Esercizio 26elica in un campo magnetico uniforme

Testo (V appello, 16 settembre 2025, problema 2). Una particella carica di massa $m = 7{,}34 \cdot 10^{-19}\ \text{kg}$ è in moto con velocità uniforme $\vec v = v_x\hat u_x + v_y\hat u_y$, con $v_x = 1\ \text{m/s}$ e $v_y = 5\ \text{m/s}$. Al tempo $t_0 = 0$ entra in una zona con campo magnetico uniforme $\vec B = (18\ \text{T})\,\hat u_x$, percorrendo quindi un'elica il cui asse è la direzione del campo. La particella percorre un tratto parallelo all'asse $x$ di lunghezza $L = 2\ \text{m}$ compiendo esattamente $N = 5$ rotazioni attorno a tale asse. Calcolare:

1. la distanza $r$ della particella dall'asse $x$;
2. il numero netto $n_e$ di cariche elementari ($e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$) contenute nella particella;
3. l'energia cinetica $E_k$ della particella alla fine del tratto $L$;
4. quale angolo spazza la particella nel piano $yz$ in $0{,}23\ \text{s}$.

Teoria: Campo magnetico e forza di LorentzIl campo magnetico B si definisce dalla forza che agisce su una carica in moto: F = q v × B (forza di Lorentz), perpendicolare alla velocità, quindi non compie lavoro e non cambia l'energia cinetica. Una carica con velocità perpendicolare a B percorre una circonferenza di raggio r = mv/qB con pulsazione ω = qB/m; con una componente parallela il moto è un'elica. Applicazioni: selettore di velocità, spettrometro di massa.Campo magnetico e forza di Lorentz →.

Scomporre la velocità

Il campo è lungo $x$. La velocità ha:

• una componente parallela al campo, $v_x = 1\ \text{m/s}$: su di essa la forza di Lorentz non agisce ($\hat u_x \times \hat u_x = 0$), quindi resta costante e la particella avanza lungo $x$ di moto uniforme;
• una componente perpendicolare, $v_y = 5\ \text{m/s}$: produce una forza $q\,v_y\hat u_y \times B\hat u_x = -qv_yB\,\hat u_z$, perpendicolare alla velocità, che fa girare la particella in cerchio nel piano $yz$ con velocità costante in modulo $v_\perp = 5\ \text{m/s}$.

La combinazione è un'elicaVelocità obliqua rispetto a B: la componente parallela resta costante, quella perpendicolare produce un moto circolare di raggio m v⊥/(qB). La traiettoria è un'elica attorno alla direzione del campo.Campo magnetico e forza di Lorentz → con asse parallelo a $x$.

1) Distanza dall'asse

Periodo. Il tratto $L$ lungo $x$ viene percorso a velocità costante $v_x$ nel tempo $L/v_x = 2\ \text{s}$, durante il quale la particella fa $N = 5$ giri. Un giro dura

$$T = \frac{L}{N v_x} = \frac{2}{5 \cdot 1} = 0{,}4\ \text{s}$$

(il passo dell'elica è $v_x T = 0{,}4\ \text{m}$).

Raggio. Nel piano $yz$ la particella percorre una circonferenza di raggio $r$ a velocità $v_y$, quindi $T = 2\pi r/v_y$:

$$r = \frac{T v_y}{2\pi} = \frac{0{,}4 \cdot 5}{2\pi} = 0{,}318\ \text{m}$$

Il testo chiama "distanza dall'asse $x$" la distanza dall'asse attorno a cui la particella gira (una retta parallela a $x$), cioè il raggio dell'elica.

2) Carica della particella

Il raggio del moto circolare è anche $r = \dfrac{m v_\perp}{qB}$ (forza di Lorentz uguale alla forza centripeta, $qv_yB = mv_y^2/r$). Ricavando $q$:

$$q = \frac{m v_y}{rB} = \frac{7{,}34 \cdot 10^{-19} \cdot 5}{0{,}318 \cdot 18} = 6{,}4 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$$

$$n_e = \frac{q}{e} = \frac{6{,}4 \cdot 10^{-19}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} = 4$$

Lo stesso risultato si ottiene dalla pulsazione di ciclotrone $\omega = qB/m$, con $\omega = 2\pi/T = 15{,}7\ \text{rad/s}$: $q = m\omega/B$. Il fatto che venga un numero intero è un buon controllo.

3) Energia cinetica alla fine

La forza magnetica non compie lavoroF = q v × B è sempre perpendicolare alla velocità: la potenza F·v è nulla e l'energia cinetica non cambia.Campo magnetico e forza di Lorentz →: l'energia cinetica resta quella iniziale.

$$E_k = \tfrac12 m(v_x^2 + v_y^2) = \tfrac12 \cdot 7{,}34 \cdot 10^{-19} \cdot 26 = 9{,}54 \cdot 10^{-18}\ \text{J}$$

4) Angolo spazzato in $0{,}23\ \text{s}$

Nel piano $yz$ il moto è circolare uniforme con pulsazione $\omega = 2\pi/T = 15{,}7\ \text{rad/s}$:

$$\Delta\theta = \omega\,\Delta t = \frac{2\pi}{0{,}4} \cdot 0{,}23 = 3{,}61\ \text{rad} = 207°$$

Poco più di mezzo giro (che richiederebbe $0{,}2\ \text{s}$).

Verifica numerica

import numpy as np
m, vx, vy, B, L, N = 7.34e-19, 1, 5, 18, 2, 5
T = L/(N*vx); r = T*vy/(2*np.pi); q = m*vy/(r*B)
print(T, r, q, q/1.6e-19)                    # 0.4 s, 0.318 m, 6.4e-19 C, 4
print(0.5*m*(vx**2 + vy**2))                 # 9.54e-18 J
print(np.degrees(2*np.pi/T*0.23))            # 207°

Risultati

Errori comuni

• Usare la velocità totale $\sqrt{26}\ \text{m/s}$ nel raggio: conta solo la componente perpendicolare al campo.
• Ricavare il periodo dalla velocità perpendicolare senza il dato del numero di giri: qui il periodo si ottiene dal moto lungo $x$, l'unica informazione temporale disponibile.
• Pensare che l'energia cambi perché la traiettoria si curva.