Energia elettrostatica e forza tra le armature

Segue Capacità e condensatoriLa capacità C = Q/V misura quanta carica un conduttore (o una coppia di conduttori) accumula per ogni volt. Condensatore piano C = ε0S/d, cilindrico C = 2πε0h/ln(R2/R1), sferico C = 4πε0R1R2/(R2−R1). In parallelo le capacità si sommano, in serie si sommano gli inversi.Capacità e condensatori →. Seguito: Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione →. Esercizi: Esercizio 16 · condensatore a semicilindri, Esercizio 17 · tubo a U in due condensatori cilindrici, Esercizio 18 · energia di tre sfere concentriche.

Energia di un condensatore carico

Un condensatore si carica spostando carica da un'armatura all'altra (è quello che fa un generatore). All'inizio è facile, poi sempre più difficile: man mano che le armature si caricano, la differenza di potenziale cresce e ogni nuova carica va spinta contro un campo più intenso.

Quando sulle armature c'è già la carica $q$ (e la tensione è $v = q/C$), per spostare un'altra carica $dq$ dall'armatura negativa alla positiva serve il lavoro

$$dW = v\,dq = \frac{q}{C}\,dq$$

(è il lavoro per portare $dq$ attraverso la differenza di potenzialePortare una carica dq attraverso una differenza di potenziale v costa il lavoro v dq: è la definizione stessa di potenziale come energia per unità di carica.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico → $v$). Sommando da $q = 0$ a $q = Q$:

$$W = \int_0^Q \frac{q}{C}\,dq = \frac{Q^2}{2C}$$

Questo lavoro non va perso: resta immagazzinato come energia potenziale elettrostatica del condensatore, che si può recuperare scaricandolo (per esempio nel flash di una macchina fotografica). Usando $Q = CV$ si hanno tre forme equivalenti:

$$\boxed{U = \frac{Q^2}{2C} = \frac12 C V^2 = \frac12 Q V}$$

Da dove viene l'$\frac12$. Se tutta la carica $Q$ fosse spostata attraverso la tensione finale $V$, il lavoro sarebbe $QV$. Ma la tensione cresce da $0$ a $V$ durante la carica, e in media vale $V/2$: per questo $U = \frac12 QV$.

Quale formula usare. Si sceglie quella con la grandezza che resta costante nel processo:

• condensatore isolato (staccato dal generatore): resta costante $Q$, si usa $U = Q^2/2C$;
• condensatore collegato a un generatore: resta costante $V$, si usa $U = \frac12 CV^2$.

Se cambia la capacità (si allontanano le armature, si inserisce un isolante), le due formule danno andamenti opposti: a $Q$ costante, diminuendo $C$ l'energia aumenta; a $V$ costante, diminuisce.

Densità di energia del campo

Nel condensatore piano $C = \varepsilon_0 S/d$ e $V = Ed$:

$$U = \frac12\,\frac{\varepsilon_0 S}{d}\,(Ed)^2 = \frac12\varepsilon_0 E^2 \cdot (Sd)$$

$Sd$ è il volume tra le armature, cioè il volume in cui c'è il campo. Quindi l'energia si può pensare distribuita nel campo, con densità (energia per unità di volume)

$$\boxed{u = \frac12\varepsilon_0 E^2} \qquad [\text{J/m}^3]$$

Il risultato vale in generale, non solo per il condensatore piano: l'energia elettrostatica di qualunque sistema di cariche è $U = \int \frac12\varepsilon_0 E^2\,d\tau$ esteso a tutto lo spazio dove c'è campo. Per campi non uniformi si integra con elementi di volume adatti alla simmetria (gusci sferici $4\pi r^2 dr$, gusci cilindrici $2\pi r h\,dr$).

Esempio: sfera conduttrice di raggio $R$ e carica $Q$. Il campo c'è solo fuori, $E = kQ/r^2$:

$$U = \int_R^\infty \frac12\varepsilon_0\left(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\right)^2 4\pi r^2\,dr = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\int_R^\infty \frac{dr}{r^2} = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}$$

che coincide con $Q^2/2C$ per $C = 4\pi\varepsilon_0 R$ ✓. Le due descrizioni (energia delle cariche, energia del campo) danno lo stesso numero; la seconda è quella che servirà per le onde elettromagnetiche, dove il campo esiste anche lontano dalle cariche.

Ordine di grandezza. Nell'aria il campo non può superare circa $3 \cdot 10^6\ \text{V/m}$ (oltre si innesca la scarica): la densità massima è $u = \frac12 \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 9 \cdot 10^{12} \approx 40\ \text{J/m}^3$. Pochissimo, rispetto ai $10^7\ \text{J/m}^3$ di una batteria: per questo i condensatori servono a dare energia in fretta, non a conservarne tanta.

Energia nei collegamenti

In parallelo e in serie l'energia totale è la somma delle energie dei singoli condensatori, ed è anche uguale a quella del condensatore equivalente: $U = \frac12 C_{\text{eq}} V^2$ (con $V$ tensione ai capi del gruppo). È un buon controllo dei conti.

Il generatore fornisce il doppio

Si carica un condensatore scarico collegandolo a un generatore di tensione $V$. Il generatore sposta la carica $Q = CV$ sempre alla tensione $V$, quindi compie il lavoro

$$W_{\text{gen}} = QV = CV^2$$

ma nel condensatore finisce solo $U = \frac12 CV^2$. L'altra metà viene dissipata come calore nei fili e nelle resistenze del circuito (effetto Joule durante la caricaNel circuito RC l'energia dissipata nella resistenza durante tutta la carica vale CV²/2, qualunque sia R.Carica e scarica di un condensatore →), qualunque sia il loro valore. Lo stesso vale per ogni variazione a tensione costante: se la capacità passa da $C$ a $C'$, il generatore fornisce $W_{\text{gen}} = (C' - C)V^2$ e l'energia del condensatore cambia di $\Delta U = \frac12(C' - C)V^2$, cioè la metà.

Forza tra le armature

Le armature hanno cariche opposte e si attraggono. La forza si ricava dall'energia con il principio dei lavori virtuali: si immagina di spostare un'armatura di $dx$ e si guarda come cambia l'energia.

A carica costante (condensatore isolato): l'unica energia in gioco è quella del condensatore, e la forza è $F = -\dfrac{dU}{dx}$, come per ogni forza conservativaLa forza è meno la derivata dell'energia potenziale rispetto allo spostamento.Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico →. Nel condensatore piano con distanza $x$:

$$U = \frac{Q^2}{2C} = \frac{Q^2 x}{2\varepsilon_0 S} \quad\Longrightarrow\quad F = -\frac{dU}{dx} = -\frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S}$$

Il segno meno vuol dire che la forza tende a ridurre $x$: attrazione. In modulo

$$\boxed{F = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 S} = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}\,S = \frac12\varepsilon_0 E^2\,S}$$

Perché non $QE$? Ogni armatura sente solo il campo dell'altra, che è $\sigma/2\varepsilon_0$, metà del campo totale $E = \sigma/\varepsilon_0$: quindi $F = Q \cdot \frac{E}{2}$. È la stessa pressione elettrostatica $\sigma^2/2\varepsilon_0$ della superficie di un conduttoreSulla superficie di un conduttore la carica sente il campo delle altre cariche, σ/2ε0, e quindi una pressione verso l'esterno σ²/2ε0.Conduttori in equilibrio elettrostatico →, che qui tira un'armatura verso l'altra. Si noti che la pressione è uguale alla densità di energia $u$.

A tensione costante (collegato al generatore) il conto diretto $-dU/dx$ darebbe il segno sbagliato, perché il generatore fornisce energia durante lo spostamento. Il risultato corretto è $F = +\dfrac{dU}{dx}\Big|_V = \dfrac12 V^2\dfrac{dC}{dx}$, che per il condensatore piano dà di nuovo $F = \frac{\varepsilon_0 S V^2}{2x^2}$ attrattiva: la forza dipende solo dalla situazione istantanea (cariche e campi), non da chi tiene ferma la tensione.

Esempio. $S = 100\ \text{cm}^2$, $d = 1\ \text{mm}$, $V = 1000\ \text{V}$: $E = 10^6\ \text{V/m}$, $F = \frac12 \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{12} \cdot 10^{-2} = 0{,}044\ \text{N}$. Su questo principio funzionano gli elettrometri assolutiStrumenti che misurano una tensione bilanciando la forza tra due armature con un peso noto: dalla forza si risale a E e quindi a V..

Riepilogo

Errori comuni

• Dimenticare l'$\frac12$ e scrivere $U = QV$.
• Usare $U = \frac12 CV^2$ per un condensatore isolato in cui cambia la capacità: lì $V$ cambia, è $Q$ che resta fissa.
• Calcolare la forza come $QE$: ogni armatura sente solo metà del campo.
• Pensare che il generatore fornisca esattamente l'energia immagazzinata: ne fornisce il doppio, metà va in calore.