Esercizio 4punti di campo nullo e potenziale nullo sull'asse

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Testo (esercizio di allenamento su campo e potenziale lungo una retta). Una carica $q_1 = +9\ \text{nC}$ è nell'origine di un asse $x$ e una carica $q_2 = -4\ \text{nC}$ è nel punto $x = d = 20\ \text{cm}$ .

a) Trovare i punti dell'asse $x$ (a distanza finita) in cui il campo elettrico è nullo. b) Trovare i punti dell'asse $x$ in cui il potenziale è nullo (zero all'infinito). c) Calcolare il potenziale nel punto di campo nullo e il campo nei punti di potenziale nullo, e commentare.

Teoria: Campo elettrostatico e principio di sovrapposizione, Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico.

Impostazione

Sull'asse $x$ entrambi i campi sono diretti lungo $x$ (le cariche stanno sull'asse, e il campo di una carica puntiforme è radiale). Conviene dividere l'asse in tre zone, perché il verso di ciascun campo cambia quando si passa da una parte all'altra di una carica:

zona	campo di $q_1 > 0$ (uscente)	campo di $q_2 < 0$ (entrante)
I: $x < 0$	verso sinistra	verso destra (verso $q_2$ )
II: $0 < x < d$	verso destra	verso destra (verso $q_2$ )
III: $x > d$	verso destra	verso sinistra (verso $q_2$ )

Il campo totale può annullarsi solo dove i due campi hanno versi opposti: nella zona I o nella zona III. Nella zona II puntano entrambi verso destra e si sommano, quindi lì il campo non è mai nullo.

a) Campo nullo

Nelle zone I e III serve anche che i due moduli siano uguali:

$\frac{k|q_1|}{r_1^2} = \frac{k|q_2|}{r_2^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{|q_1|}{|q_2|}} = \sqrt{\frac94} = \frac32$

dove $r_1$ e $r_2$ sono le distanze del punto dalle due cariche. Il punto deve essere più lontano dalla carica più grande ( $r_1 > r_2$ ), quindi più vicino a $q_2$ : questo esclude la zona I (lì si è più vicini a $q_1$ ) e lascia la zona III.

Nella zona III: $r_1 = x$ e $r_2 = x - d$ (entrambe positive). Quindi

$\frac{x}{x - d} = \frac32 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 3x - 3d \quad\Longrightarrow\quad x = 3d = 60\ \text{cm}$

Controllo: $r_1 = 60\ \text{cm}$ , $r_2 = 40\ \text{cm}$ , rapporto $3/2$ ✓. Moduli: $k \cdot 9\ \text{nC}/(0{,}6)^2 = k \cdot 25\ \text{nC/m}^2$ e $k \cdot 4\ \text{nC}/(0{,}4)^2 = k \cdot 25\ \text{nC/m}^2$ ✓.

Perché si è presa la radice positiva. Elevando al quadrato si perdono i segni: l'equazione $r_1^2/r_2^2 = 9/4$ ha anche la soluzione $r_1/r_2 = -3/2$ , che non ha senso per due distanze. Si lavora sempre con le distanze (positive) e si decide prima, con la tabella dei versi, in quale zona cercare.

b) Potenziale nullo

Il potenziale è la somma di due numeri con segno (potenziale di cariche puntiformi):

$V(x) = \frac{k q_1}{r_1} + \frac{k q_2}{r_2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{9}{r_1} = \frac{4}{r_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{r_1}{r_2} = \frac94$

Qui non c'è nessun vincolo di verso: il contributo di $q_1$ è positivo ovunque e quello di $q_2$ negativo ovunque, quindi possono compensarsi in qualunque zona, purché $r_1 = \frac94 r_2$ . Anche in questo caso il punto deve essere più vicino a $q_2$ .

Zona II ( $r_1 = x$ , $r_2 = d - x$ ): $4x = 9(d - x) \Rightarrow 13x = 9d \Rightarrow x = \dfrac{9}{13}d = 13{,}8\ \text{cm}$ .
Zona III ( $r_1 = x$ , $r_2 = x - d$ ): $4x = 9(x - d) \Rightarrow 5x = 9d \Rightarrow x = \dfrac95 d = 36\ \text{cm}$ .
Zona I ( $r_1 = -x$ , $r_2 = d - x$ ): $-4x = 9d - 9x \Rightarrow x = \dfrac95 d > 0$ , che non sta nella zona I: nessuna soluzione (lì si è sempre più vicini a $q_1$ ).

I punti di potenziale nullo sono due: $x = 13{,}8\ \text{cm}$ e $x = 36\ \text{cm}$ . Nello spazio tridimensionale l'insieme dei punti con $V = 0$ è una superficie chiusa (una sfera, per due cariche di segno opposto) che circonda $q_2$ e taglia l'asse proprio in questi due punti.

c) Confronto

Potenziale nel punto di campo nullo ( $x = 60\ \text{cm}$ ):

$V = 8{,}99 \cdot 10^9 \left(\frac{9 \cdot 10^{-9}}{0{,}60} - \frac{4 \cdot 10^{-9}}{0{,}40}\right) = 8{,}99 \cdot (15 - 10) = 44{,}9\ \text{V}$

Campo nei punti di potenziale nullo (componente $x$ , con i versi della tabella):

$x = 13{,}8\ \text{cm}$ (zona II, i due campi si sommano verso destra): $E_x = k\left(\frac{9 \cdot 10^{-9}}{0{,}1385^2} + \frac{4 \cdot 10^{-9}}{0{,}0615^2}\right) = 8{,}99 \cdot 10^9 \cdot (4{,}69 + 10{,}56) \cdot 10^{-7} = 1{,}37 \cdot 10^4\ \text{V/m}$
$x = 36\ \text{cm}$ (zona III, versi opposti): $E_x = k\left(\frac{9 \cdot 10^{-9}}{0{,}36^2} - \frac{4 \cdot 10^{-9}}{0{,}16^2}\right) = 8{,}99 \cdot 10^9 \cdot (6{,}94 - 15{,}63) \cdot 10^{-8} = -780\ \text{V/m}$

Commento. Il campo nullo e il potenziale nullo cadono in punti diversi, e in nessuno dei due l'altra grandezza è zero. Il motivo è che il campo è la derivata del potenziale cambiata di segno, $E_x = -dV/dx$ (dal potenziale al campo): $E = 0$ dove $V(x)$ ha un massimo o un minimo, $V = 0$ dove il grafico di $V$ attraversa l'asse. Nel grafico qui sotto, nella zona III il potenziale scende da $-\infty$ (vicino a $q_2$ ), attraversa lo zero a $36\ \text{cm}$ , raggiunge un massimo di $44{,}9\ \text{V}$ a $60\ \text{cm}$ (campo nullo) e poi torna a zero all'infinito.

Grafico interattivo: Potenziale V(x) in volt sull'asse, x in metri, zona III (x > d = 0,2 m): zero a 0,36 m, massimo 44,9 V a 0,60 m dove E = 0

Il segno di $E_x$ si legge dalla pendenza: a $36\ \text{cm}$ il potenziale cresce, quindi $E_x = -dV/dx < 0$ (punta verso $q_2$ ) ✓; a $13{,}8\ \text{cm}$ il potenziale scende verso $-\infty$ andando verso $q_2$ , quindi $E_x > 0$ ✓.

Verifica numerica

python

k = 8.99e9
q1, q2, d = 9e-9, -4e-9, 0.20
V  = lambda x: k*q1/abs(x) + k*q2/abs(x - d)
Ex = lambda x: k*q1*(x)/abs(x)**3 + k*q2*(x - d)/abs(x - d)**3
print(Ex(3*d), V(3*d))                  # 0, 44.9 V
for x in (9*d/13, 9*d/5):
    print(x, V(x), Ex(x))               # V = 0; E = 1.37e4 e -780 V/m

Risultati

grandezza	valore
punto di campo nullo	$x = 3d = 60\ \text{cm}$ (unico)
punti di potenziale nullo	$x = 13{,}8\ \text{cm}$ e $x = 36\ \text{cm}$
$V$ dove $E = 0$	$44{,}9\ \text{V}$
$E_x$ dove $V = 0$	$1{,}37 \cdot 10^4\ \text{V/m}$ e $-780\ \text{V/m}$

Errori comuni

Cercare il campo nullo tra due cariche di segno opposto: lì i campi puntano nello stesso verso e si sommano.
Cercarlo dalla parte della carica più grande: il punto di equilibrio sta oltre la carica più piccola, dove la sua vicinanza compensa la carica minore.
Pensare che $V = 0$ implichi $E = 0$ : il potenziale è definito a meno di una costante, il campo no; i due zeri non hanno niente a che vedere l'uno con l'altro.