Esercizio 22circuito RC che alimenta delle lampadine

Testo (II appello del 12 febbraio 2018, problema 1). Un circuito RC è composto da un condensatore $C$, una resistenza $R = 110\ \Omega$ e un generatore di forza elettromotrice $V_0 = 6\ \text{V}$ e resistenza interna $R_i$. La costante di tempo del circuito è $\tau = 0{,}03\ \text{s}$. Con il condensatore inizialmente scarico, il generatore viene connesso per il tempo $\Delta t = 0{,}097\ \text{s}$, quando la carica accumulata è $q_1 = 1{,}44\ \text{mC}$, e poi viene disconnesso tramite un interruttore rapidissimo.

a) Quanto vale la resistenza interna del generatore?

La carica accumulata viene in seguito usata per alimentare un gruppo di $N$ lampadine collegate in parallelo ai capi del condensatore. Ciascuna lampadina è composta di $\ell = 2\ \text{cm}$ di filo di una lega metallica con $\rho = 4{,}4 \cdot 10^{-5}\ \Omega\,\text{m}$ di sezione piccolissima $S = 10^{-6}\ \text{m}^2$, e la resistenza totale del gruppo di lampadine è $R_T = 35{,}2\ \text{m}\Omega$.

b) Quante sono le lampadine? c) Se la minima potenza dissipata da una lampadina per restare accesa è $P_{\min} = 1\ \text{mW}$, per quanto tempo restano accese?

Teoria: Carica e scarica di un condensatoreIn un circuito RC la carica del condensatore non cambia di colpo: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), in scarica q(t) = q0 e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC. Dopo qualche τ il transitorio è finito. Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà finisce nel condensatore e metà si dissipa nella resistenza, qualunque sia R.Carica e scarica di un condensatore →, Circuiti in corrente continuaUn generatore mantiene la corrente grazie a una forza elettromotrice ℰ (lavoro per unità di carica del campo elettromotore non conservativo); con resistenza interna r fornisce V = ℰ − r i. Resistori in serie: R1 + R2; in parallelo: inversi che si sommano. Le leggi di Kirchhoff (nodi e maglie) risolvono qualunque rete; amperometro in serie con resistenza piccola, voltmetro in parallelo con resistenza grande.Circuiti in corrente continua →, Corrente elettrica e legge di OhmLa corrente i = dq/dt è la carica che attraversa una sezione per unità di tempo; la densità di corrente j = n q v_d lega la corrente al moto di deriva delle cariche. La carica si conserva (equazione di continuità). Nei conduttori ohmici j = σE, cioè V = R i con R = ρ ℓ/S; la potenza dissipata per effetto Joule è P = R i².Corrente elettrica e legge di Ohm →.

a) Resistenza interna

La carica nel tempo. Il generatore reale è una f.e.m. $V_0$ in serie con $R_i$: nel circuito di carica la resistenza totale è $R + R_i$, e la costante di tempo è $\tau = (R + R_i)\,C$. La carica cresce come (carica di un condensatoreq(t) = C ℰ (1 − e^(−t/τ)): parte da zero e tende a C ℰ con costante di tempo τ = RC.Carica e scarica di un condensatore →)

$$q(t) = C V_0\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$

Il generatore viene staccato a $\Delta t = 0{,}097\ \text{s}$, cioè dopo $\Delta t/\tau = 3{,}23$ costanti di tempo: il condensatore è carico al $1 - e^{-3{,}23} = 96{,}1\%$, non del tutto.

La capacità. Dalla carica raggiunta:

$$C = \frac{q_1}{V_0\left(1 - e^{-\Delta t/\tau}\right)} = \frac{1{,}44 \cdot 10^{-3}}{6 \cdot 0{,}9606} = 2{,}50 \cdot 10^{-4}\ \text{F} = 250\ \mu\text{F}$$

La resistenza interna. Da $\tau = (R + R_i)C$:

$$R_i = \frac{\tau}{C} - R = \frac{0{,}03}{2{,}50 \cdot 10^{-4}} - 110 = 120 - 110 = 10\ \Omega$$

b) Numero di lampadine

Resistenza di una lampadina, con la seconda legge di OhmR = ρ ℓ / S: la resistenza di un filo è proporzionale alla lunghezza e inversamente proporzionale alla sezione.Corrente elettrica e legge di Ohm →:

$$R_L = \rho\,\frac{\ell}{S} = 4{,}4 \cdot 10^{-5} \cdot \frac{0{,}02}{10^{-6}} = 0{,}88\ \Omega$$

$N$ lampadine uguali in parallelo hanno resistenza $R_L/N$ (gli inversi si sommano: $1/R_T = N/R_L$):

$$N = \frac{R_L}{R_T} = \frac{0{,}88}{0{,}0352} = 25$$

c) Per quanto tempo restano accese

La scarica. Staccato il generatore, il condensatore ha carica $q_1$ e tensione $V_1 = q_1/C = 1{,}44 \cdot 10^{-3}/2{,}50 \cdot 10^{-4} = 5{,}76\ \text{V}$. Si scarica sulle lampadine, cioè sulla resistenza $R_T$, con costante di tempo

$$\tau' = R_T\,C = 0{,}0352 \cdot 2{,}50 \cdot 10^{-4} = 8{,}8 \cdot 10^{-6}\ \text{s}$$

e la tensione cala come $V(t) = V_1\,e^{-t/\tau'}$.

Potenza di una lampadina. Le lampadine sono in parallelo, quindi ognuna ha ai capi tutta la tensione $V(t)$:

$$P_L(t) = \frac{V^2(t)}{R_L} = \frac{V_1^2}{R_L}\,e^{-2t/\tau'}$$

(la potenza cala con costante di tempo $\tau'/2$, perché va col quadrato della tensione). La lampadina resta accesa finché $P_L \ge P_{\min}$, cioè finché la tensione è almeno

$$V_{\min} = \sqrt{P_{\min}R_L} = \sqrt{10^{-3} \cdot 0{,}88} = 0{,}0297\ \text{V}$$

Tempo. Da $V_1\,e^{-t/\tau'} = V_{\min}$, prendendo il logaritmo:

$$t = \tau'\ln\frac{V_1}{V_{\min}} = 8{,}8 \cdot 10^{-6} \cdot \ln\frac{5{,}76}{0{,}0297} = 8{,}8 \cdot 10^{-6} \cdot 5{,}27 = 4{,}6 \cdot 10^{-5}\ \text{s}$$

Le lampadine restano accese meno di cinquanta microsecondi: un lampo. Con una resistenza di carico così piccola ($35\ \text{m}\Omega$) la corrente iniziale è enorme ($V_1/R_T = 164\ \text{A}$) e il condensatore si svuota quasi subito. È il funzionamento del flash di una macchina fotografica.

Verifica numerica

import numpy as np
R, V0, tau, dt, q1 = 110, 6, 0.03, 0.097, 1.44e-3
C = q1/(V0*(1 - np.exp(-dt/tau)))
print(C, tau/C - R)                       # 2.50e-4 F, 10 Ω
RL = 4.4e-5*0.02/1e-6; RT = 35.2e-3
print(RL, RL/RT)                          # 0.88 Ω, 25
V1, taup = q1/C, RT*C
Vmin = np.sqrt(1e-3*RL)
print(V1, taup, taup*np.log(V1/Vmin))     # 5.76 V, 8.8e-6 s, 4.6e-5 s

Risultati

Errori comuni

• Usare $C = q_1/V_0$: il condensatore non è carico del tutto dopo $3{,}2\tau$.
• Dimenticare la resistenza interna nella costante di tempo della carica.
• Usare la tensione su una sola lampadina divisa per $N$: in parallelo ogni lampadina ha tutta la tensione del condensatore.