Esercizio 52lastra all'angolo di Brewster e luce riflessa analizzata con un polarizzatore

Testo (I appello, 28 gennaio 2026, problema 3). Un fascio di luce naturale monocromatica, sottile, con intensità $I = 180\ \text{W/m}^2$ incide normalmente su una lastra di vetro con indice di rifrazione $n = 1{,}4$. Si trovi:

1. l'intensità della luce riflessa $I_r$ e quanto vale in percentuale.

Se ora si inclina l'angolo di incidenza di $\vartheta_i$ e si analizza la luce riflessa con un polarizzatore, si nota una variazione dell'intensità che attraversa il polarizzatore che va come $I_P(\alpha) = I_0\sin^2\alpha$, in cui $\alpha$ è l'angolo tra il piano di incidenza e l'asse del polarizzatore. Trovare:

2. l'angolo di incidenza $\vartheta_i$;
3. l'ampiezza dei campi elettrico e magnetico della componente riflessa, $E_r$ e $B_r$.

Teoria: Coefficienti di Fresnel e angolo di BrewsterIl campo elettrico dell'onda si scompone nella componente σ (perpendicolare al piano di incidenza) e π (nel piano). I coefficienti di Fresnel danno i rapporti tra le ampiezze: rσ = −sin(θi−θt)/sin(θi+θt), rπ = tan(θi−θt)/tan(θi+θt); a incidenza normale r = (n1−n2)/(n1+n2). La frazione di potenza riflessa è R = r², quella trasmessa T = 1 − R; aria-vetro a incidenza normale R = 4%. L'intensità trasmessa è T·Ii·cosθi/cosθt perché il fascio cambia sezione. Riflettendo su un mezzo più denso l'onda si inverte (sfasamento π). All'angolo di Brewster tan θB = n2/n1 (θi + θt = 90°) la componente π non viene riflessa: la luce riflessa è tutta polarizzata σ.Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster →, Polarizzatori e legge di MalusUn polarizzatore ideale lascia passare solo la componente del campo elettrico parallela al suo asse ottico (di trasmissione) e assorbe l'altra. Se la luce incidente è polarizzata linearmente e forma l'angolo θ con l'asse, esce E0 cos θ e l'intensità diventa I = I0 cos²θ (legge di Malus); la luce esce polarizzata lungo l'asse. La luce naturale perde sempre metà dell'intensità: I = I0/2. Due polarizzatori incrociati non lasciano passare nulla, ma inserendone un terzo a 45° in mezzo passa I0/8. Con una miscela di luce polarizzata e naturale: I = Inat/2 + Ipol cos²θ.Polarizzatori e legge di Malus →.

1. Riflessione a incidenza normale

A incidenza normale σ e π si comportano allo stesso modo, quindi non importa che la luce sia naturale. Il coefficiente di riflessioneR = ((n1 − n2)/(n1 + n2))² a incidenza normale: frazione della potenza incidente che viene riflessa.Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster → dall'aria ($n_1 = 1$) al vetro è

$$R = \left(\frac{n - 1}{n + 1}\right)^2 = \left(\frac{0{,}4}{2{,}4}\right)^2 = \frac{1}{36} = 0{,}0278$$

Il fascio riflesso torna indietro con la stessa sezione, quindi

$$I_r = R\,I = \frac{180}{36} = 5\ \text{W/m}^2 \qquad (2{,}78\%)$$

2. Che cosa dice il polarizzatore

Leggere la legge $I_P(\alpha) = I_0\sin^2\alpha$. L'angolo $\alpha$ è misurato dal piano di incidenza.

• Con l'asse del polarizzatore nel piano di incidenza ($\alpha = 0$) non passa niente: la luce riflessa non ha componente π.
• Con l'asse perpendicolare al piano di incidenza ($\alpha = 90°$) passa tutto, $I_P = I_0$: la luce riflessa è tutta σ.

Infatti per la legge di MalusLuce polarizzata linearmente che forma l'angolo θ con l'asse del polarizzatore: passa I0 cos²θ.Polarizzatori e legge di Malus → una luce polarizzata perpendicolarmente al piano di incidenza forma con l'asse l'angolo $90° - \alpha$, e $\cos^2(90° - \alpha) = \sin^2\alpha$.

Quando succede. La luce incidente è naturale (metà σ e metà π); quella riflessa è tutta σ solo se $R_\pi = 0$, cioè all'angolo di Brewster:

$$\vartheta_i = \vartheta_B = \arctan n = \arctan 1{,}4 = 54{,}5°$$

3. Campi della componente riflessa

Angolo di trasmissione. All'angolo di Brewster raggio riflesso e trasmesso sono perpendicolari: $\vartheta_t = 90° - \vartheta_B = 35{,}5°$ (lo stesso si ottiene con Snell, $\arcsin(\sin 54{,}5°/1{,}4)$).

Intensità riflessa. Della luce naturale metà dell'intensità è σ, cioè $I/2 = 90\ \text{W/m}^2$, e se ne riflette la frazione

$$R_\sigma = \frac{\sin^2(\vartheta_i - \vartheta_t)}{\sin^2(\vartheta_i + \vartheta_t)} = \frac{\sin^2(18{,}9°)}{\sin^2(90°)} = 0{,}1052$$

Il fascio riflesso ha la stessa sezione di quello incidente (stesso angolo con la superficie), quindi

$$I_r = \frac{I}{2}\,R_\sigma = 90 \cdot 0{,}1052 = 9{,}47\ \text{W/m}^2$$

È anche l'intensità massima $I_0$ che attraversa il polarizzatore (ideale, con asse parallelo al campo). Rispetto al punto 1 la riflessione è quasi raddoppiata: $R_\sigma$ cresce con l'angolo.

Campi. Dall'intensità nel vuotoI = E0²/(2Z0), con Z0 = 377 Ω l'impedenza del vuoto.Principio di Huygens, riflessione e rifrazione →:

$$E_r = \sqrt{2Z_0I_r} = \sqrt{2 \cdot 376{,}7 \cdot 9{,}47} = 84{,}5\ \text{V/m}, \qquad B_r = \frac{E_r}{c} = \frac{84{,}5}{3 \cdot 10^8} = 0{,}28\ \mu\text{T}$$

Il campo elettrico riflesso è perpendicolare al piano di incidenza (parallelo alla superficie della lastra), quello magnetico sta nel piano di incidenza, perpendicolare al raggio riflesso.

Verifica numerica

import numpy as np
Z0, c, n, I = 376.73, 2.998e8, 1.4, 180
R = ((n - 1)/(n + 1))**2
print(R, R*I)                                    # 0.0278, 5.0 W/m^2
ti = np.arctan(n); tt = np.pi/2 - ti
print(np.degrees(ti), np.degrees(tt))            # 54.46, 35.54 gradi
Rs = (np.sin(ti - tt)/np.sin(ti + tt))**2
Ir = I/2*Rs; Er = np.sqrt(2*Z0*Ir)
print(Rs, Ir, Er, Er/c)                          # 0.1052, 9.47 W/m^2, 84.5 V/m, 2.82e-7 T

Risultati

Errori comuni

• Dimenticare il fattore $\frac12$: la luce naturale ha solo metà dell'intensità nella componente σ, l'unica che si riflette a Brewster.
• Leggere $\sin^2\alpha$ come polarizzazione π: con $\alpha$ misurato dal piano di incidenza, $I_P = 0$ per $\alpha = 0$ significa che la componente nel piano manca.