Esercizio 23condensatore con strati di dielettrico che si scarica

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Testo (III appello, 23 giugno 2021, problema 1). Le armature di un condensatore piano sono dischi di raggio $r = 2\ \text{mm}$ ricoperti uniformemente da uno strato protettivo di materiale dielettrico con costante dielettrica relativa $\varepsilon_r = 3{,}3$ . Ogni strato di dielettrico occupa $1/5$ dello spazio tra le due armature.

a) Si determini la distanza $d$ tra le armature, sapendo che a regime il condensatore si carica con $q_0 = 10^{-11}\ \text{C}$ in corrispondenza di una tensione $V = 12\ \text{V}$ . b) Il condensatore carico viene scaricato per $t = 3\ \mu\text{s}$ attraverso una resistenza $R = 3{,}6\ \text{M}\Omega$ e successivamente isolato. Quanta carica $q$ permane sul condensatore? c) Di quanto varia la tensione ai capi del condensatore riempiendo la parte vuota con un gas isolante con $\varepsilon_{r1} = 1{,}8$ ? Quanto lavoro esterno $W$ è stato fatto per riempire di gas il condensatore?

Teoria: Dielettrici e polarizzazione, Capacità e condensatori, Carica e scarica di un condensatore.

Lo schema: tre strati in serie

Tra le armature ci sono tre strati paralleli alle armature: dielettrico (spessore $d/5$ ), vuoto ( $3d/5$ ), dielettrico ( $d/5$ ). Strati paralleli alle armature equivalgono a condensatori piani in serie: la stessa carica attraversa uno strato dopo l'altro (sulle superfici di separazione si possono immaginare armature sottilissime con cariche $\pm q$ ), e le tensioni si sommano.

Area delle armature: $A = \pi r^2 = \pi \cdot (2 \cdot 10^{-3})^2 = 1{,}26 \cdot 10^{-5}\ \text{m}^2$ .

a) Distanza tra le armature

Le tre capacità (condensatore piano con dielettrico):

$C_{\text{diel}} = \frac{\varepsilon_0\varepsilon_r A}{d/5} = \frac{5\varepsilon_0\varepsilon_r A}{d} \ \ (\text{due volte}), \qquad C_{\text{vuoto}} = \frac{\varepsilon_0 A}{3d/5} = \frac{5\varepsilon_0 A}{3d}$

In serie si sommano gli inversi:

$\frac{1}{C} = 2\cdot\frac{d}{5\varepsilon_0\varepsilon_r A} + \frac{3d}{5\varepsilon_0 A} = \frac{d}{5\varepsilon_0 A}\left(\frac{2}{\varepsilon_r} + 3\right) = \frac{d}{5\varepsilon_0 A}\cdot\frac{2 + 3\varepsilon_r}{\varepsilon_r}$

D'altra parte $C = q_0/V = 10^{-11}/12 = 8{,}33 \cdot 10^{-13}\ \text{F}$ . Ricavando $d$ :

$d = \frac{5\varepsilon_0 A}{C}\cdot\frac{\varepsilon_r}{2 + 3\varepsilon_r} = \frac{5 \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 1{,}26 \cdot 10^{-5}}{8{,}33 \cdot 10^{-13}}\cdot\frac{3{,}3}{11{,}9} = 0{,}185\ \text{mm}$

Controllo: senza dielettrico la stessa distanza darebbe $C_0 = \varepsilon_0 A/d = 6{,}0 \cdot 10^{-13}\ \text{F}$ ; con i due strati la capacità è un po' più grande ( $8{,}33 \cdot 10^{-13}$ ), ma molto meno di $\varepsilon_r C_0$ , perché il dielettrico occupa solo $2/5$ dello spessore.

b) Carica rimasta dopo la scarica

Il condensatore si scarica sulla resistenza $R$ con costante di tempo

$\tau = RC = 3{,}6 \cdot 10^6 \cdot 8{,}33 \cdot 10^{-13} = 3{,}0 \cdot 10^{-6}\ \text{s}$

esattamente il tempo di scarica. Dopo una costante di tempo resta la frazione $1/e$ della carica (scarica):

$q = q_0\,e^{-t/\tau} = 10^{-11} \cdot e^{-1} = 3{,}68 \cdot 10^{-12}\ \text{C}$

e la tensione è scesa a $V_1 = q/C = 3{,}68 \cdot 10^{-12}/8{,}33 \cdot 10^{-13} = 4{,}41\ \text{V}$ .

c) Il gas nella parte vuota

Nuova capacità. Lo strato centrale ora contiene un gas con $\varepsilon_{r1} = 1{,}8$ : la sua capacità si moltiplica per $1{,}8$ .

$\frac{1}{C'} = \frac{d}{5\varepsilon_0 A}\left(\frac{2}{\varepsilon_r} + \frac{3}{\varepsilon_{r1}}\right) \quad\Longrightarrow\quad C' = 1{,}32 \cdot 10^{-12}\ \text{F}$

Variazione di tensione. Il condensatore è isolato: resta costante la carica $q$ . La tensione scende:

$V_2 = \frac{q}{C'} = \frac{3{,}68 \cdot 10^{-12}}{1{,}32 \cdot 10^{-12}} = 2{,}78\ \text{V}, \qquad \Delta V = V_2 - V_1 = -1{,}63\ \text{V}$

Lavoro esterno. A carica costante, il lavoro fatto dall'esterno è la variazione dell'energia del condensatore (energia a carica costante):

$W = \Delta U = \frac{q^2}{2C'} - \frac{q^2}{2C} = \frac{(3{,}68 \cdot 10^{-12})^2}{2}\left(\frac{1}{1{,}32 \cdot 10^{-12}} - \frac{1}{8{,}33 \cdot 10^{-13}}\right) = -3{,}0 \cdot 10^{-12}\ \text{J}$

Il lavoro esterno è negativo: il gas viene "risucchiato" nel condensatore dal campo (come ogni dielettrico, vedi Dielettrici e polarizzazione), e chi lo introduce deve trattenerlo invece di spingerlo. L'energia elettrostatica persa ( $3\ \text{pJ}$ ) è il lavoro fatto dal campo sul gas.

Verifica numerica

python

import numpy as np
eps0 = 8.854e-12
r, er, q0, V, R, t, er1 = 2e-3, 3.3, 1e-11, 12, 3.6e6, 3e-6, 1.8
A = np.pi*r**2
C = q0/V
d = 5*eps0*A/C*er/(2 + 3*er)
q = q0*np.exp(-t/(R*C))
C1 = 1/(d/(5*eps0*A)*(2/er + 3/er1))
print(d, R*C, q)                                 # 1.85e-4 m, 3e-6 s, 3.68e-12 C
print(C1, q/C1 - q/C, q**2/(2*C1) - q**2/(2*C))  # 1.32e-12 F, -1.63 V, -3.0e-12 J

Risultati

grandezza	valore
distanza tra le armature	$d = 0{,}185\ \text{mm}$
capacità	$8{,}33 \cdot 10^{-13}\ \text{F}$
carica dopo la scarica	$3{,}68 \cdot 10^{-12}\ \text{C}$ (tensione $4{,}41\ \text{V}$ )
capacità con il gas	$1{,}32 \cdot 10^{-12}\ \text{F}$
variazione di tensione	$-1{,}63\ \text{V}$ (da $4{,}41$ a $2{,}78\ \text{V}$ )
lavoro esterno	$-3{,}0 \cdot 10^{-12}\ \text{J}$

Errori comuni

Mettere gli strati in parallelo: strati sovrapposti nella direzione del campo sono in serie.
Moltiplicare tutta la capacità per $\varepsilon_r$ : il dielettrico occupa solo due quinti dello spazio.
Usare $\frac12 CV^2$ con la tensione iniziale dopo aver inserito il gas: il condensatore è isolato, si conserva la carica, non la tensione.