Esercizio 1molecola esagonale con sei cariche

Testo (esercizio 1A del prof, preparazione al compitino). Una molecola planare ha la forma di un esagono di lato $\ell = 120\ \text{pm}$. Se ogni vertice dell'esagono ha una carica elettrica $q = |e|/6$, calcolare:

a) la carica totale; b) la forza tra due cariche di un lato, dicendo se essa è attrattiva o repulsiva; c) il campo elettrico al centro $O$ dell'esagono e in un generico punto $P$ situato sull'asse normale alla molecola; d) a che distanza dal centro il campo elettrico è massimo; e) quanto vale l'energia potenziale di un elettrone posto a $1\ \text{Å}$ dal centro.

Teoria: Carica elettrica e legge di CoulombLa carica elettrica è una proprietà della materia, si conserva ed è quantizzata (multipli di e). Due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con una forza proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della distanza.Carica elettrica e legge di Coulomb →, Campo elettrostatico e principio di sovrapposizioneIl campo elettrostatico E è la forza per unità di carica che una carica di prova sentirebbe in ogni punto; per più cariche i campi si sommano come vettori, e per distribuzioni continue si integra usando le densità di carica λ, σ, ρ.Campo elettrostatico e principio di sovrapposizione →, Lavoro elettrico e potenziale elettrostaticoLa forza elettrostatica è conservativa: il suo lavoro dipende solo dagli estremi e si scrive come differenza di energia potenziale. Il potenziale V è l'energia potenziale per unità di carica; per una carica puntiforme V = kq/r, e il campo è E = −grad V, perpendicolare alle superfici equipotenziali.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →.

Dati e unità

Il picometro è $1\ \text{pm} = 10^{-12}\ \text{m}$; l'ångströmUnità tipica delle distanze atomiche: 1 Å = 10^-10 m = 100 pm. Non è del SI ma si usa molto in chimica e fisica atomica. è $1\ \text{Å} = 10^{-10}\ \text{m}$. Le distanze vanno convertite prima di sostituire: la legge di Coulomb vuole i metri.

Una proprietà geometrica che serve sempre. In un esagono regolare la distanza di ogni vertice dal centro è uguale al lato: l'esagono si divide in sei triangoli equilateri con un vertice in $O$. Quindi tutte e sei le cariche stanno su una circonferenza di raggio $\ell$ intorno a $O$.

a) Carica totale

Le cariche sono sei, tutte uguali e dello stesso segno: la carica totale è la somma algebrica

$$Q = 6q = 6 \cdot \frac{e}{6} = e = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$$

La molecola ha in tutto la carica di un protone: è uno ione positivo con una carica elementare distribuita sui sei vertici. (Una frazione di $e$ su un singolo atomo non viola la quantizzazione della caricaOgni carica isolata è un multiplo intero di e. Qui e/6 è una carica media: l'elettrone mancante è condiviso dai sei atomi, ma la carica totale della molecola resta un multiplo intero di e.Carica elettrica e legge di Coulomb →: è una carica media, la carica totale resta $1 \cdot e$.)

b) Forza tra due cariche di un lato

Due vertici consecutivi distano $\ell$. Per la legge di CoulombF = k q1 q2 / r², diretta lungo la congiungente, repulsiva se le cariche hanno lo stesso segno.Carica elettrica e legge di Coulomb →:

$$F = k\,\frac{q^2}{\ell^2} = 8{,}99 \cdot 10^9 \cdot \frac{(2{,}67 \cdot 10^{-20})^2}{(1{,}20 \cdot 10^{-10})^2} = 8{,}99 \cdot 10^9 \cdot \frac{7{,}13 \cdot 10^{-40}}{1{,}44 \cdot 10^{-20}} = 4{,}45 \cdot 10^{-10}\ \text{N}$$

Le due cariche hanno lo stesso segno: la forza è repulsiva, diretta lungo il lato, verso l'esterno per ciascuna delle due.

$4{,}45 \cdot 10^{-10}\ \text{N}$ sembra minuscola, ma agisce su un atomo di massa $\sim 10^{-26}\ \text{kg}$: darebbe accelerazioni di $10^{16}\ \text{m/s}^2$. In una molecola vera queste repulsioni sono bilanciate dai legami chimici.

c) Campo al centro e sull'asse

Al centro

Ogni carica produce in $O$ un campo di modulo $kq/\ell^2$ diretto da quel vertice verso $O$ e oltre (cariche positive: il campo esce dalla carica). I vertici sono a coppie opposti rispetto al centro: il vertice 1 e il vertice 4, il 2 e il 5, il 3 e il 6. I due campi di una coppia hanno stesso modulo (stessa carica, stessa distanza) e versi opposti, quindi si annullano. Sommando le tre coppie:

$$\vec E(O) = 0$$

È il ragionamento di simmetria tipico del principio di sovrapposizioneIl campo di più cariche è la somma vettoriale dei campi delle singole cariche, ognuno calcolato come se le altre non ci fossero.Campo elettrostatico e principio di sovrapposizione →: prima di fare conti, si cerca quali contributi si cancellano.

Su un punto $P$ dell'asse

Si mette l'asse $z$ perpendicolare al piano della molecola, con origine in $O$; $P$ ha coordinata $z$. Ogni carica dista da $P$

$$r = \sqrt{\ell^2 + z^2}$$

(teorema di Pitagora: un cateto è il raggio $\ell$ nel piano, l'altro è l'altezza $z$). Il campo di ogni carica ha modulo $kq/r^2$ e si scompone in:

• una componente nel piano, diretta dal vertice verso l'asse: queste si annullano a coppie, come in $O$;
• una componente lungo $z$, uguale per tutte e sei: $\dfrac{kq}{r^2}\cos\theta$, dove $\theta$ è l'angolo tra la congiungente e l'asse, con $\cos\theta = z/r$.

Restano solo le sei componenti lungo $z$, che si sommano:

$$\vec E(z) = 6\,\frac{kq}{r^2}\,\frac{z}{r}\,\hat u_z = \frac{k\,Q\,z}{(\ell^2 + z^2)^{3/2}}\,\hat u_z$$

È la stessa formula dell'anello caricoSull'asse di un anello di raggio R e carica Q: E = kQz/(z²+R²)^(3/2), lungo l'asse.Campo di distribuzioni continue - filo, anello e disco → di raggio $\ell$: sull'asse ogni carica conta solo per la sua distanza e il suo angolo, e sei cariche uguali su una circonferenza danno lo stesso risultato di una carica $Q$ spalmata sulla circonferenza.

Controlli. Per $z = 0$ si ritrova $E = 0$ ✓. Per $z \gg \ell$ si può trascurare $\ell^2$: $E \approx kQ/z^2$, il campo di una carica puntiforme $Q$ ✓ (da lontano la molecola sembra un punto).

d) Distanza di campo massimo

$E(z)$ vale zero al centro, cresce, poi torna a zero all'infinito: in mezzo c'è un massimo. Si deriva rispetto a $z$ e si pone la derivata uguale a zero. Con la regola del quoziente (o del prodotto):

$$\frac{dE}{dz} = kQ\,\frac{(\ell^2 + z^2)^{3/2} - z \cdot \frac32 (\ell^2 + z^2)^{1/2} \cdot 2z}{(\ell^2 + z^2)^3} = kQ\,\frac{(\ell^2 + z^2) - 3z^2}{(\ell^2 + z^2)^{5/2}}$$

(si è raccolto $(\ell^2+z^2)^{1/2}$ al numeratore). Il denominatore è sempre positivo, quindi la derivata si annulla quando il numeratore è nullo:

$$\ell^2 - 2z^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad z_{\max} = \frac{\ell}{\sqrt 2} = \frac{120\ \text{pm}}{1{,}414} = 84{,}9\ \text{pm}$$

Per $z < z_{\max}$ il numeratore è positivo ($E$ cresce), per $z > z_{\max}$ negativo ($E$ cala): è davvero un massimo. Il valore massimo:

$$E_{\max} = \frac{kQ\,\ell/\sqrt2}{(3\ell^2/2)^{3/2}} = \frac{2\,kQ}{3\sqrt3\,\ell^2} = \frac{2 \cdot 8{,}99 \cdot 10^9 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19}}{5{,}196 \cdot 1{,}44 \cdot 10^{-20}} = 3{,}85 \cdot 10^{10}\ \text{V/m}$$

Un campo enorme: alle scale atomiche i campi elettrici sono di questo ordine, miliardi di volt al metro.

e) Energia potenziale di un elettrone a 1 Å dal centro

Il testo non dice in quale direzione: si prende il punto sull'asse, a $z_e = 1\ \text{Å} = 100\ \text{pm}$ (nel piano della molecola, a 100 pm dal centro, l'elettrone sarebbe quasi addosso a un vertice, che dista 120 pm). Il potenziale è uno scalare: si sommano i sei contributi $kq/r$, tutti uguali perché le sei cariche sono alla stessa distanza $r = \sqrt{\ell^2 + z_e^2}$:

$$V = 6\,\frac{kq}{r} = \frac{kQ}{\sqrt{\ell^2 + z_e^2}} = \frac{8{,}99 \cdot 10^9 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19}}{\sqrt{1{,}44 \cdot 10^{-20} + 1{,}00 \cdot 10^{-20}}} = \frac{1{,}44 \cdot 10^{-9}}{1{,}562 \cdot 10^{-10}} = 9{,}22\ \text{V}$$

Per il potenziale non serve scomporre niente: è il vantaggio di lavorare con una grandezza scalare (vedi potenziale di un sistema di caricheV(P) = somma di k qi / ri: si sommano numeri con segno, non vettori. Lo zero è all'infinito.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →).

L'energia potenziale dell'elettrone (carica $-e$) è

$$U = (-e)\,V = -1{,}60 \cdot 10^{-19} \cdot 9{,}22 = -1{,}48 \cdot 10^{-18}\ \text{J} = -9{,}22\ \text{eV}$$

Il segno meno dice che l'elettrone è legato: per portarlo all'infinito (dove $U = 0$) bisogna fornirgli almeno $9{,}22\ \text{eV}$. In elettronvolt il conto è immediato: un elettrone in un punto a potenziale $V$ volt ha energia $-V$ eV.

Verifica numerica

import numpy as np
e, k = 1.602e-19, 8.988e9
l, q = 120e-12, 1.602e-19/6
print(k*q**2/l**2)                     # forza su un lato: 4.45e-10 N
z = np.linspace(0, 5e-10, 200001)
E = k*e*z/(z**2 + l**2)**1.5
print(z[E.argmax()], E.max())          # 8.49e-11 m, 3.85e10 V/m
print(k*e/np.sqrt(l**2 + (1e-10)**2))  # 9.22 V

Risultati

Errori comuni

• Usare come distanza dal centro l'apotema invece del lato: nell'esagono regolare il vertice dista dal centro esattamente $\ell$.
• Sommare i moduli dei sei campi sull'asse: le componenti nel piano si cancellano, si sommano solo quelle lungo $z$ (il fattore $z/r$).
• Dimenticare il segno dell'elettrone nell'energia potenziale: $U = qV$ con $q = -e$.