Esercizio 54parete di vetro di un acquario all'angolo di Brewster

Testo (III appello, 23 giugno 2022, problema 3). Un fascio di onde piane polarizzate all'angolo $\beta = 30°$ con il piano π e con campo elettrico di ampiezza $E_0 = 200\ \text{V/m}$ si propaga in acqua (indice di rifrazione $n_1 = 1{,}33$). L'onda incide all'angolo di Brewster sulla parete di vetro (indice di rifrazione $n_2 = 1{,}5$), spessa $d = 1\ \text{mm}$, del contenitore dell'acqua, che si trova posto in aria ($n_0 \simeq 1$). Determinare:

1. l'intensità dell'onda riflessa sulla superficie del vetro, $I_r$;
2. l'intensità dell'onda trasmessa, $I_t$.

A causa della riflessione che avviene sulla seconda interfaccia, si osserva interferenza sul vetro. Calcolare:

3. la lunghezza d'onda per cui si verifica interferenza costruttiva per $m = 5000$.

Teoria: Coefficienti di Fresnel e angolo di BrewsterIl campo elettrico dell'onda si scompone nella componente σ (perpendicolare al piano di incidenza) e π (nel piano). I coefficienti di Fresnel danno i rapporti tra le ampiezze: rσ = −sin(θi−θt)/sin(θi+θt), rπ = tan(θi−θt)/tan(θi+θt); a incidenza normale r = (n1−n2)/(n1+n2). La frazione di potenza riflessa è R = r², quella trasmessa T = 1 − R; aria-vetro a incidenza normale R = 4%. L'intensità trasmessa è T·Ii·cosθi/cosθt perché il fascio cambia sezione. Riflettendo su un mezzo più denso l'onda si inverte (sfasamento π). All'angolo di Brewster tan θB = n2/n1 (θi + θt = 90°) la componente π non viene riflessa: la luce riflessa è tutta polarizzata σ.Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster →, Interferenza di due sorgenti ed esperimento di YoungDue onde coerenti (stessa frequenza, differenza di fase costante) con la stessa polarizzazione che si sovrappongono danno I = I1 + I2 + 2√(I1 I2) cos δ, con δ = k(r2 − r1) + sfasamento tra le sorgenti. Massimi (interferenza costruttiva) per δ = 2mπ, cioè r2 − r1 = mλ; minimi (distruttiva) per δ = (2m+1)π, cioè r2 − r1 = (m + ½)λ. Con intensità uguali I = 4I0 cos²(δ/2): massimi 4I0, minimi 0. Onde incoerenti o polarizzate perpendicolarmente non interferiscono: I = I1 + I2. Esperimento di Young (fenditure a distanza d, schermo a distanza L): massimi a d sin θ = mλ, frange equidistanti di passo Δx = λL/d. In un mezzo conta il cammino ottico n·r; una lamina di spessore s davanti a una fenditura sfasa di 2π(n−1)s/λ0.Interferenza di due sorgenti ed esperimento di Young →.

1. Intensità riflessa

Intensità incidente. L'onda viaggia in acqua, quindi nell'intensità compare l'indice: in un mezzoI = n E0²/(2Z0): rispetto al vuoto c'è il fattore n.Principio di Huygens, riflessione e rifrazione →

$$I_i = \frac{n_1E_0^2}{2Z_0} = \frac{1{,}33 \cdot 200^2}{2 \cdot 376{,}7} = 70{,}6\ \text{W/m}^2$$

Angoli. L'angolo di Brewster dall'acqua al vetro e l'angolo di trasmissione:

$$\theta_B = \arctan\frac{n_2}{n_1} = \arctan\frac{1{,}5}{1{,}33} = 48{,}44°, \qquad \theta_t = 90° - \theta_B = 41{,}56°$$

Coefficienti di Fresnel. All'angolo di Brewster $R_\pi = 0$, mentre (denominatore $\sin^2 90° = 1$)

$$R_\sigma = \sin^2(\theta_B - \theta_t) = \sin^2(6{,}88°) = 0{,}01433$$

Intensità riflessa. Si riflette solo la componente σ, che porta la frazione $\sin^2\beta = \frac14$ dell'intensità (il campo forma l'angolo $\beta$ con il piano π, quindi $E_\sigma = E_0\sin\beta$). Il fascio riflesso ha la stessa sezione di quello incidente:

$$I_r = R_\sigma\,I_i\sin^2\beta = 0{,}01433 \cdot 70{,}6 \cdot 0{,}25 = 0{,}253\ \text{W/m}^2$$

La luce riflessa è polarizzata σ.

2. Intensità trasmessa

Potenza. L'energia si conserva: con $A$ l'area illuminata sulla superficie, $P_t = P_i - P_r = (I_i - I_r)\,A\cos\theta_B$.

Sezione del fascio trasmesso. Vale $A\cos\theta_t$ (vedi Coefficienti di Fresnel e angolo di BrewsterIl campo elettrico dell'onda si scompone nella componente σ (perpendicolare al piano di incidenza) e π (nel piano). I coefficienti di Fresnel danno i rapporti tra le ampiezze: rσ = −sin(θi−θt)/sin(θi+θt), rπ = tan(θi−θt)/tan(θi+θt); a incidenza normale r = (n1−n2)/(n1+n2). La frazione di potenza riflessa è R = r², quella trasmessa T = 1 − R; aria-vetro a incidenza normale R = 4%. L'intensità trasmessa è T·Ii·cosθi/cosθt perché il fascio cambia sezione. Riflettendo su un mezzo più denso l'onda si inverte (sfasamento π). All'angolo di Brewster tan θB = n2/n1 (θi + θt = 90°) la componente π non viene riflessa: la luce riflessa è tutta polarizzata σ.Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster →). Siccome $\theta_t < \theta_B$, il fascio trasmesso è più largo di quello incidente:

$$I_t = \frac{P_t}{A\cos\theta_t} = (I_i - I_r)\,\frac{\cos\theta_B}{\cos\theta_t} = 70{,}35 \cdot \frac{0{,}6633}{0{,}7481} = 62{,}4\ \text{W/m}^2$$

Controllo indipendente con i coefficienti di trasmissione delle ampiezze: a Brewster $t_\sigma = 2\sin\theta_t\cos\theta_B = 0{,}880$ e $t_\pi = t_\sigma/\cos(\theta_B - \theta_t) = 0{,}886$; l'intensità trasmessa è $\frac{n_2}{n_1}(t_\sigma^2 I_{i,\sigma} + t_\pi^2 I_{i,\pi}) = 62{,}4\ \text{W/m}^2$, lo stesso numero.

Attenzione alla soluzione ufficiale. La soluzione del compito (e lo svolgimento in aula del 7 gennaio 2025) usa il rapporto rovesciato $\cos\theta_t/\cos\theta_B$ e ottiene $79{,}4\ \text{W/m}^2$, un'intensità trasmessa maggiore di quella incidente, mentre il fascio rifratto verso la normale si allarga. Il calcolo con i coefficienti di Fresnel conferma $62{,}4\ \text{W/m}^2$. (Nel V appello del 2023, Esercizio 53 · fascio polarizzato a 30 gradi all'angolo di Brewster, la soluzione ufficiale usa il rapporto giusto.)

3. Interferenza nella parete

Le due onde. L'onda incidente viene riflessa due volte: dalla prima faccia (acqua → vetro) e, dopo aver attraversato il vetro, dalla seconda faccia (vetro → aria); quest'ultima riattraversa il vetro e torna in acqua parallela alla prima. Le due onde riflesse vengono dalla stessa onda, quindi sono coerenti e interferiscono. Interferisce la componente σ, l'unica riflessa dalla prima faccia.

Differenza di cammino ottico. Per una lamina sottileDue riflessioni sulle facce di una lamina di spessore d e indice n2: differenza di cammino ottico 2 n2 d cos θt, più π per ogni riflessione su un mezzo più denso.Interferenza di due sorgenti ed esperimento di Young → di spessore $d$, con angolo $\theta_t$ nel vetro:

$$\Delta = 2n_2d\cos\theta_t$$

Sfasamenti di riflessione.

• Prima faccia: acqua → vetro, riflessione su un mezzo più denso: sfasamento $\pi$.
• Seconda faccia: vetro → aria, riflessione su un mezzo meno denso: nessuno sfasamento.

La differenza di fase tra le due onde è quindi

$$\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\,2n_2d\cos\theta_t - \pi$$

(il segno davanti a $\pi$ non conta: $+\pi$ e $-\pi$ sono la stessa fase). Interferenza costruttiva per $\delta = 2m\pi$:

$$\frac{4\pi n_2d\cos\theta_t}{\lambda} = (2m + 1)\pi \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{4n_2d\cos\theta_t}{2m + 1} = \frac{4 \cdot 1{,}5 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}7481}{10001} = 449\ \text{nm}$$

($\lambda$ è la lunghezza d'onda nel vuoto, luce blu.) L'ordine $m$ è enorme perché la parete è spessa migliaia di lunghezze d'onda.

Curiosità: alla seconda faccia il raggio arriva a $41{,}56°$, appena sotto l'angolo limite vetro-aria ($41{,}81°$): l'onda esce in aria quasi radente, e la riflessione su quella faccia è forte.

Verifica numerica

import numpy as np
Z0, n1, n2, E0, b, d = 376.73, 1.33, 1.5, 200, np.radians(30), 1e-3
Ii = n1*E0**2/(2*Z0)
tB = np.arctan(n2/n1); tt = np.pi/2 - tB
Rs = np.sin(tB - tt)**2; Ir = Rs*Ii*np.sin(b)**2
It = (Ii - Ir)*np.cos(tB)/np.cos(tt)
print(Ii, np.degrees(tB), np.degrees(tt), Rs)   # 70.6 W/m^2, 48.44, 41.56 gradi, 0.01433
print(Ir, It)                                    # 0.253 W/m^2, 62.4 W/m^2
ts = 2*np.sin(tt)*np.cos(tB); tp = ts/np.cos(tB - tt)
print(n2/n1*(ts**2*Ii*np.sin(b)**2 + tp**2*Ii*np.cos(b)**2))   # 62.4: stesso risultato
print(4*n2*d*np.cos(tt)/(2*5000 + 1))            # 4.49e-7 m

Risultati

Errori comuni

• Usare $I = \frac12c\varepsilon_0E_0^2$ in acqua: manca il fattore $n_1$.
• Dimenticare lo sfasamento di $\pi$ alla prima riflessione: sposta la condizione da $2m$ a $2m + 1$.
• Usare lo spessore $d$ invece del cammino ottico $2n_2d\cos\theta_t$: l'onda attraversa la parete due volte, in un mezzo di indice $n_2$, inclinata.