Esercizio 2due lastre metalliche cariche messe in contatto

Testo (esercizio 1B del prof, preparazione al compitino). Due lastre di metallo quadrate inizialmente separate hanno il lato una doppia dell'altra, $\ell_2 = 2\ell_1$. Ad entrambe viene corrisposta la medesima carica di $Q = 10^{-9}\ \text{C}$ che si distribuisce in modo omogeneo [si trascurino gli effetti di bordi e punte].

a) Quanti elettroni liberi si trovano su ogni lastra? b) Si calcoli il rapporto tra le densità di carica delle due lastre. c) Se ora le lastre vengono messe in contatto per mezzo di un filo conduttore, quanto vale la carica totale presente nel sistema? Quanto vale la densità di carica delle due lastre sapendo che la più piccola ha lato $\ell_1 = 10\ \text{cm}$? d) Quanto vale ora, in modulo, direzione e verso, il campo elettrico al centro di una delle due lastre? e) Se in quel punto, appena sopra la lastra, fosse presente un protone, che forza subirebbe?

Teoria: Carica elettrica e legge di CoulombLa carica elettrica è una proprietà della materia, si conserva ed è quantizzata (multipli di e). Due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con una forza proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della distanza.Carica elettrica e legge di Coulomb →, Conduttori in equilibrio elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, la carica sta sulla superficie, il conduttore è equipotenziale e appena fuori il campo è perpendicolare e vale σ/ε0 (teorema di Coulomb). Un conduttore cavo scherma l'interno (gabbia di Faraday); per induzione le cariche si separano in presenza di un campo esterno.Conduttori in equilibrio elettrostatico →.

Dati

Raddoppiando il lato l'area diventa quattro volte più grande: è il fatto che regge tutto l'esercizio.

a) Quanti elettroni

Il testo chiede quanti elettroni corrispondono alla carica depositata. La carica è quantizzataOgni carica è un multiplo intero della carica elementare: q = N e, con e = 1,602·10^-19 C.Carica elettrica e legge di Coulomb →, quindi

$$N = \frac{Q}{e} = \frac{1{,}0 \cdot 10^{-9}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} = 6{,}24 \cdot 10^{9}$$

per ciascuna lastra. Il segno conta: $Q$ è positiva, quindi questi $6{,}24$ miliardi di elettroni sono stati tolti a ogni lastra (con $Q$ negativa sarebbero stati aggiunti).

Non sono gli elettroni liberi del metallo, che sono enormemente di più: un metallo ne ha circa $10^{28}$–$10^{29}$ per metro cubo, quindi anche una lamina sottile di $0{,}01\ \text{m}^2$ e spessore $1\ \text{mm}$ ($10^{-5}\ \text{m}^3$) ne contiene circa $10^{23}$–$10^{24}$. La carica in eccesso è una perturbazione minuscola: manca circa un elettrone su $10^{14}$.

b) Rapporto tra le densità

La carica $Q$ si distribuisce in modo omogeneo su ciascuna lastra, quindi la densità superficialeσ = dq/dS, carica per unità di area, in C/m². Se la carica è uniforme σ = Q/A.Campo elettrostatico e principio di sovrapposizione → è carica diviso area:

$$\sigma_1 = \frac{Q}{A_1}, \qquad \sigma_2 = \frac{Q}{A_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{4\ell_1^2}{\ell_1^2} = 4$$

A parità di carica, la lastra piccola è quattro volte più densa. Il rapporto non dipende da quanto valgono $Q$ ed $\ell_1$, ed è lo stesso sia che si contino una sola faccia sia entrambe (il fattore 2 si semplifica). Numericamente: $\sigma_1 = 1{,}0 \cdot 10^{-7}\ \text{C/m}^2$, $\sigma_2 = 2{,}5 \cdot 10^{-8}\ \text{C/m}^2$.

c) Lastre collegate con un filo

Carica totale. Il sistema delle due lastre e del filo è isolato: per la conservazione della caricaIn un sistema isolato la somma algebrica delle cariche resta costante: le cariche si spostano ma non si creano né si distruggono.Carica elettrica e legge di Coulomb → la carica totale resta

$$Q_{\text{tot}} = Q + Q = 2{,}0 \cdot 10^{-9}\ \text{C}$$

Il filo permette agli elettroni di passare da una lastra all'altra, ma non ne crea né ne distrugge.

Densità. Con l'ipotesi del testo (carica distribuita in modo omogeneo, effetti di bordo trascurati) le due lastre collegate si trattano come un'unica superficie di area $A_1 + A_2$ con la stessa densità ovunque:

$$\sigma = \frac{Q_{\text{tot}}}{A_1 + A_2} = \frac{2{,}0 \cdot 10^{-9}}{0{,}010 + 0{,}040} = \frac{2{,}0 \cdot 10^{-9}}{0{,}050} = 4{,}0 \cdot 10^{-8}\ \text{C/m}^2$$

Quindi sulla piccola restano $\sigma A_1 = 0{,}4\ \text{nC}$ e sulla grande $\sigma A_2 = 1{,}6\ \text{nC}$: dalla piccola sono passati $0{,}6\ \text{nC}$ alla grande. Rispetto al punto b) la densità della piccola è scesa da $10 \cdot 10^{-8}$ a $4 \cdot 10^{-8}\ \text{C/m}^2$, quella della grande è salita da $2{,}5 \cdot 10^{-8}$ a $4 \cdot 10^{-8}\ \text{C/m}^2$.

Cosa succede davvero. La condizione fisica che si stabilisce tra due conduttori collegati è che abbiano lo stesso potenziale (un conduttore in equilibrio è equipotenzialeDentro un conduttore in equilibrio E = 0, quindi tra due punti qualsiasi la differenza di potenziale è nulla. Due conduttori uniti da un filo formano un unico conduttore.Conduttori in equilibrio elettrostatico →), non la stessa densità. Per due conduttori lontani il potenziale va come carica diviso dimensione lineare (per una sfera $V = kq/R$), quindi a parità di potenziale le cariche si dividono in proporzione al lato, non all'area: $q_1 : q_2 = 1 : 2$, cioè $0{,}67$ e $1{,}33\ \text{nC}$, e la lastra piccola resta più densa ($\sigma_1 / \sigma_2 = 2$). È il potere delle punteLa carica si concentra dove la superficie è più curva: tra due sfere collegate, la densità è inversamente proporzionale al raggio.Conduttori in equilibrio elettrostatico →. Il testo chiede di trascurarlo, e la risposta attesa è quella con $\sigma$ uniforme; vale la pena sapere che è una semplificazione.

d) Campo al centro di una lastra

Appena sopra il centro di una lastra si è molto più vicini alla lastra che ai suoi bordi: la lastra si può trattare come un piano indefinitoUn piano infinito con densità σ produce un campo uniforme di modulo σ/2ε0, perpendicolare al piano e uscente se σ > 0, da entrambi i lati.Campo di distribuzioni continue - filo, anello e disco → con densità $\sigma$ (carica totale della lastra divisa per l'area):

$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{4{,}0 \cdot 10^{-8}}{2 \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12}} = 2{,}26 \cdot 10^{3}\ \text{V/m}$$

• direzione: perpendicolare alla lastra;
• verso: uscente dalla lastra (la carica è positiva), quindi verso l'alto sopra e verso il basso sotto.

Siccome la densità è la stessa sulle due lastre, il campo al centro è lo stesso per entrambe.

Perché $\sigma/2\varepsilon_0$ e non $\sigma/\varepsilon_0$. Nella lastra metallica la carica si divide sulle due facce, $\sigma/2$ su ciascuna; il teorema di CoulombAppena fuori da un conduttore il campo è perpendicolare alla superficie e vale σ_faccia/ε0, dove σ_faccia è la densità sulla faccia vicina.Conduttori in equilibrio elettrostatico → dà allora $(\sigma/2)/\varepsilon_0 = \sigma/2\varepsilon_0$: stesso risultato. Si sbaglia solo se si usa $\sigma/\varepsilon_0$ con la $\sigma$ totale.

e) Forza su un protone

Il protone ha carica $+e$: la forza è $\vec F = e\vec E$, con lo stesso verso del campo, quindi perpendicolare alla lastra e diretta in allontanamento (repulsiva, entrambi positivi):

$$F = eE = 1{,}602 \cdot 10^{-19} \cdot 2{,}26 \cdot 10^3 = 3{,}62 \cdot 10^{-16}\ \text{N}$$

Per confronto, il peso del protone è $m_p g = 1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 9{,}81 = 1{,}6 \cdot 10^{-26}\ \text{N}$, dieci miliardi di volte più piccolo: nei problemi con particelle cariche la gravità si trascura quasi sempre.

Verifica numerica

e, eps0 = 1.602e-19, 8.854e-12
Q, l1 = 1e-9, 0.10
A1, A2 = l1**2, (2*l1)**2
print(Q/e, A2/A1)                 # 6.24e9 elettroni, rapporto 4
sigma = 2*Q/(A1 + A2)
E = sigma/(2*eps0)
print(sigma, E, e*E)              # 4.0e-8 C/m², 2.26e3 V/m, 3.62e-16 N

Risultati

Errori comuni

• Rapporto delle densità uguale a 2 perché "il lato è doppio": la densità è per unità di area, e l'area va col quadrato del lato.
• Pensare che col filo la carica totale cambi: si ridistribuisce soltanto.
• Usare $\sigma/\varepsilon_0$ con la densità totale della lastra: il campo di una lastra sottile carica, vista da vicino, è $\sigma/2\varepsilon_0$.