Esercizio 19condensatore piano e sferico in parallelo con dielettrico

Testo (III appello, 24 giugno 2025, problema 1). Un condensatore piano $C_1$ e uno sferico $C_2$ sono collegati in parallelo. La superficie delle armature piane è $S = 400\ \text{cm}^2$ e la distanza tra loro è $d = 1{,}5\ \text{cm}$. I raggi delle due armature sferiche sono rispettivamente $r_1 = 0{,}1\ \text{m}$ e $r_2 = 0{,}3\ \text{m}$. I due condensatori vengono caricati con una carica totale $q = 8 \cdot 10^{-8}\ \text{C}$ e successivamente isolati. Determinare:

1. la differenza di potenziale $V$ tra le armature.

Lo spazio tra le armature del condensatore piano viene completamente riempito con un dielettrico di costante dielettrica relativa $\varepsilon_r = 2$. Calcolare:

2. il campo elettrostatico $E_1$ tra le armature del condensatore piano;
3. il modulo del vettore polarizzazione $\wp$ del dielettrico;
4. il campo elettrico $E'_2(r_0)$ nel condensatore sferico alla distanza $r_0 = 0{,}2\ \text{m}$ dal suo centro.

Teoria: Capacità e condensatoriLa capacità C = Q/V misura quanta carica un conduttore (o una coppia di conduttori) accumula per ogni volt. Condensatore piano C = ε0S/d, cilindrico C = 2πε0h/ln(R2/R1), sferico C = 4πε0R1R2/(R2−R1). In parallelo le capacità si sommano, in serie si sommano gli inversi.Capacità e condensatori →, Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione →.

1) Tensione iniziale

Le due capacità (piano e sfericoPiano: C = ε0S/d. Sferico: C = 4πε0 r1 r2/(r2 − r1).Capacità e condensatori →):

$$C_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}04}{0{,}015} = 23{,}6\ \text{pF}$$

$$C_2 = 4\pi\varepsilon_0\,\frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1} = 1{,}113 \cdot 10^{-10} \cdot \frac{0{,}1 \cdot 0{,}3}{0{,}2} = 16{,}7\ \text{pF}$$

In parallelo hanno la stessa tensione e le cariche si sommano: la carica totale $q$ si divide in proporzione alle capacità, e

$$V = \frac{q}{C_1 + C_2} = \frac{8 \cdot 10^{-8}}{40{,}3 \cdot 10^{-12}} = 1985\ \text{V}$$

2) Campo nel condensatore piano dopo il dielettrico

Cosa resta costante. I condensatori sono isolati dopo la carica: la carica totale $q$ non può cambiare. Possono però scambiarsi carica tra loro, perché sono collegati in parallelo: la carica si ridistribuisce finché le tensioni sono di nuovo uguali.

Nuova capacità del piano. Riempito di dielettrico, $C'_1 = \varepsilon_r C_1 = 47{,}2\ \text{pF}$ (vedi dielettrici nei condensatoriUn dielettrico che riempie il condensatore ne moltiplica la capacità per εr.Dielettrici e polarizzazione →). La capacità totale aumenta, quindi a carica fissa la tensione scende:

$$V' = \frac{q}{\varepsilon_r C_1 + C_2} = \frac{8 \cdot 10^{-8}}{(47{,}2 + 16{,}7) \cdot 10^{-12}} = 1252\ \text{V}$$

Nel condensatore piano il campo è uniforme, $E_1 = V'/d$:

$$E_1 = \frac{1252}{0{,}015} = 8{,}34 \cdot 10^4\ \text{V/m}$$

Prima del dielettrico era $1985/0{,}015 = 1{,}32 \cdot 10^5\ \text{V/m}$: è sceso, ma non di un fattore $\varepsilon_r = 2$ (solo di $1{,}59$). Il motivo è che parte della carica è passata dal condensatore sferico a quello piano, che ora "accoglie" di più: la carica sul piano passa da $C_1 V = 46{,}9\ \text{nC}$ a $\varepsilon_r C_1 V' = 59{,}1\ \text{nC}$.

3) Polarizzazione

Nel dielettrico $\wp = \varepsilon_0\chi E = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)E_1$ (suscettività℘ = ε0 χ E con χ = εr − 1: la polarizzazione è proporzionale al campo nel materiale.Dielettrici e polarizzazione →):

$$\wp = 8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 1 \cdot 8{,}34 \cdot 10^4 = 7{,}39 \cdot 10^{-7}\ \text{C/m}^2$$

Stesso risultato con le cariche. Il modulo di $\wp$ è anche la densità della carica di polarizzazione sulle facce del dielettrico, $\sigma_p = \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}\sigma'_1$, con $\sigma'_1 = q'_1/S = 59{,}1 \cdot 10^{-9}/0{,}04 = 1{,}48 \cdot 10^{-6}\ \text{C/m}^2$ densità libera sulle armature: $\sigma_p = \frac12 \cdot 1{,}48 \cdot 10^{-6} = 7{,}39 \cdot 10^{-7}\ \text{C/m}^2$ ✓.

4) Campo nel condensatore sferico

Anche il condensatore sferico è ora alla tensione $V'$, quindi la sua carica è

$$q'_2 = C_2 V' = 16{,}7 \cdot 10^{-12} \cdot 1252 = 20{,}9\ \text{nC}$$

(prima era $C_2 V = 33{,}1\ \text{nC}$: ne ha ceduti $12{,}2$ al piano). Tra le armature il campo è quello di una carica puntiforme $q'_2$ al centro (Gauss su una sfera di raggio $r_0$):

$$E'_2(r_0) = \frac{q'_2}{4\pi\varepsilon_0 r_0^2} = \frac{8{,}99 \cdot 10^9 \cdot 2{,}09 \cdot 10^{-8}}{0{,}04} = 4{,}69 \cdot 10^3\ \text{V/m}$$

Il dielettrico sta nel condensatore piano, ma cambia anche il campo nello sferico: in un parallelo isolato, modificare un condensatore cambia la tensione comune e quindi tutti gli altri.

Verifica numerica

import numpy as np
eps0 = 8.854e-12
S, d, r1, r2, q, er = 0.04, 0.015, 0.1, 0.3, 8e-8, 2
C1 = eps0*S/d; C2 = 4*np.pi*eps0*r1*r2/(r2 - r1)
V = q/(C1 + C2); V1 = q/(er*C1 + C2)
E1 = V1/d
print(C1, C2, V)                          # 23.6 pF, 16.7 pF, 1985 V
print(V1, E1, eps0*(er - 1)*E1)           # 1252 V, 8.34e4 V/m, 7.39e-7 C/m²
print(C2*V1/(4*np.pi*eps0*0.2**2))        # 4694 V/m

Risultati

Errori comuni

• Dividere il campo del condensatore piano per $\varepsilon_r$: vale per un condensatore isolato da solo, non per uno in parallelo con un altro che gli cede carica.
• Tenere fissa la carica di ciascun condensatore: è fissa solo la carica totale.
• Calcolare $\wp$ come $\varepsilon_0\varepsilon_r E$: quello è $D$; la polarizzazione è $\varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)E$.