\hat n$ e $\vec B$, e i lati $b$ siano perpendicolari a $\vec B$.

• Sui due lati $a$ agiscono forze uguali e opposte lungo la stessa retta: si annullano senza momento.
• Sui due lati $b$ agiscono forze uguali e opposte, di modulo $ibB$, ma su rette diverse, distanti $a\sin\theta$: formano una coppia, con momento $M = ibB \cdot a\sin\theta = iSB\sin\theta$ ($S = ab$ area della spira).

Si definisce il momento magnetico della spira

$$\boxed{\vec m = i\,S\,\hat n} \qquad [\text{A m}^2]$$

e il momento meccanico si scrive

$$\boxed{\vec M = \vec m \times \vec B}$$

Il risultato vale per spire piane di qualsiasi forma (conta solo l'area). Per una bobina di $N$ spire uguali, $\vec m = NiS\,\hat n$.

Effetto del momento. $\vec M$ tende a ruotare la spira finché $\vec m$ è parallelo a $\vec B$: è quello che fa l'ago di una bussola, che è un piccolo momento magnetico. È esattamente la stessa formula del dipolo elettrico in un campoM = p × E: il campo tende ad allineare il dipolo; l'energia è U = −p·E.Dipolo elettrico →, con $\vec m$ al posto di $\vec p$ e $\vec B$ al posto di $\vec E$: per questo una spira si chiama anche dipolo magnetico.

Energia di un dipolo magnetico

Il lavoro per ruotare la spira contro il momento definisce un'energia potenziale, come per il dipolo elettrico:

$$\boxed{U = -\vec m \cdot \vec B = -mB\cos\theta}$$

Il lavoro esterno per ruotare il dipolo da un'orientazione a un'altra è $W_{\text{est}} = \Delta U = U_f - U_i$; quello del campo è $-\Delta U$. Spostato di poco dalla posizione stabile, un dipolo con momento d'inerzia $I$ oscilla con $\omega = \sqrt{mB/I}$.

In un campo non uniforme compare anche una forza, $\vec F = \nabla(\vec m \cdot \vec B)$: un dipolo allineato al campo è attratto verso le zone dove il campo è più intenso (così una calamita attira un chiodo, che si magnetizza e diventa un dipolo allineato). Spostando un dipolo con orientazione fissa da un punto $A$ a un punto $B$ il lavoro esterno è $U(B) - U(A) = -\vec m \cdot [\vec B(B) - \vec B(A)]$.

Galvanometro a bobina mobile

Una bobina leggera di $N$ spire, libera di ruotare attorno a un asse, è immersa nel campo di un magnete permanente con espansioni polari sagomate in modo che il campo sia radiale: il piano della bobina è sempre parallelo alle linee di campo, e il momento è sempre massimo, $M = NiSB$. Una molla a spirale esercita un momento di richiamo $k\varphi$ proporzionale all'angolo di rotazione. All'equilibrio:

$$NiSB = k\varphi \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \frac{NSB}{k}\,i$$

L'angolo dell'indice è proporzionale alla corrente: lo strumento misura correnti piccolissime ($\mu\text{A}$). Con resistenze aggiuntive diventa amperometro o voltmetroAmperometro: galvanometro con una piccola resistenza in parallelo, inserito in serie. Voltmetro: galvanometro con una grande resistenza in serie, collegato in parallelo.Circuiti in corrente continua →.

Errori comuni

• Dimenticare il seno nella forza su un filo: un filo parallelo al campo non sente forza.
• Usare $\vec B \times d\vec l$ invece di $d\vec l \times \vec B$: il verso si inverte.
• Pensare che una spira in campo uniforme trasli: sente solo un momento, la forza totale è nulla.
• Confondere il momento magnetico $\vec m$ con il momento meccanico $\vec M$: il primo è una proprietà della spira, il secondo è l'effetto del campo su di essa.