Esercizio 57tre polarizzatori e riflessione della componente sigma

Testo (III appello, 30 giugno 2026, problema 3). Un fascio di luce naturale che viaggia in direzione $x$ con intensità $I_0$ passa da un sistema di tre polarizzatori $P_1$, $P_2$, $P_3$ tali che gli assi ottici siano, rispettivamente: 1) parallelo all'asse $y$; 2) inclinato di $\alpha = 60°$ rispetto alla direzione positiva di $y$ (e di $30°$ rispetto alla direzione positiva di $z$); 3) parallelo all'asse $z$. L'ampiezza del campo magnetico della luce uscente da $P_3$ è $B_3 = 300\ \text{nT}$. Calcolare:

1. l'intensità iniziale del fascio, $I_0$;
2. le componenti del campo elettrico tra il secondo e il terzo polarizzatore, $E_x$, $E_y$, $E_z$.

Il fascio uscente viene fatto incidere su una lastra trasparente con indice di rifrazione $n = 1{,}2$ e con un angolo di incidenza $\theta = 45°$ rispetto alla normale (sia il fascio sia la normale stanno nel piano $xy$).

3. Quanta percentuale del fascio riflesso è polarizzata nel piano π?

Teoria: Polarizzatori e legge di MalusUn polarizzatore ideale lascia passare solo la componente del campo elettrico parallela al suo asse ottico (di trasmissione) e assorbe l'altra. Se la luce incidente è polarizzata linearmente e forma l'angolo θ con l'asse, esce E0 cos θ e l'intensità diventa I = I0 cos²θ (legge di Malus); la luce esce polarizzata lungo l'asse. La luce naturale perde sempre metà dell'intensità: I = I0/2. Due polarizzatori incrociati non lasciano passare nulla, ma inserendone un terzo a 45° in mezzo passa I0/8. Con una miscela di luce polarizzata e naturale: I = Inat/2 + Ipol cos²θ.Polarizzatori e legge di Malus →, Coefficienti di Fresnel e angolo di BrewsterIl campo elettrico dell'onda si scompone nella componente σ (perpendicolare al piano di incidenza) e π (nel piano). I coefficienti di Fresnel danno i rapporti tra le ampiezze: rσ = −sin(θi−θt)/sin(θi+θt), rπ = tan(θi−θt)/tan(θi+θt); a incidenza normale r = (n1−n2)/(n1+n2). La frazione di potenza riflessa è R = r², quella trasmessa T = 1 − R; aria-vetro a incidenza normale R = 4%. L'intensità trasmessa è T·Ii·cosθi/cosθt perché il fascio cambia sezione. Riflettendo su un mezzo più denso l'onda si inverte (sfasamento π). All'angolo di Brewster tan θB = n2/n1 (θi + θt = 90°) la componente π non viene riflessa: la luce riflessa è tutta polarizzata σ.Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster →.

1. Intensità iniziale

Seguire la luce polarizzatore per polarizzatore.

• $P_1$ (asse $y$): la luce è naturale, passa metà. $I_1 = I_0/2$, campo lungo $y$.
• $P_2$ (asse a $60°$ da $y$): MalusLuce polarizzata che forma l'angolo θ con l'asse: passa I cos²θ, e il campo esce lungo l'asse.Polarizzatori e legge di Malus → con l'angolo $\alpha$ tra il campo ($y$) e l'asse. $I_2 = I_1\cos^2\alpha$.
• $P_3$ (asse $z$): ora il campo è lungo l'asse di $P_2$, che forma con $z$ l'angolo $90° - \alpha = 30°$. $I_3 = I_2\cos^2(90° - \alpha) = I_2\sin^2\alpha$.

In totale:

$$I_3 = \frac{I_0}{2}\cos^2\alpha\,\sin^2\alpha = \frac{I_0}{2} \cdot \frac14 \cdot \frac34 = \frac{3}{32}\,I_0 = 0{,}094\,I_0$$

Senza $P_2$ ($P_1$ e $P_3$ incrociati) non passerebbe niente.

Dall'ultimo campo all'intensità. In uscita $E_3 = cB_3 = 3 \cdot 10^8 \cdot 300 \cdot 10^{-9} = 90\ \text{V/m}$ e

$$I_3 = \frac12\varepsilon_0 c\,E_3^2 = \frac12\varepsilon_0 c^3B_3^2 = \frac12 \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot 90^2 = 10{,}76\ \text{W/m}^2$$

Quindi

$$I_0 = \frac{32}{3}\,I_3 = \frac{\varepsilon_0 c^3B_3^2}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = 114{,}7\ \text{W/m}^2$$

2. Campo tra $P_2$ e $P_3$

Modulo. Il campo uscente da $P_3$ è la proiezione di $\vec E_2$ sull'asse $z$: $E_3 = E_2\cos 30° = E_2\sin\alpha$, quindi

$$E_2 = \frac{E_3}{\sin\alpha} = \frac{90}{0{,}866} = 103{,}9\ \text{V/m}$$

(controllo: $I_2 = I_0/2 \cdot \cos^2 60° = 14{,}3\ \text{W/m}^2$ e $\sqrt{2I_2/\varepsilon_0c} = 103{,}9\ \text{V/m}$).

Componenti. Il campo è lungo l'asse di $P_2$, nel piano $yz$ a $60°$ da $y$ e $30°$ da $z$; è trasversale, quindi niente componente lungo la propagazione $x$:

$$E_x = 0, \qquad E_y = E_2\cos 60° = 52\ \text{V/m}, \qquad E_z = E_2\cos 30° = 90\ \text{V/m}$$

Le due componenti hanno lo stesso segno (l'asse sta nel primo quadrante del piano $yz$); il campo oscilla, quindi istante per istante sono entrambe positive o entrambe negative.

3. Componente π del fascio riflesso

Che polarizzazione arriva sulla lastra. Dopo $P_3$ il campo è lungo $z$. Il piano di incidenza è il piano $xy$ (contiene il fascio e la normale), quindi $z$ è perpendicolare al piano di incidenza: il fascio è tutto σ.

Riflessione. La riflessione non mescola σ e π: ciascuna componente si riflette con il proprio coefficiente. Se la componente π incidente è nulla, anche quella riflessa è nulla:

$$R_\pi\ (\text{percentuale del riflesso polarizzata \pi }) = 0\%$$

Il fascio riflesso è polarizzato σ al 100%.

Quanto viene riflesso. Per completezza (la soluzione ufficiale dà punteggio parziale anche a questa lettura del testo): Snell dà $\theta_t = \arcsin(\sin 45°/1{,}2) = 36{,}1°$ e

$$R_\sigma = \frac{\sin^2(45° - 36{,}1°)}{\sin^2(45° + 36{,}1°)} = 0{,}0245$$

cioè si riflette il $2{,}45\%$ del fascio, $0{,}26\ \text{W/m}^2$, tutto polarizzato σ.

Verifica numerica

import numpy as np
eps0, c = 8.854e-12, 3e8
a, B3 = np.radians(60), 300e-9
E3 = c*B3; I3 = 0.5*eps0*c*E3**2
I0 = I3/(0.5*np.cos(a)**2*np.sin(a)**2)
print(E3, I3, I0)                                # 90 V/m, 10.76 W/m^2, 114.7 W/m^2
E2 = E3/np.sin(a)
print(E2, E2*np.cos(a), E2*np.sin(a))            # 103.9, 52.0, 90.0 V/m
th = np.radians(45); tt = np.arcsin(np.sin(th)/1.2)
print(np.degrees(tt), (np.sin(th - tt)/np.sin(th + tt))**2)   # 36.1 gradi, 0.0245

Risultati

Errori comuni

• Usare l'angolo tra $P_1$ e $P_3$ per l'ultimo passaggio: conta l'angolo tra $P_2$ e $P_3$.
• Dare una componente $E_x$: l'onda viaggia lungo $x$ ed è trasversale.
• Pensare che la riflessione crei una componente π: σ e π si riflettono indipendentemente.