Esercizio 11disco carico con un foro centrale

Testo (prova in itinere, 19 novembre 2019, problema 1). A un disco metallico carico con $\sigma = 3{,}17 \cdot 10^{-8}\ \text{C/m}^2$ e raggio $R = 3\ \text{cm}$ è praticato un foro centrale circolare con diametro $d = 2r = 4\ \text{mm}$.

a) Si calcoli il campo elettrico $\vec E$ nel punto $P$ a un centimetro dal centro lungo l'asse $z$, perpendicolare al disco. b) Quanto vale il potenziale nell'origine? E all'infinito? c) Quanto vale una carica negativa posta nell'origine se per spostarla fino all'infinito è necessario fornire $10\ \text{nJ}$ dall'esterno? d) Riesprimi questa carica anche in multipli della carica dell'elettrone.

Teoria: Campo di distribuzioni continue - filo, anello e discoCampo e potenziale di filo (finito e indefinito), anello e disco uniformemente carichi, calcolati integrando i contributi dq e sfruttando la simmetria; il piano indefinito è il limite del disco, con campo uniforme σ/2ε0.Campo di distribuzioni continue - filo, anello e disco →, Lavoro elettrico e potenziale elettrostaticoLa forza elettrostatica è conservativa: il suo lavoro dipende solo dagli estremi e si scrive come differenza di energia potenziale. Il potenziale V è l'energia potenziale per unità di carica; per una carica puntiforme V = kq/r, e il campo è E = −grad V, perpendicolare alle superfici equipotenziali.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →.

Dati

Come nella soluzione del prof, il disco si tratta come una distribuzione superficiale uniforme $\sigma$ (una corona circolare carica), senza preoccuparsi di come si ridistribuirebbe davvero la carica su un metallo.

Il trucco: disco pieno meno disco piccolo

Una corona circolare (disco con foro) di densità $\sigma$ equivale, per il principio di sovrapposizione, a:

• un disco pieno di raggio $R$ con densità $+\sigma$,
• più un disco piccolo di raggio $r$ con densità $-\sigma$, sovrapposto al foro.

Nel foro le due densità si sommano a zero (niente carica, come deve essere), altrove resta $\sigma$. Così non serve integrare da capo: basta usare due volte la formula del disco carico sull'asseE_z = (σ/2ε0)(1 − z/√(z²+R²)) per z > 0, ottenuto sommando gli anelli di cui è fatto il disco.Campo di distribuzioni continue - filo, anello e disco → e sottrarre.

a) Campo in $P$

Per un disco di raggio $a$, sull'asse a quota $z > 0$:

$$E_z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + a^2}}\right)$$

Sottraendo il disco piccolo dal grande, l'"1" si cancella:

$$E_z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right) - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + r^2}}\right) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\frac{z}{\sqrt{z^2 + r^2}} - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right)$$

(lo stesso risultato si ottiene integrando gli anelli da $r$ a $R$ invece che da $0$ a $R$). Con i numeri:

$$\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{3{,}17 \cdot 10^{-8}}{2 \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12}} = 1790\ \text{V/m}$$

$$\frac{z}{\sqrt{z^2 + r^2}} = \frac{0{,}01}{\sqrt{10^{-4} + 4 \cdot 10^{-6}}} = \frac{0{,}01}{0{,}010198} = 0{,}9806, \qquad \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} = \frac{0{,}01}{\sqrt{10^{-4} + 9 \cdot 10^{-4}}} = \frac{0{,}01}{0{,}03162} = 0{,}3162$$

$$\vec E(P) = 1790 \cdot (0{,}9806 - 0{,}3162)\,\hat u_z = 1{,}19 \cdot 10^3\ \text{V/m}\ \hat u_z$$

diretto lungo l'asse, in allontanamento dal disco (carica positiva).

Controlli. Nel centro del foro ($z = 0$) il campo è nullo (le due frazioni valgono 0), come vuole la simmetria. Se il foro sparisce ($r \to 0$) la prima frazione vale 1 e si ritrova il disco pieno ✓.

b) Potenziale nell'origine e all'infinito

Anche per il potenziale si sovrappongono i due dischi. Per un disco di raggio $a$ sull'asse (zero all'infinito):

$$V_{\text{disco}}(z) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{z^2 + a^2} - |z|\right)$$

Sottraendo, i termini $|z|$ si cancellano:

$$V(z) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{z^2 + R^2} - \sqrt{z^2 + r^2}\right)$$

(si può controllare che $-dV/dz$ ridà il campo del punto a). Nell'origine:

$$V(0) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,(R - r) = 1790 \cdot (0{,}030 - 0{,}002) = 1790 \cdot 0{,}028 = 50{,}1\ \text{V}$$

All'infinito $V = 0$: per $z \to \infty$ le due radici diventano entrambe circa $z$ e la loro differenza tende a zero. È coerente con la scelta del riferimento: per una distribuzione di carica limitata il potenziale si fissa nullo all'infinito (zero del potenzialeIl potenziale è definito a meno di una costante; per cariche in una regione limitata si sceglie V = 0 all'infinito.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →).

c) La carica negativa

Per portare una carica $q$ dall'origine all'infinito, l'agente esterno compie il lavoro

$$W_{\text{est}} = \Delta U = q\,[V(\infty) - V(0)] = -q\,V(0)$$

Il testo dice che bisogna fornire $10\ \text{nJ}$, cioè $W_{\text{est}} = +10^{-8}\ \text{J}$: siccome $V(0) > 0$, questo è possibile solo con $q < 0$ (una carica negativa è attratta dal disco positivo, e per staccarla bisogna tirare). Ricavando:

$$q = -\frac{W_{\text{est}}}{V(0)} = -\frac{10^{-8}}{50{,}1} = -2{,}00 \cdot 10^{-10}\ \text{C}$$

d) In multipli della carica dell'elettrone

$$N = \frac{|q|}{e} = \frac{2{,}00 \cdot 10^{-10}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} = 1{,}25 \cdot 10^9$$

La carica è quella di circa $1{,}25$ miliardi di elettroni: $q = -1{,}25 \cdot 10^9\,e$.

Verifica numerica

import numpy as np
eps0, e = 8.854e-12, 1.602e-19
s, R, r, z = 3.17e-8, 0.03, 0.002, 0.01
E = s/(2*eps0)*(z/np.sqrt(z**2 + r**2) - z/np.sqrt(z**2 + R**2))
V0 = s/(2*eps0)*(R - r)
q = -1e-8/V0
print(E, V0, q, abs(q)/e)       # 1189 V/m, 50.1 V, -2.0e-10 C, 1.25e9

Risultati

Errori comuni

• Integrare da zero come per il disco pieno: si conta anche la carica del foro, che non c'è.
• Dimenticare il segno di $q$: il dato "bisogna fornire lavoro" con un potenziale positivo implica una carica negativa.
• Pensare che al centro del foro il potenziale sia nullo perché lo è il campo: il campo è nullo per simmetria, il potenziale vale $50\ \text{V}$.