Esercizio 9energia e forza tra due molecole d'acqua

Testo (esercizio di allenamento sul dipolo). La molecola d'acqua ha un momento di dipolo elettrico permanente $p = 6{,}2 \cdot 10^{-30}\ \text{C m}$. Due molecole d'acqua si trovano a distanza $x = 0{,}5\ \text{nm}$, molto maggiore delle dimensioni di una molecola, così che ciascuna si può trattare come un dipolo puntiforme.

a) Con i due dipoli allineati lungo la loro congiungente e concordi ($\rightarrow\ \rightarrow$), calcolare l'energia elettrostatica di interazione $U$ e la forza $F$ tra le molecole. b) Calcolare $U$ se invece i dipoli sono affiancati, paralleli tra loro e perpendicolari alla congiungente ($\uparrow\ \uparrow$), alla stessa distanza; e se sono affiancati ma antiparalleli ($\uparrow\ \downarrow$). c) Confrontare le energie con l'energia di agitazione termica $k_B T$ a temperatura ambiente ($T = 300\ \text{K}$, $k_B = 1{,}38 \cdot 10^{-23}\ \text{J/K}$).

Teoria: Dipolo elettricoDue cariche opposte ±q a distanza a formano un dipolo di momento p = q a (da − a +). Lontano il potenziale cala come cosθ/r² e il campo come 1/r³; in un campo esterno uniforme il dipolo subisce un momento p×E che lo allinea, con energia U = −p·E.Dipolo elettrico →.

L'idea: un dipolo nel campo dell'altro

L'energia di interazione di due dipoli si ottiene mettendo il dipolo 2 nel campo prodotto dal dipolo 1. Un dipolo in un campo esterno ha energia (energia di un dipolo in un campoU = −p·E: minima quando p è parallelo a E, massima quando è antiparallelo.Dipolo elettrico →)

$$U = -\vec p_2 \cdot \vec E_1$$

dove $\vec E_1$ è il campo del dipolo 1 nel punto in cui si trova il dipolo 2. Il risultato è simmetrico: mettendo il dipolo 1 nel campo del 2 si ottiene lo stesso numero (è l'energia della coppia, come $kq_1q_2/r$ per due cariche).

Il campo di un dipolo a distanza $r$ grande rispetto alla sua lunghezza si legge dalla tabella della teoria:

con $k = 1/4\pi\varepsilon_0$. La quantità che compare in tutti i conti è

$$\frac{kp^2}{x^3} = \frac{8{,}99 \cdot 10^9 \cdot (6{,}2 \cdot 10^{-30})^2}{(0{,}5 \cdot 10^{-9})^3} = \frac{8{,}99 \cdot 10^9 \cdot 3{,}84 \cdot 10^{-59}}{1{,}25 \cdot 10^{-28}} = 2{,}76 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$$

a) Dipoli allineati e concordi

Il dipolo 2 sta sull'asse del dipolo 1: lì $\vec E_1 = \dfrac{2kp}{x^3}$ nella direzione di $\vec p_1$, che è anche quella di $\vec p_2$. Il prodotto scalare è il prodotto dei moduli ($\cos 0 = 1$):

$$U = -p\,\frac{2kp}{x^3} = -\frac{2kp^2}{x^3} = -2 \cdot 2{,}76 \cdot 10^{-21} = -5{,}53 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$$

L'energia è negativa: la configurazione "testa-coda" è legata, le molecole si attraggono (il $+$ di una è vicino al $-$ dell'altra).

Forza. La forza è meno la derivata dell'energia rispetto alla distanza (la forza è meno il gradiente dell'energia potenzialeF = −dU/dx in una dimensione: la forza spinge verso dove l'energia potenziale diminuisce.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →):

$$F = -\frac{dU}{dx} = -\frac{d}{dx}\left(-\frac{2kp^2}{x^3}\right) = -\frac{6kp^2}{x^4}$$

(la derivata di $x^{-3}$ è $-3x^{-4}$: i due segni meno si moltiplicano e ne resta uno davanti). Numericamente:

$$F = -\frac{6 \cdot 2{,}76 \cdot 10^{-21}}{0{,}5 \cdot 10^{-9}} = -3{,}32 \cdot 10^{-11}\ \text{N}$$

Il segno meno (con $x$ distanza tra le molecole) indica una forza che tende a ridurre $x$: attrattiva. La forza cala come $1/x^4$, molto più rapidamente della forza di Coulomb tra cariche ($1/x^2$): due oggetti neutri si sentono solo da molto vicino.

Lo stesso risultato si ottiene con la formula della forza su un dipolo in un campo non uniforme, $F = p\,\dfrac{dE_1}{dx}$ con $E_1 = 2kp/x^3$: $F = p \cdot (-6kp/x^4)$ ✓.

b) Dipoli affiancati

Ora il dipolo 2 sta sul piano equatoriale del dipolo 1, a distanza $x$: lì il campo vale $\dfrac{kp}{x^3}$ ed è opposto a $\vec p_1$.

Paralleli ($\uparrow\ \uparrow$). $\vec p_2$ è concorde con $\vec p_1$, quindi opposto a $\vec E_1$: $\cos 180° = -1$.

$$U_{\uparrow\uparrow} = -p\,\frac{kp}{x^3}\,(-1) = +\frac{kp^2}{x^3} = +2{,}76 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$$

Energia positiva: affiancati e paralleli i dipoli si respingono (i due $+$ sono uno accanto all'altro, e così i due $-$).

Antiparalleli ($\uparrow\ \downarrow$). $\vec p_2$ è ora concorde con $\vec E_1$:

$$U_{\uparrow\downarrow} = -\frac{kp^2}{x^3} = -2{,}76 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$$

Attrattivi, ma con energia la metà del caso testa-coda.

Riepilogo delle configurazioni:

c) Confronto con l'agitazione termica

$$k_B T = 1{,}38 \cdot 10^{-23} \cdot 300 = 4{,}14 \cdot 10^{-21}\ \text{J}$$

$$\frac{|U_{\rightarrow\rightarrow}|}{k_B T} = \frac{5{,}53}{4{,}14} = 1{,}3, \qquad \frac{|U_{\uparrow\downarrow}|}{k_B T} = 0{,}67$$

L'energia di interazione tra due dipoli d'acqua a mezzo nanometro è dello stesso ordine dell'energia degli urti termici. Significa che a temperatura ambiente l'agitazione termica riesce a disordinare continuamente gli orientamenti delle molecole, ma non del tutto: in media prevalgono un po' le orientazioni attrattive. È questa competizione tra allineamento elettrico e disordine termico che si ritrova nei dielettrici polariMateriali fatti di molecole con dipolo permanente: un campo esterno tende ad allinearle, l'agitazione termica a disordinarle; la polarizzazione media cala al crescere di T.Dielettrici e polarizzazione →.

(A distanze più piccole, come quelle del legame idrogeno tra molecole vicine nel liquido, l'approssimazione di dipolo puntiforme non vale più e le energie sono circa cinque volte più grandi di $k_BT$.)

Verifica numerica

k, p, x = 8.99e9, 6.2e-30, 0.5e-9
kT = 1.38e-23*300
u = k*p**2/x**3
print(u, -2*u, -6*k*p**2/x**4)      # 2.76e-21 J, -5.53e-21 J, -3.32e-11 N
print(2*u/kT, u/kT)                 # 1.33, 0.67

Risultati

Errori comuni

• Usare il campo sull'asse anche per i dipoli affiancati: sul piano equatoriale il campo è la metà e ha verso opposto a $\vec p_1$.
• Dimenticare il segno meno in $U = -\vec p \cdot \vec E$.
• Derivare l'energia rispetto alla distanza e perdere un segno: conviene controllare il verso della forza con il segno di $U$ (energia che diventa più negativa avvicinandosi vuol dire attrazione).