Esercizio 48carica che si disperde in un conduttore e corrente di spostamento

Testo (prova scritta del 18 settembre 2017, temi del Dipartimento di Fisica, problema 3). Si consideri un mezzo di estensione infinita, conduttività $\sigma_0$ e costante dielettrica relativa $\varepsilon_r$ uniformi, permeabilità magnetica pari a quella del vuoto. Al tempo $t_0 = 0$ è presente della carica libera, distribuita con densità spaziale uniforme $\rho_0$ in una regione sferica di raggio $R$. Trovare l'espressione analitica, al generico tempo $t > 0$ ed in ogni punto del mezzo ($r < R$ e $r > R$, dove $r$ è misurata dal centro della regione sferica iniziale), per:

(a) la densità spaziale di carica (libera) $\rho(\vec r, t)$; (b) il campo elettrico $\vec E(\vec r, t)$; (c) la densità di corrente di conduzione $\vec j_c(\vec r, t)$ e la densità di corrente di spostamento $\vec j_s(\vec r, t)$; (d) il campo magnetico $\vec B(\vec r, t)$.

Suggerimento: si ricordino le equazioni fondamentali dell'elettromagnetismo nei mezzi.

Teoria: Corrente di spostamento ed equazioni di MaxwellLa legge di Ampère non vale per correnti non stazionarie (condensatore in carica). Maxwell aggiunse la corrente di spostamento i_s = ε0 dΦ(E)/dt, che tra le armature di un condensatore è uguale alla corrente di conduzione nei fili: legge di Ampère-Maxwell ∮B·ds = μ0(i + ε0 dΦ(E)/dt), rot B = μ0 J + μ0ε0 ∂E/∂t. Con Gauss elettrica, Gauss magnetica e Faraday formano le quattro equazioni di Maxwell. Nel vuoto senza sorgenti E e B soddisfano l'equazione delle onde, con velocità c = 1/√(ε0μ0) = 3·10⁸ m/s: la luce è un'onda elettromagnetica, con E ⊥ B ⊥ direzione di propagazione ed E = cB.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell →, Corrente elettrica e legge di OhmLa corrente i = dq/dt è la carica che attraversa una sezione per unità di tempo; la densità di corrente j = n q v_d lega la corrente al moto di deriva delle cariche. La carica si conserva (equazione di continuità). Nei conduttori ohmici j = σE, cioè V = R i con R = ρ ℓ/S; la potenza dissipata per effetto Joule è P = R i².Corrente elettrica e legge di Ohm →, Dielettrici e polarizzazioneUn isolante in un campo elettrico si polarizza: le sue molecole diventano (o si orientano come) piccoli dipoli. Il vettore polarizzazione ℘ = ε0χE fa comparire cariche di polarizzazione σp = ℘·n sulle superfici, che riducono il campo interno di un fattore εr = 1 + χ. Per questo un dielettrico moltiplica la capacità per εr. Il vettore D = ε0E + ℘ ha come sorgenti solo le cariche libere: il suo flusso è la carica libera racchiusa.Dielettrici e polarizzazione →.

Le tre equazioni da combinare

Si scrive $\varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_r$. Nel mezzo valgono:

• l'equazione di continuitàdiv j = −∂ρ/∂t: la carica si conserva.Corrente elettrica e legge di Ohm →, $\nabla \cdot \vec j_c = -\dfrac{\partial\rho}{\partial t}$;
• la legge di Ohm in forma locale, $\vec j_c = \sigma_0\vec E$;
• la legge di Gauss nel dielettrico, $\nabla \cdot \vec D = \rho$ con $\vec D = \varepsilon\vec E$, cioè $\nabla \cdot \vec E = \rho/\varepsilon$.

(a) Densità di carica

Sostituendo la seconda e la terza nella prima:

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} = -\nabla \cdot (\sigma_0\vec E) = -\sigma_0\,\nabla \cdot \vec E = -\frac{\sigma_0}{\varepsilon}\,\rho$$

È un'equazione che contiene solo la derivata nel tempo, punto per punto: in ogni punto la densità di carica evolve per conto suo, indipendentemente dai punti vicini. La soluzione è un esponenziale decrescente:

$$\boxed{\rho(\vec r, t) = \rho(\vec r, 0)\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = \frac{\varepsilon}{\sigma_0} = \frac{\varepsilon_0\varepsilon_r}{\sigma_0}}$$

cioè

$$\rho(r, t) = \begin{cases} \rho_0\,e^{-t/\tau} & r < R \\ 0 & r > R \end{cases}$$

La sorpresa. Ci si aspetterebbe che la carica, respingendosi, si allarghi pian piano verso l'esterno, formando una nuvola sempre più larga. Invece fuori dalla sfera la densità di carica resta sempre nulla. Il motivo è che la densità in un punto può cambiare solo se lì $\nabla \cdot \vec j_c = \sigma_0\nabla \cdot \vec E \ne 0$, e dove non c'è carica la divergenza del campo è nulla. La carica esce dalla sfera e attraversa la zona esterna senza accumularsi: la corrente che entra in ogni guscio sferico è uguale a quella che ne esce. In un conduttore reale, finito, la carica arriva sulla superficie esterna e lì si ferma (in un mezzo infinito, idealmente, va a distanza infinita).

Il tempo di rilassamento. $\tau = \varepsilon/\sigma_0$ è il tempo con cui un conduttore elimina la carica dal suo interno. Per il rame ($\sigma_0 = 6 \cdot 10^7\ \text{S/m}$, $\varepsilon_r \approx 1$) $\tau = 1{,}5 \cdot 10^{-19}\ \text{s}$: istantaneo (in realtà il modello semplice non vale più a tempi così brevi, ma l'ordine di grandezza dice che nei metalli la carica interna sparisce subito, come si assume in Conduttori in equilibrio elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, la carica sta sulla superficie, il conduttore è equipotenziale e appena fuori il campo è perpendicolare e vale σ/ε0 (teorema di Coulomb). Un conduttore cavo scherma l'interno (gabbia di Faraday); per induzione le cariche si separano in presenza di un campo esterno.Conduttori in equilibrio elettrostatico →). Per l'acqua di mare ($\sigma_0 \approx 5\ \text{S/m}$, $\varepsilon_r \approx 80$) $\tau \approx 1{,}4 \cdot 10^{-10}\ \text{s}$; per un buon isolante, come il quarzo fuso, giorni.

(b) Campo elettrico

Simmetria sferica: $\vec E = E(r, t)\,\hat u_r$. Con la legge di Gauss su una sfera di raggio $r$ che contiene la carica $Q_\Sigma(t)$:

$$\vec E = \frac{Q_\Sigma(t)}{4\pi\varepsilon r^2}\,\hat u_r, \qquad Q_\Sigma(t) = \begin{cases} \frac43\pi r^3\rho_0\,e^{-t/\tau} & r < R \\ \frac43\pi R^3\rho_0\,e^{-t/\tau} & r > R \end{cases}$$

$$\vec E(r, t) = \begin{cases} \dfrac{\rho_0\,r}{3\varepsilon}\,e^{-t/\tau}\,\hat u_r & r < R \\[2mm] \dfrac{\rho_0\,R^3}{3\varepsilon\,r^2}\,e^{-t/\tau}\,\hat u_r & r > R \end{cases}$$

Lo stesso campo della sfera carica uniformementeDentro E = ρ r/3ε0 (cresce linearmente), fuori E = Q/4πε0 r² come una carica puntiforme.Applicazioni della legge di Gauss → (con $\varepsilon$ al posto di $\varepsilon_0$), che si spegne ovunque con la stessa legge esponenziale. Anche fuori dalla sfera il campo cala, pur senza che lì arrivi carica: la carica totale contenuta in ogni sfera di raggio $r > R$ diminuisce.

(c) Correnti di conduzione e di spostamento

Conduzione (legge di Ohm):

$$\vec j_c = \sigma_0\vec E = \begin{cases} \dfrac{\sigma_0\,\rho_0\,r}{3\varepsilon}\,e^{-t/\tau}\,\hat u_r & r < R \\[2mm] \dfrac{\sigma_0\,\rho_0\,R^3}{3\varepsilon\,r^2}\,e^{-t/\tau}\,\hat u_r & r > R \end{cases}$$

radiale uscente: la carica fluisce verso l'esterno.

Spostamento. Nel mezzo la corrente di spostamentoTermine ∂D/∂t (nel vuoto ε0 ∂E/∂t) che si aggiunge alla corrente di conduzione nella legge di Ampère-Maxwell.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell → è $\vec j_s = \partial\vec D/\partial t = \varepsilon\,\partial\vec E/\partial t$. Derivare $e^{-t/\tau}$ dà un fattore $-1/\tau = -\sigma_0/\varepsilon$:

$$\vec j_s = \varepsilon\,\frac{\partial\vec E}{\partial t} = -\frac{\varepsilon}{\tau}\,\vec E = -\sigma_0\vec E = -\vec j_c$$

In ogni punto la corrente di spostamento è uguale e opposta a quella di conduzione: la corrente totale è nulla dappertutto.

(d) Campo magnetico

La legge di Ampère-Maxwell nel mezzo:

$$\nabla \times \vec B = \mu_0\,(\vec j_c + \vec j_s) = 0$$

e in più $\nabla \cdot \vec B = 0$. Un campo con rotore e divergenza nulli ovunque, che si annulla all'infinito, è nullo:

$$\vec B = 0$$

Perché è ragionevole. Una corrente radiale con simmetria sferica non potrebbe comunque produrre un campo magnetico: quale direzione sceglierebbe $\vec B$? Non può essere radiale (avrebbe un flusso uscente da una sfera, vietato da $\nabla \cdot \vec B = 0$), e qualunque direzione tangente romperebbe la simmetria sferica. Il teorema di Ampère senza la corrente di spostamento darebbe invece un risultato contraddittorio: un cerchio attorno a un raggio concatena corrente di conduzione e la circuitazione di $\vec B$ dovrebbe essere diversa da zero. È proprio il tipo di paradosso che la corrente di spostamento risolve.

Verifica numerica

Con dati esemplificativi (non nel testo: acqua di mare), si controlla che $\varepsilon\,\partial E/\partial t + \sigma_0 E = 0$ e si calcolano i tempi di rilassamento:

import numpy as np
eps0 = 8.854e-12
s0, er, rho0, R = 5.0, 80, 1e-6, 0.1
eps = eps0*er; tau = eps/s0
E = lambda r, t: (rho0*r/(3*eps) if r < R else rho0*R**3/(3*eps*r**2))*np.exp(-t/tau)
r, t, dt = 0.3, 2e-10, 1e-15
jc = s0*E(r, t); js = eps*(E(r, t + dt) - E(r, t - dt))/(2*dt)
print(tau, jc, js, jc + js)                          # 1.4e-10 s, jc = -js, somma ≈ 0
print(eps0/6e7)                                      # rame: 1.5e-19 s

Risultati

con $\tau = \varepsilon_0\varepsilon_r/\sigma_0$.

Errori comuni

• Aspettarsi che la carica si espanda gradualmente nella zona $r > R$: la densità lì resta sempre nulla.
• Usare $\varepsilon_0$ al posto di $\varepsilon_0\varepsilon_r$ nel mezzo: il tempo di rilassamento contiene la costante dielettrica del materiale.
• Calcolare $\vec B$ con Ampère senza la corrente di spostamento: si troverebbe un campo che la simmetria vieta.