Onde elettromagnetiche

Segue Corrente di spostamento ed equazioni di MaxwellLa legge di Ampère non vale per correnti non stazionarie (condensatore in carica). Maxwell aggiunse la corrente di spostamento i_s = ε0 dΦ(E)/dt, che tra le armature di un condensatore è uguale alla corrente di conduzione nei fili: legge di Ampère-Maxwell ∮B·ds = μ0(i + ε0 dΦ(E)/dt), rot B = μ0 J + μ0ε0 ∂E/∂t. Con Gauss elettrica, Gauss magnetica e Faraday formano le quattro equazioni di Maxwell. Nel vuoto senza sorgenti E e B soddisfano l'equazione delle onde, con velocità c = 1/√(ε0μ0) = 3·10⁸ m/s: la luce è un'onda elettromagnetica, con E ⊥ B ⊥ direzione di propagazione ed E = cB.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell →; prosegue in Principio di Huygens, riflessione e rifrazioneOgni punto di un fronte d'onda si comporta come sorgente di onde sferiche secondarie (Huygens). Quando un'onda incontra la superficie di separazione tra due mezzi nascono un'onda riflessa e una trasmessa; imponendo che le fasi coincidano sulla superficie si ottiene: frequenza invariata, raggi complanari, angolo di riflessione = angolo di incidenza, legge di Snell n1 sin θi = n2 sin θt. Passando a un mezzo meno denso (n1 > n2) oltre l'angolo limite sin θlim = n2/n1 c'è riflessione totale. Una lastra a facce parallele sposta il raggio senza deviarlo; la dipendenza di n da λ (dispersione) separa i colori nel prisma. Intensità in un mezzo: I = n E0²/(2Z0), con Z0 = 377 Ω.Principio di Huygens, riflessione e rifrazione →. Esercizi: Esercizio 49 · onda piana rivelata con una spira e assorbita da un disco.

Che cos'è un'onda

Un'onda è una perturbazione che si propaga: qualcosa (la quota di una corda, la pressione dell'aria, un campo) cambia in un punto e il cambiamento si trasmette ai punti vicini, viaggiando con una certa velocità, senza che ci sia trasporto di materia. Trasporta invece energia e quantità di moto.

Forma generale. Una perturbazione $f$ che viaggia lungo $x$ con velocità $v$ senza cambiare forma: se all'istante $0$ il profilo è $f(x)$, all'istante $t$ è lo stesso profilo traslato di $vt$, cioè

$$f(x, t) = f(x - vt) \quad\text{(verso } +x\text{)}, \qquad f(x + vt) \quad\text{(verso } -x\text{)}$$

Qualsiasi funzione di questo tipo soddisfa l'equazione delle onde (di d'Alembert):

$$\boxed{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}}$$

(verifica: con $u = x - vt$, $\partial_x f = f'$ e $\partial_t f = -vf'$, quindi $\partial_x^2 f = f''$ e $\partial_t^2 f = v^2 f''$.) Viceversa, quando le leggi fisiche portano a un'equazione di questa forma, si sa che ci sono onde e che la loro velocità è il $v$ che vi compare. Esempio meccanico: per una corda tesa con tensione $T$ e massa per unità di lunghezza $\mu$ si trova $v = \sqrt{T/\mu}$.

Onde trasversali e longitudinali. Se la grandezza che oscilla è perpendicolare alla direzione di propagazione l'onda è trasversale (corda), se è parallela è longitudinale (suono nell'aria).

Onde armoniche

Il caso più importante è il profilo sinusoidale:

$$\boxed{f(x, t) = A\,\sin(kx - \omega t)}$$

• $A$ è l'ampiezza;
• $k$ è il numero d'onda: fissato $t$, il profilo si ripete ogni lunghezza d'onda $\lambda = 2\pi/k$;
• $\omega$ è la pulsazione: fissato $x$, la grandezza oscilla con periodo $T = 2\pi/\omega$ e frequenza $f = 1/T = \omega/2\pi$;
• la velocità di propagazione è

$$v = \frac{\omega}{k} = \lambda f$$

(in un periodo l'onda avanza di una lunghezza d'onda). L'argomento $kx - \omega t$ si chiama fase. Un'onda armonica di sola frequenza si dice monocromatica.

Le onde armoniche sono importanti perché qualsiasi onda si può scrivere come somma di onde armoniche di frequenze diverse (analisi di Fourier).

Le onde elettromagnetiche dalle equazioni di Maxwell

Nel vuoto, senza cariche né correnti, le equazioni di Maxwelldiv E = 0, div B = 0, rot E = −∂B/∂t, rot B = μ0ε0 ∂E/∂t: senza sorgenti i due campi si generano a vicenda.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell → legano le variazioni nel tempo di un campo alle variazioni nello spazio dell'altro. Si cerca una soluzione in cui i campi dipendono solo da $x$ e da $t$ (onda piana: in ogni piano $x =$ costante i campi sono uguali dappertutto), con $\vec E$ lungo $y$ e $\vec B$ lungo $z$:

$$\vec E = E_y(x, t)\,\hat u_y, \qquad \vec B = B_z(x, t)\,\hat u_z$$

Le due divergenze sono automaticamente nulle ($E_y$ non dipende da $y$, $B_z$ non dipende da $z$). Dei rotori resta una sola componente ciascuno:

$$(\nabla \times \vec E)_z = \frac{\partial E_y}{\partial x}, \qquad (\nabla \times \vec B)_y = -\frac{\partial B_z}{\partial x}$$

Quindi Faraday e Ampère-Maxwell diventano

$$\frac{\partial E_y}{\partial x} = -\frac{\partial B_z}{\partial t} \qquad\text{(Faraday)}, \qquad\qquad \frac{\partial B_z}{\partial x} = -\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial E_y}{\partial t} \qquad\text{(Ampère-Maxwell)}$$

Si deriva la prima rispetto a $x$ e la seconda rispetto a $t$, e si sostituisce (l'ordine delle derivate parziali si può scambiare):

$$\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} = -\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial B_z}{\partial x} = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}$$

È l'equazione delle onde! Lo stesso vale per $B_z$. La velocità di propagazione è

$$\boxed{c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = \frac{1}{\sqrt{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12}}} = 2{,}998 \cdot 10^8\ \text{m/s}}$$

Maxwell notò che questo numero, ottenuto da misure di elettricità e magnetismo in laboratorio (forze tra cariche e tra correnti), coincideva con la velocità della luce misurata dagli astronomi: la luce è un'onda elettromagnetica. Hertz produsse e rivelò onde elettromagnetiche con circuiti oscillanti nel 1887.

Proprietà dell'onda piana

Una soluzione armonica che viaggia verso $+x$:

$$E_y = E_0\sin(kx - \omega t), \qquad B_z = B_0\sin(kx - \omega t)$$

Sostituendo in Faraday: $kE_0\cos(\ldots) = \omega B_0\cos(\ldots)$, quindi $B_0 = \frac{k}{\omega}E_0 = \frac{E_0}{c}$. Ne seguono le proprietà fondamentali:

1. trasversale: $\vec E$ e $\vec B$ sono perpendicolari alla direzione di propagazione (non ci sono componenti lungo $x$);
2. $\vec E$ e $\vec B$ sono perpendicolari tra loro, e $\vec E \times \vec B$ punta nel verso di propagazione;
3. sono in fase: si annullano e sono massimi negli stessi punti e negli stessi istanti;
4. i moduli sono legati da

$$\boxed{E = c\,B}$$

Un campo elettrico di $300\ \text{V/m}$ si accompagna a un campo magnetico di appena $1\ \mu\text{T}$: nelle interazioni con la materia l'effetto del campo elettrico è di solito dominante.

Lo spettro. Le onde elettromagnetiche differiscono solo per la frequenza (e quindi la lunghezza d'onda, $\lambda = c/f$):

Polarizzazione

La direzione di oscillazione del campo elettrico (sempre perpendicolare alla propagazione) definisce la polarizzazione.

• Lineare: $\vec E$ oscilla sempre lungo la stessa retta (per esempio $y$, come sopra). Le antenne a dipolo emettono onde polarizzate linearmente, parallele all'antenna.
• Circolare: è la somma di due onde polarizzate linearmente lungo $y$ e lungo $z$, con la stessa ampiezza e sfasate di un quarto di periodo, $E_y = E_0\sin(kx - \omega t)$, $E_z = E_0\cos(kx - \omega t)$. In un punto fissato il vettore $\vec E$ ha modulo costante e ruota con velocità angolare $\omega$.
• Ellittica: il caso generale, con ampiezze diverse o sfasamento qualsiasi; la punta di $\vec E$ descrive un'ellisse.

La luce del Sole o di una lampadina è non polarizzata: è la sovrapposizione di moltissime onde emesse indipendentemente dagli atomi, con polarizzazioni casuali che cambiano continuamente.

Onde sferiche (cenni)

Una sorgente puntiforme che emette in tutte le direzioni produce un'onda sferica: le superfici di uguale fase sono sfere concentriche che si allargano con velocità $c$. L'ampiezza diminuisce con la distanza:

$$E(r, t) = \frac{E_0}{r}\,\sin(kr - \omega t)$$

perché la stessa energia si distribuisce su sfere di area $4\pi r^2$ sempre più grande (vedi sotto). Lontano dalla sorgente, in una regione piccola, un'onda sferica si può approssimare con un'onda piana.

Onde nei mezzi materiali

In un mezzo isolante con costanti $\varepsilon_r$ e $\mu_r$ le equazioni di Maxwell sono le stesse con $\varepsilon_0\varepsilon_r$ e $\mu_0\mu_r$ al posto di $\varepsilon_0$ e $\mu_0$. L'onda viaggia più lentamente:

$$v = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\varepsilon_r\,\mu_0\mu_r}} = \frac{c}{n}, \qquad \boxed{n = \frac{c}{v} = \sqrt{\varepsilon_r\mu_r} \approx \sqrt{\varepsilon_r}}$$

$n$ è l'indice di rifrazione (per quasi tutti i materiali trasparenti $\mu_r \approx 1$). Passando da un mezzo all'altro la frequenza resta la stessa (è fissata dalla sorgente), mentre la lunghezza d'onda si accorcia: $\lambda_{\text{mezzo}} = \lambda_0/n$. Nel mezzo $E = vB$.

Attenzione: $\varepsilon_r$ dipende dalla frequenza. Per l'acqua $\varepsilon_r = 80$ in campi statici, ma alla frequenza della luce visibile $n = 1{,}33$ (e $n^2 = 1{,}77$): le molecole non riescono a riorientarsi così in fretta.

Energia e vettore di Poynting

Densità di energia. Nell'onda c'è energia sia nel campo elettrico sia in quello magnetico:

$$u = \frac12\varepsilon_0E^2 + \frac{B^2}{2\mu_0}$$

(vedi Energia elettrostatica e forza tra le armatureCaricare un condensatore costa lavoro, che resta immagazzinato come energia U = Q²/2C = CV²/2 = QV/2. L'energia si può pensare distribuita nel campo con densità u = ε0E²/2. La forza tra le armature si ricava derivando l'energia rispetto alla distanza (F = Q²/2ε0S); a tensione costante il generatore fornisce il doppio dell'energia che finisce nel condensatore.Energia elettrostatica e forza tra le armature → e Autoinduzione, circuiti RL ed energia magneticaLa corrente di un circuito produce un flusso concatenato con il circuito stesso, Φ = L i; L (induttanza, in henry) dipende solo dalla geometria: per un solenoide L = μ0 n² S ℓ. Se la corrente cambia nasce una f.e.m. autoindotta −L di/dt che si oppone alla variazione. In un circuito RL la corrente cresce come i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)) e si spegne come i0 e^(−t/τ), con τ = L/R. Un induttore percorso da corrente immagazzina l'energia ½ L i², distribuita nel campo con densità u = B²/2μ0.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica →). Con $B = E/c$ e $c^2 = 1/\mu_0\varepsilon_0$: $\frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{E^2}{2\mu_0c^2} = \frac12\varepsilon_0E^2$. Le due parti sono uguali, e

$$u = \varepsilon_0\,E^2$$

Flusso di energia. L'energia viaggia con l'onda, a velocità $c$. In un tempo $dt$ attraversa una superficie $A$ perpendicolare alla propagazione l'energia contenuta in un cilindro di base $A$ e lunghezza $c\,dt$, cioè $u\,A\,c\,dt$. L'energia per unità di tempo e di superficie è quindi $uc = \varepsilon_0cE^2 = \frac{EB}{\mu_0}$. Tenendo conto della direzione si definisce il vettore di Poynting

$$\boxed{\vec S = \frac{\vec E \times \vec B}{\mu_0}} \qquad [\text{W/m}^2]$$

che punta nella direzione in cui fluisce l'energia e ha come modulo la potenza che attraversa l'unità di superficie perpendicolare.

Intensità. Per un'onda armonica $S$ oscilla come $\sin^2(kx - \omega t)$, troppo in fretta per essere seguito da un rivelatore (per la luce, $10^{15}$ volte al secondo). Si misura la sua media nel tempo, l'intensità; la media di $\sin^2$ è $\frac12$:

$$\boxed{I = \langle S\rangle = \frac12\,c\,\varepsilon_0\,E_0^2 = \frac{E_0B_0}{2\mu_0} = \frac{c\,B_0^2}{2\mu_0}}$$

Esempio: la luce del Sole. Sopra l'atmosfera $I = 1361\ \text{W/m}^2$. L'ampiezza del campo elettrico è $E_0 = \sqrt{2I/(c\varepsilon_0)} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1361}{3 \cdot 10^8 \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12}}} = 1{,}01 \cdot 10^3\ \text{V/m}$, quella del campo magnetico $B_0 = E_0/c = 3{,}4\ \mu\text{T}$.

Sorgente isotropa. Una sorgente puntiforme di potenza $P$ che emette ugualmente in tutte le direzioni distribuisce la potenza su sfere di area $4\pi r^2$:

$$I(r) = \frac{P}{4\pi r^2}$$

L'intensità cala come $1/r^2$, quindi l'ampiezza dei campi come $1/r$: è la ragione del fattore $1/r$ nell'onda sferica.

Nei mezzi: $I = \frac12 v\varepsilon E_0^2 = \frac12 n\,c\,\varepsilon_0 E_0^2$ (se $\mu_r = 1$).

Quantità di moto e pressione di radiazione

Un'onda elettromagnetica trasporta anche quantità di moto: per un'onda piana la quantità di moto trasportata è l'energia divisa per $c$. Quando l'onda viene assorbita da una superficie le cede la sua quantità di moto, cioè esercita una forza. Per unità di superficie, la pressione di radiazione è:

$$p = \frac{I}{c}\ \ \text{(superficie che assorbe tutto)}, \qquad p = \frac{2I}{c}\ \ \text{(superficie che riflette tutto)}$$

(nella riflessione la quantità di moto si inverte, e la variazione è doppia). Se la superficie è inclinata di un angolo $\theta$ rispetto alla direzione di propagazione, intercetta la potenza $IA\cos\theta$. Per la luce del Sole $p = 1361/(3 \cdot 10^8) = 4{,}5 \cdot 10^{-6}\ \text{Pa}$: piccolissima, ma è quella che spinge le code delle comete lontano dal Sole e le "vele solari" delle sonde spaziali.

Errori comuni

• Usare l'ampiezza al posto del valore medio: $I = \frac12 c\varepsilon_0E_0^2$ con il fattore $\frac12$; senza il $\frac12$ si ottiene il valore massimo di $S$.
• Pensare che il campo magnetico porti meno energia perché $B$ è piccolo: le due densità di energia sono uguali.
• Cambiare la frequenza passando in un mezzo: cambiano velocità e lunghezza d'onda, la frequenza resta.
• Confondere $\omega$ e $f$: $\omega = 2\pi f$; la relazione $v = \lambda f$ usa la frequenza, $v = \omega/k$ la pulsazione.