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Note per Studenti Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell

Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell

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Segue Mutua induzioneDue circuiti vicini si scambiano flusso: il flusso prodotto dal circuito 1 e concatenato con il 2 è Φ21 = M i1, e il coefficiente di mutua induzione M (in henry) è lo stesso nei due sensi, M12 = M21. Una corrente variabile in un circuito induce nell'altro la f.e.m. −M di/dt. Per una bobina di N spire di area A dentro un solenoide con n spire per metro, M = μ0 n N A cosθ. L'energia di due circuiti accoppiati è ½L1 i1² + ½L2 i2² + M i1 i2. Su questo funziona il trasformatore: V2/V1 = N2/N1.Mutua induzione →. Riprende Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di AmpèreLe linee del campo magnetico sono chiuse: il flusso di B attraverso qualunque superficie chiusa è nullo (div B = 0, non esistono monopoli). La circuitazione di B lungo una linea chiusa vale μ0 per la corrente concatenata (teorema di Ampère, rot B = μ0 j). Con la simmetria giusta Ampère dà subito il campo: filo spesso, solenoide indefinito B = μ0 n i (uniforme dentro, nullo fuori), toroide B = μ0 N i/2πr.Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère → e Legge di Faraday-Neumann-LenzOgni volta che il flusso di B concatenato con un circuito cambia (perché cambia B, l'area o l'orientazione) nel circuito nasce una f.e.m. indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione. La carica che circola è q = ΔΦ/R (legge di Felici). Una sbarretta che scorre su rotaie dà ℰ = Bℓv ed è frenata da F = B²ℓ²v/R. Un campo B variabile produce un campo elettrico indotto non conservativo: ∮E·dl = −dΦ/dt, rot E = −∂B/∂t. Applicazioni: correnti di Foucault, alternatore.Legge di Faraday-Neumann-Lenz →. Seguito: Onde elettromagneticheUn'onda è una perturbazione f(x − vt) che si propaga senza deformarsi e soddisfa l'equazione delle onde; un'onda armonica è E0 sin(kx − ωt), con k = 2π/λ, ω = 2πf, v = λf = ω/k. Dalle equazioni di Maxwell nel vuoto E e B soddisfano l'equazione delle onde con velocità c = 1/√(μ0ε0) = 3·10⁸ m/s. L'onda piana è trasversale: E, B e direzione di propagazione sono perpendicolari, E = cB, in fase. Nei mezzi v = c/n. Trasporta energia: vettore di Poynting S = E × B/μ0, intensità I = ½ cε0 E0²; e quantità di moto: pressione di radiazione I/c (assorbita).Onde elettromagnetiche →. Esercizi: Esercizio 48 · carica che si disperde in un conduttore e corrente di spostamento.

Il problema: Ampère e il condensatore che si carica

Un condensatore piano si carica attraverso un filo percorso dalla corrente ii. Si applica il teorema di Ampère∮B·dl = μ0 per la corrente concatenata, cioè che attraversa una qualunque superficie che ha la linea come bordo.Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère → a una circonferenza γ\gamma attorno al filo. La corrente concatenata è quella che attraversa una qualsiasi superficie con bordo γ\gamma:

  • con il dischetto piatto, attraversato dal filo: iconc=ii_{\text{conc}} = i;
  • con una superficie a "sacchetto" che passa tra le armature senza toccare il filo: tra le armature non passa nessuna carica, quindi iconc=0i_{\text{conc}} = 0.

La stessa circuitazione dovrebbe valere μ0i\mu_0 i e zero: contraddizione. Il teorema di Ampère, così com'è, vale solo per correnti stazionarie, che non si accumulano da nessuna parte.

Lo stesso problema in forma locale: dalla divergenza del rotore, che è sempre nulla, ∇⋅(∇×B⃗)=μ0∇⋅j⃗=0\nabla \cdot (\nabla \times \vec B) = \mu_0\nabla \cdot \vec j = 0. Ma l'equazione di continuitàdiv j = −∂ρ/∂t: la corrente che esce da un volume è uguale alla diminuzione della carica contenuta.Corrente elettrica e legge di Ohm → dice ∇⋅j⃗=−∂ρ/∂t\nabla \cdot \vec j = -\partial\rho/\partial t, che è nullo solo se la carica non si accumula.

La corrente di spostamento

Tra le armature non passa carica, ma qualcosa cambia: il campo elettrico. Con carica qq sulle armature di area SS il campo è E=q/(ε0S)E = q/(\varepsilon_0 S), e il suo flusso attraverso una superficie che passa tra le armature è Φ(E⃗)=ES=q/ε0\Phi(\vec E) = ES = q/\varepsilon_0. Quindi

ε0 dΦ(E⃗)dt=dqdt=i\varepsilon_0\,\frac{d\Phi(\vec E)}{dt} = \frac{dq}{dt} = i

Questa quantità ha le dimensioni di una corrente e, tra le armature, vale esattamente quanto la corrente nel filo. Maxwell (1865) la chiamò corrente di spostamento:

is=ε0 dΦ(E⃗)dtj⃗s=ε0 ∂E⃗∂t\boxed{i_s = \varepsilon_0\,\frac{d\Phi(\vec E)}{dt}} \qquad \vec j_s = \varepsilon_0\,\frac{\partial\vec E}{\partial t}

e la aggiunse alla corrente di conduzione nel teorema di Ampère, ottenendo la legge di Ampère-Maxwell:

∮B⃗⋅dl⃗=μ0(iconc+ε0 dΦ(E⃗)dt)⟺∇×B⃗=μ0 j⃗+μ0ε0 ∂E⃗∂t\boxed{\oint \vec B \cdot d\vec l = \mu_0\left(i_{\text{conc}} + \varepsilon_0\,\frac{d\Phi(\vec E)}{dt}\right)} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \nabla \times \vec B = \mu_0\,\vec j + \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial\vec E}{\partial t}

Ora tutto torna: con il dischetto conta la corrente nel filo, con il sacchetto la corrente di spostamento, e sono uguali. In ogni caso la somma i+isi + i_s è "continua": dove finisce la corrente di conduzione comincia quella di spostamento.

Il significato fisico. Non c'è nessuna carica che si sposta: il nome è storico. Il contenuto è che un campo elettrico variabile produce un campo magnetico, esattamente come (per Faraday) un campo magnetico variabile produce un campo elettrico. Maxwell la introdusse per coerenza matematica; la conferma sperimentale arrivò con la scoperta delle onde elettromagnetiche, che senza questo termine non esisterebbero.

Esempio: il campo tra le armature. Un condensatore con armature circolari di raggio RR si carica con corrente ii. Tra le armature il campo elettrico è uniforme e cresce; per simmetria le linee di B⃗\vec B sono circonferenze coassiali. Su una circonferenza di raggio r<Rr < R la corrente di spostamento concatenata è la frazione r2/R2r^2/R^2 di quella totale:

B⋅2πr=μ0 i r2R2⟹B=μ0 i r2πR2B \cdot 2\pi r = \mu_0\,i\,\frac{r^2}{R^2} \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{\mu_0\,i\,r}{2\pi R^2}

esattamente come dentro un filo spesso percorso dalla stessa corrente. Con i=1 Ai = 1\ \text{A} e R=5 cmR = 5\ \text{cm}, al bordo B=4 μTB = 4\ \mu\text{T}: piccolo ma misurabile.

Quando conta. In un conduttore ohmico con campo che varia lentamente la corrente di spostamento è del tutto trascurabile rispetto a quella di conduzione. Diventa importante nei condensatori, negli isolanti, nel vuoto e ad alta frequenza.

Nella materia. In un dielettrico la corrente di spostamento si scrive con il vettore DD = ε0 E + P: le sue sorgenti sono solo le cariche libere.Dielettrici e polarizzazione →: j⃗s=∂D⃗/∂t\vec j_s = \partial\vec D/\partial t, e la legge diventa ∇×H⃗=j⃗+∂D⃗/∂t\nabla \times \vec H = \vec j + \partial\vec D/\partial t.

Le equazioni di Maxwell

Mettendo insieme tutte le leggi viste, l'intero elettromagnetismo si riassume in quattro equazioni.

forma integrale forma locale contenuto
I. Gauss per E⃗\vec E ∮SE⃗⋅dS⃗=qintε0\oint_S \vec E \cdot d\vec S = \dfrac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} ∇⋅E⃗=ρε0\nabla \cdot \vec E = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0} le cariche sono sorgenti del campo elettrico
II. Gauss per B⃗\vec B ∮SB⃗⋅dS⃗=0\oint_S \vec B \cdot d\vec S = 0 ∇⋅B⃗=0\nabla \cdot \vec B = 0 non esistono cariche magnetiche
III. Faraday ∮γE⃗⋅dl⃗=−dΦ(B⃗)dt\oint_\gamma \vec E \cdot d\vec l = -\dfrac{d\Phi(\vec B)}{dt} ∇×E⃗=−∂B⃗∂t\nabla \times \vec E = -\dfrac{\partial\vec B}{\partial t} un campo magnetico variabile produce un campo elettrico
IV. Ampère-Maxwell ∮γB⃗⋅dl⃗=μ0i+μ0ε0dΦ(E⃗)dt\oint_\gamma \vec B \cdot d\vec l = \mu_0 i + \mu_0\varepsilon_0\dfrac{d\Phi(\vec E)}{dt} ∇×B⃗=μ0j⃗+μ0ε0∂E⃗∂t\nabla \times \vec B = \mu_0\vec j + \mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial\vec E}{\partial t} correnti e campi elettrici variabili producono campo magnetico

A queste si aggiunge la forza di Lorentz, F⃗=q(E⃗+v⃗×B⃗)\vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B), che dice come i campi agiscono sulle cariche.

Dalla forma integrale a quella locale si passa con due teoremi di analisi (vedi Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotoreGli strumenti matematici dei campi: derivate parziali, operatore nabla, gradiente di un campo scalare (vettore che punta dove la funzione cresce più in fretta), divergenza (sorgenti di un campo vettoriale) e rotore (vorticosità), più i teoremi della divergenza e di Stokes.Richiami di calcolo vettoriale - gradiente, divergenza e rotore →):

  • teorema della divergenza (di Gauss): il flusso di un campo uscente da una superficie chiusa è uguale all'integrale della sua divergenza sul volume racchiuso, ∮SF⃗⋅dS⃗=∫V∇⋅F⃗ dτ\oint_S \vec F \cdot d\vec S = \int_V \nabla \cdot \vec F\,d\tau. Serve per le equazioni I e II, scrivendo qint=∫Vρ dτq_{\text{int}} = \int_V \rho\,d\tau;
  • teorema di Stokes (del rotore): la circuitazione lungo una linea chiusa è uguale al flusso del rotore attraverso una superficie che ha la linea come bordo, ∮γF⃗⋅dl⃗=∫S(∇×F⃗)⋅dS⃗\oint_\gamma \vec F \cdot d\vec l = \int_S (\nabla \times \vec F)\cdot d\vec S. Serve per III e IV, scrivendo i=∫Sj⃗⋅dS⃗i = \int_S \vec j \cdot d\vec S.

Siccome le uguaglianze valgono per ogni volume e ogni superficie, devono valere tra gli integrandi, punto per punto.

Casi particolari già visti. In elettrostatica i campi non cambiano: ∇×E⃗=0\nabla \times \vec E = 0, il campo elettrico è conservativo e ha un potenziale. In magnetostatica ∇×B⃗=μ0j⃗\nabla \times \vec B = \mu_0\vec j (Ampère). Le derivate temporali sono la novità che lega i due campi: non sono più fenomeni separati, ma due aspetti del campo elettromagnetico.

La conservazione della carica è dentro le equazioni. Prendendo la divergenza della IV (la divergenza di un rotore è zero) e usando la I:

0=μ0∇⋅j⃗+μ0ε0∂∂t(∇⋅E⃗)=μ0(∇⋅j⃗+∂ρ∂t)0 = \mu_0\nabla \cdot \vec j + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \cdot \vec E) = \mu_0\left(\nabla \cdot \vec j + \frac{\partial\rho}{\partial t}\right)

cioè proprio l'equazione di continuità. Il termine di Maxwell è quello che rende coerenti le equazioni con la conservazione della carica.

Nel vuoto, senza cariche né correnti, le equazioni diventano quasi simmetriche:

∇⋅E⃗=0,∇⋅B⃗=0,∇×E⃗=−∂B⃗∂t,∇×B⃗=μ0ε0 ∂E⃗∂t\nabla \cdot \vec E = 0, \qquad \nabla \cdot \vec B = 0, \qquad \nabla \times \vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t}, \qquad \nabla \times \vec B = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial\vec E}{\partial t}

Un campo elettrico variabile genera un campo magnetico variabile, che genera un campo elettrico variabile, e così via: i campi si autosostengono e si propagano anche dove non ci sono sorgenti. Sono le Onde elettromagneticheUn'onda è una perturbazione f(x − vt) che si propaga senza deformarsi e soddisfa l'equazione delle onde; un'onda armonica è E0 sin(kx − ωt), con k = 2π/λ, ω = 2πf, v = λf = ω/k. Dalle equazioni di Maxwell nel vuoto E e B soddisfano l'equazione delle onde con velocità c = 1/√(μ0ε0) = 3·10⁸ m/s. L'onda piana è trasversale: E, B e direzione di propagazione sono perpendicolari, E = cB, in fase. Nei mezzi v = c/n. Trasporta energia: vettore di Poynting S = E × B/μ0, intensità I = ½ cε0 E0²; e quantità di moto: pressione di radiazione I/c (assorbita).Onde elettromagnetiche →.

Nella materia si usano D⃗\vec D e H⃗\vec H: ∇⋅D⃗=ρlibera\nabla \cdot \vec D = \rho_{\text{libera}}, ∇⋅B⃗=0\nabla \cdot \vec B = 0, ∇×E⃗=−∂B⃗/∂t\nabla \times \vec E = -\partial\vec B/\partial t, ∇×H⃗=j⃗libera+∂D⃗/∂t\nabla \times \vec H = \vec j_{\text{libera}} + \partial\vec D/\partial t, con le relazioni del mezzo (D⃗=εE⃗\vec D = \varepsilon\vec E, B⃗=μH⃗\vec B = \mu\vec H, j⃗=σE⃗\vec j = \sigma\vec E per i materiali lineari).

Errori comuni

  • Pensare che la corrente di spostamento sia un moto di cariche: è un campo elettrico che varia.
  • Usare la corrente di spostamento totale quando la linea di Ampère racchiude solo una parte della zona in cui il campo varia: conta il flusso di E⃗\vec E attraverso la superficie scelta.
  • Dimenticare il segno meno nella legge di Faraday, che invece non c'è nella legge di Ampère-Maxwell: è questa asimmetria di segno che permette le onde.