Esercizio 5fascio di ioni deviato da un condensatore

Testo (esercizio 1A del prof). Un fascio di ioni di $\text{Ca}^{++}$ nel vuoto si muove lungo una traiettoria rettilinea percorrendo $10\ \text{m}$ ogni $0{,}001$ secondi. Il numero di massa dello ione è $A = 40$ e l'unità di massa atomica vale $1\ \text{amu} = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

a) Quanto valgono la velocità e l'energia cinetica di ogni ione in unità SI e in eV? b) Se il fascio viene fatto passare nel centro di un condensatore piano a facce quadrate di lato $\ell = 1\ \text{mm}$ nella direzione parallela alle piastre, tale da avere un campo elettrico di $10\ \text{V/m}$, di quanto viene deviato il fascio all'uscita rispetto alla direzione iniziale? c) Quanto devono essere distanti le piastre affinché il condensatore abbia una capacità di $2\ \mu\text{F}$ e una carica di $4 \cdot 10^{-7}\ \text{C}$?

Teoria: Campo elettrostatico e principio di sovrapposizioneIl campo elettrostatico E è la forza per unità di carica che una carica di prova sentirebbe in ogni punto; per più cariche i campi si sommano come vettori, e per distribuzioni continue si integra usando le densità di carica λ, σ, ρ.Campo elettrostatico e principio di sovrapposizione → (moto in un campo uniforme), Lavoro elettrico e potenziale elettrostaticoLa forza elettrostatica è conservativa: il suo lavoro dipende solo dagli estremi e si scrive come differenza di energia potenziale. Il potenziale V è l'energia potenziale per unità di carica; per una carica puntiforme V = kq/r, e il campo è E = −grad V, perpendicolare alle superfici equipotenziali.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →.

Dati

Da dove vengono massa e carica. Il numero di massa $A = 40$ conta protoni più neutroni, ognuno di massa circa $1\ \text{amu}$; la massa degli elettroni è trascurabile. Il simbolo $^{++}$ vuol dire che l'atomo di calcio ha perso due elettroni: la sua carica è $+2e$.

a) Velocità ed energia cinetica

Il moto è rettilineo uniforme (il fascio è nel vuoto e non ci sono forze):

$$v = \frac{s}{t} = \frac{10\ \text{m}}{10^{-3}\ \text{s}} = 1{,}0 \cdot 10^4\ \text{m/s}$$

$$K = \tfrac12 m v^2 = \tfrac12 \cdot 6{,}68 \cdot 10^{-26} \cdot (10^4)^2 = 3{,}34 \cdot 10^{-18}\ \text{J}$$

Per passare agli elettronvolt si divide per $1\ \text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$:

$$K = \frac{3{,}34 \cdot 10^{-18}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} = 20{,}8\ \text{eV}$$

L'elettronvoltUnità di energia: l'energia che acquista una carica e attraversando una differenza di potenziale di 1 V. 1 eV = 1,602·10^-19 J. È comoda per particelle e atomi. è comodo perché dice subito quale tensione serve: uno ione di carica $2e$ accelerato da fermo attraverso una differenza di potenziale $\Delta V$ acquista $K = 2e\,\Delta V$, quindi per arrivare a $20{,}8\ \text{eV}$ basta $\Delta V = 10{,}4\ \text{V}$.

b) Deviazione nel condensatore

Il campo. Tra le armature di un condensatore piano il campo è uniforme e perpendicolare alle armature. Si sceglie l'asse $x$ lungo la velocità iniziale (parallela alle piastre) e l'asse $y$ lungo il campo.

Il moto è come quello di un proiettile. La forza $\vec F = q\vec E$ è costante e diretta lungo $y$: lungo $x$ non c'è forza e la velocità resta $v$; lungo $y$ c'è un'accelerazione costante

$$a = \frac{qE}{m} = \frac{3{,}2 \cdot 10^{-19} \cdot 10}{6{,}68 \cdot 10^{-26}} = 4{,}79 \cdot 10^7\ \text{m/s}^2$$

È lo stesso schema del moto in un campo uniformeUna carica in un campo uniforme ha accelerazione costante qE/m lungo il campo e velocità costante nella direzione perpendicolare: la traiettoria è una parabola.Campo elettrostatico e principio di sovrapposizione →: moto uniforme in orizzontale, uniformemente accelerato in verticale, traiettoria parabolica. La gravità ($9{,}8\ \text{m/s}^2$) è trascurabile rispetto a $10^7\ \text{m/s}^2$.

Tempo di attraversamento. Lo ione percorre il lato $\ell$ a velocità $v$ costante:

$$t_c = \frac{\ell}{v} = \frac{10^{-3}}{10^4} = 1{,}0 \cdot 10^{-7}\ \text{s}$$

Velocità all'uscita. Partendo con $v_y = 0$:

$$v_y = a\,t_c = 4{,}79 \cdot 10^7 \cdot 10^{-7} = 4{,}79\ \text{m/s}$$

Angolo di deviazione. È l'angolo tra la velocità di uscita e la direzione iniziale:

$$\tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{4{,}79}{10^4} = 4{,}8 \cdot 10^{-4} \quad\Longrightarrow\quad \theta = 4{,}8 \cdot 10^{-4}\ \text{rad} = 0{,}027°$$

Spostamento laterale all'uscita: $y = \frac12 a t_c^2 = \frac12 \cdot 4{,}79 \cdot 10^7 \cdot 10^{-14} = 2{,}4 \cdot 10^{-7}\ \text{m}$, un quarto di micrometro.

La deviazione è piccolissima perché il campo è debole ($10\ \text{V/m}$, cioè $0{,}01\ \text{V}$ su un millimetro) e lo ione resta nel condensatore solo $0{,}1\ \mu\text{s}$. In forma simbolica, $\tan\theta = \dfrac{qE\ell}{mv^2} = \dfrac{qE\ell}{2K}$: la deviazione è il rapporto tra il lavoro "trasversale" $qE\ell$ e il doppio dell'energia cinetica. È il principio dei deflettori elettrostaticiCoppie di piastre cariche che curvano un fascio di particelle cariche: nei vecchi oscilloscopi e televisori a tubo catodico spostavano il fascio di elettroni sullo schermo..

c) Distanza tra le piastre

Dalla definizione di capacitàC = Q/ΔV: carica su un'armatura divisa per la differenza di potenziale tra le armature. Si misura in farad (F = C/V)., la differenza di potenziale tra le armature è

$$\Delta V = \frac{Q}{C} = \frac{4 \cdot 10^{-7}}{2 \cdot 10^{-6}} = 0{,}2\ \text{V}$$

In un condensatore piano il campo è uniforme, quindi $\Delta V = E\,h$ con $h$ distanza tra le piastre (il campo uniforme per la distanza: è il legame tra campo e potenzialeΔV = −∫ E·dl; con E uniforme lungo un tratto rettilineo di lunghezza h diventa E h in modulo.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico → nel caso più semplice). Con il campo di $10\ \text{V/m}$ del punto b):

$$h = \frac{\Delta V}{E} = \frac{0{,}2\ \text{V}}{10\ \text{V/m}} = 0{,}02\ \text{m} = 2\ \text{cm}$$

Attenzione ai dati. Un condensatore piano vuoto con armature di $1\ \text{mm}^2$ distanti $2\ \text{cm}$ avrebbe capacità $C = \varepsilon_0 \ell^2/h = 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{-6}/0{,}02 = 4{,}4 \cdot 10^{-16}\ \text{F}$, dieci miliardi di volte meno di $2\ \mu\text{F}$: i numeri del testo non sono coerenti tra loro con la geometria del punto b). La risposta che usa solo $C$, $Q$ ed $E$ (come chiede il testo) è $h = 2\ \text{cm}$; per avere davvero $2\ \mu\text{F}$ servirebbero armature enormemente più grandi o un dielettrico.

Verifica numerica

import numpy as np
e, amu, eps0 = 1.602e-19, 1.67e-27, 8.854e-12
m, q = 40*amu, 2*e
v = 10/1e-3
K = 0.5*m*v**2
print(v, K, K/e)                         # 1e4 m/s, 3.34e-18 J, 20.8 eV
a = q*10/m; t = 1e-3/v
print(a, a*t, a*t/v, 0.5*a*t**2)         # 4.79e7, 4.79 m/s, 4.8e-4, 2.4e-7 m
dV = 4e-7/2e-6
print(dV, dV/10, eps0*1e-6/(dV/10))      # 0.2 V, 0.02 m, 4.4e-16 F

Risultati

Errori comuni

• Carica $+e$ invece di $+2e$: i due segni $+$ di $\text{Ca}^{++}$ sono due cariche elementari.
• Usare la lunghezza delle piastre come distanza tra le piastre: $\ell$ serve per il tempo di attraversamento, la distanza $h$ per la differenza di potenziale.
• Dare la deviazione come spostamento quando si chiede un angolo (o viceversa): sono due risposte diverse, conviene darle entrambe.