Esercizio 24rottura del dielettrico durante la carica

Testo (V appello, 16 settembre 2025, problema 1). Un circuito contiene un generatore di forza elettromotrice $\mathcal E$ e due condensatori in serie. Le armature del primo condensatore sono sfere concentriche di raggio $r_1 = 5\ \text{mm}$ e $r_2 = 6\ \text{mm}$, tra cui è presente un dielettrico di costante dielettrica relativa $\varepsilon_r = 2{,}7$ e rigidità dielettrica $K = 20\ \text{kV/m}$. Il secondo condensatore è piano, vuoto, con armature di superficie $A = 0{,}049\ \text{m}^2$ e distanza fra di loro $h = 4\ \text{cm}$. Determinare:

1. il modulo della carica di polarizzazione $q_p$ del dielettrico se la forza elettromotrice vale $\mathcal E = 12\ \text{V}$;
2. il valore della forza elettromotrice $\mathcal E_{\max}$ a cui si innesca la rottura del dielettrico;
3. il tempo $t$ impiegato a raggiungere il punto di rottura dopo la chiusura del circuito, se si pone $\mathcal E = 2\mathcal E_{\max}$ e la resistenza globale del circuito è $R = 50\ \Omega$.

Teoria: Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione →, Capacità e condensatoriLa capacità C = Q/V misura quanta carica un conduttore (o una coppia di conduttori) accumula per ogni volt. Condensatore piano C = ε0S/d, cilindrico C = 2πε0h/ln(R2/R1), sferico C = 4πε0R1R2/(R2−R1). In parallelo le capacità si sommano, in serie si sommano gli inversi.Capacità e condensatori →, Carica e scarica di un condensatoreIn un circuito RC la carica del condensatore non cambia di colpo: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), in scarica q(t) = q0 e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC. Dopo qualche τ il transitorio è finito. Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà finisce nel condensatore e metà si dissipa nella resistenza, qualunque sia R.Carica e scarica di un condensatore →.

1) Carica di polarizzazione

Le capacità.

$$C_1 = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r\,\frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1} = 4\pi \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 2{,}7 \cdot \frac{5 \cdot 10^{-3} \cdot 6 \cdot 10^{-3}}{10^{-3}} = 9{,}01\ \text{pF}$$

$$C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{h} = \frac{8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}049}{0{,}04} = 10{,}8\ \text{pF}$$

In serie (serieStessa carica su tutti i condensatori; si sommano gli inversi delle capacità.Capacità e condensatori →) hanno la stessa carica e capacità equivalente

$$C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{9{,}01 \cdot 10{,}8}{19{,}9} = 4{,}92\ \text{pF}$$

A regime (dopo il transitorio) la carica su ciascuno è

$$q = C\,\mathcal E = 4{,}92 \cdot 10^{-12} \cdot 12 = 59{,}1\ \text{pC}$$

Polarizzazione. Sulla superficie del dielettrico a contatto con un'armatura compare la carica legata (carica di polarizzazioneq_p = (εr − 1)/εr · q_libera, di segno opposto alla carica dell'armatura a contatto.Dielettrici e polarizzazione →)

$$q_p = \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}\,q = \frac{1{,}7}{2{,}7} \cdot 59{,}1 = 37{,}2\ \text{pC}$$

(negativa sulla faccia interna, a contatto con l'armatura positiva, se la sfera interna è quella positiva; positiva sulla faccia esterna).

2) Tensione di rottura

Dove il campo è più intenso. Nel condensatore sferico il campo, calcolato con Gauss per $\vec D$ (carica libera $q$) e poi diviso per $\varepsilon_0\varepsilon_r$, è

$$E(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r^2}$$

Cala come $1/r^2$: il valore massimo è sulla sfera interna, $r = r_1$. La rottura comincia lì, quando $E(r_1)$ raggiunge la rigidità $K$:

$$K = \frac{q_{\max}}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r_1^2} \quad\Longrightarrow\quad q_{\max} = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r K r_1^2 = 1{,}113 \cdot 10^{-10} \cdot 2{,}7 \cdot 2 \cdot 10^4 \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-5} = 150\ \text{pC}$$

F.e.m. corrispondente. A regime la carica è $C\mathcal E$, quindi

$$\mathcal E_{\max} = \frac{q_{\max}}{C} = \frac{150 \cdot 10^{-12}}{4{,}92 \cdot 10^{-12}} = 30{,}5\ \text{V}$$

Con $\mathcal E = 12\ \text{V}$ il campo massimo è $E(r_1) = 7{,}9\ \text{kV/m}$, sotto la rigidità: tutto bene. Si noti che la tensione si divide tra i due condensatori in proporzione inversa alle capacità: con $12\ \text{V}$ il sferico ne prende $q/C_1 = 6{,}55\ \text{V}$ e il piano $5{,}45\ \text{V}$.

3) Quando si rompe con $\mathcal E = 2\mathcal E_{\max}$

Chiuso il circuito, la serie dei condensatori si carica come un unico condensatore $C$ attraverso $R$ (carica RCq(t) = C ℰ (1 − e^(−t/τ)), con τ = RC.Carica e scarica di un condensatore →):

$$q(t) = C\mathcal E\left(1 - e^{-t/RC}\right) = 2\,C\mathcal E_{\max}\left(1 - e^{-t/RC}\right)$$

Se la carica potesse arrivare a regime sarebbe il doppio di $q_{\max}$: la rottura avviene durante il transitorio, quando $q(t) = q_{\max} = C\mathcal E_{\max}$, cioè quando il condensatore è carico a metà:

$$1 - e^{-t/RC} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad t = RC\ln 2 = 50 \cdot 4{,}92 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}693 = 1{,}7 \cdot 10^{-10}\ \text{s} = 171\ \text{ps}$$

Una costante di tempo di $0{,}25\ \text{ns}$: con capacità di pochi picofarad e resistenze di decine di ohm i transitori durano frazioni di nanosecondo.

Verifica numerica

import numpy as np
eps0 = 8.854e-12
r1, r2, er, K, A, h, E, R = 5e-3, 6e-3, 2.7, 2e4, 0.049, 0.04, 12, 50
C1 = 4*np.pi*eps0*er*r1*r2/(r2 - r1); C2 = eps0*A/h
C = C1*C2/(C1 + C2); q = C*E
print(C1, C2, C, q, (er - 1)/er*q)       # 9.01 pF, 10.8 pF, 4.92 pF, 59.1 pC, 37.2 pC
qmax = 4*np.pi*eps0*er*K*r1**2
print(qmax, qmax/C, R*C*np.log(2))       # 150 pC, 30.5 V, 1.71e-10 s

Risultati

Errori comuni

• Controllare il campo sull'armatura esterna: nel condensatore sferico il campo è massimo su quella interna.
• Dare a ciascun condensatore tutta la f.e.m.: in serie la tensione si divide.
• Aspettare il regime per la rottura: con $\mathcal E = 2\mathcal E_{\max}$ il dielettrico cede quando il condensatore è carico a metà.