Esercizio 44mutua induzione con una bobina che ruota nel solenoide

Testo (II appello, 20 febbraio 2024, problema 2). Una bobina quadrata, di lato $a = 1\ \text{cm}$ con $N = 40$ spire e resistenza totale $R = 30\ \Omega$, è completamente contenuta in un solenoide cilindrico indefinito con $n = 500$ spire/cm ed attraversato dalla corrente elettrica di intensità $i = 3{,}5\ \text{A}$. A partire dal tempo $t_0 = 0$ l'angolo tra l'asse del solenoide e la normale alla bobina varia nel tempo con legge $\theta(t) = \pi\,e^{-t/\tau}$, con $\tau = 1\ \mu\text{s}$. Determinare:

1. il coefficiente di mutua induzione tra la bobina e il solenoide, al tempo $t_0 = 0$ ($M_0$) ed al tempo $t_1 = \tau\ln 3$ ($M_1$);
2. la carica $q_{\text{tot}}$ che fluisce nella bobina nell'intervallo tra $t_0 = 0$ e $t_2 = 20\ \text{s}$;
3. la forza elettromotrice $V_0$ indotta nella bobina all'istante $t_0 = 0$, giustificando il risultato.

Teoria: Mutua induzioneDue circuiti vicini si scambiano flusso: il flusso prodotto dal circuito 1 e concatenato con il 2 è Φ21 = M i1, e il coefficiente di mutua induzione M (in henry) è lo stesso nei due sensi, M12 = M21. Una corrente variabile in un circuito induce nell'altro la f.e.m. −M di/dt. Per una bobina di N spire di area A dentro un solenoide con n spire per metro, M = μ0 n N A cosθ. L'energia di due circuiti accoppiati è ½L1 i1² + ½L2 i2² + M i1 i2. Su questo funziona il trasformatore: V2/V1 = N2/N1.Mutua induzione →, Legge di Faraday-Neumann-LenzOgni volta che il flusso di B concatenato con un circuito cambia (perché cambia B, l'area o l'orientazione) nel circuito nasce una f.e.m. indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione. La carica che circola è q = ΔΦ/R (legge di Felici). Una sbarretta che scorre su rotaie dà ℰ = Bℓv ed è frenata da F = B²ℓ²v/R. Un campo B variabile produce un campo elettrico indotto non conservativo: ∮E·dl = −dΦ/dt, rot E = −∂B/∂t. Applicazioni: correnti di Foucault, alternatore.Legge di Faraday-Neumann-Lenz →.

Il flusso del solenoide nella bobina

Il campo del solenoide è uniforme, $B_s = \mu_0 n i$, lungo l'asse; con $n = 500$ spire/cm $= 5 \cdot 10^4$ spire/m:

$$B_s = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 5 \cdot 10^4 \cdot 3{,}5 = 0{,}220\ \text{T}$$

La bobina ha $N$ spire di area $a^2$ e la sua normale forma l'angolo $\theta$ con il campo:

$$\Phi(t) = \mu_0 n\,i\,N a^2\cos\theta(t)$$

La corrente nel solenoide è costante: il flusso cambia solo perché la bobina ruota. L'angolo parte da $\theta = \pi$ (bobina capovolta, normale opposta al campo) e tende a zero (normale allineata): la bobina compie mezzo giro, con una rotazione rapidissima all'inizio e sempre più lenta.

1) Mutua induzione a $t_0$ e $t_1$

Il coefficiente di mutua induzioneM = flusso del campo di un circuito nell'altro diviso per la corrente che lo produce; per una bobina in un solenoide M = μ0 n N A cosθ.Mutua induzione → è il flusso nella bobina per unità di corrente nel solenoide:

$$M(t) = \frac{\Phi}{i} = \mu_0 n N a^2\cos\theta(t)$$

A $t_0 = 0$: $\theta = \pi$, $\cos\pi = -1$:

$$M(t_0) = -\mu_0 n N a^2 = -4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 5 \cdot 10^4 \cdot 40 \cdot 10^{-4} = -2{,}51 \cdot 10^{-4}\ \text{H}$$

Il segno meno dice che il flusso attraversa la bobina in verso opposto alla sua normale; in modulo $M_0 = 2{,}51 \cdot 10^{-4}\ \text{H}$ (la soluzione ufficiale scrive $\Phi = -M_0 i$ con $M_0$ positivo: è la stessa cosa).

A $t_1 = \tau\ln 3$: $e^{-t_1/\tau} = e^{-\ln 3} = \frac13$, quindi $\theta_1 = \pi/3$ e $\cos\theta_1 = \frac12$:

$$M_1 = \frac{\mu_0 n N a^2}{2} = 1{,}26 \cdot 10^{-4}\ \text{H}$$

2) Carica fino a $t_2 = 20\ \text{s}$

$t_2 = 20\ \text{s}$ è $2 \cdot 10^7$ volte $\tau$: a quell'istante $\theta$ è zero a tutti gli effetti, la bobina ha completato il mezzo giro ed è allineata al campo. Il flusso è passato da $-\mu_0 n i N a^2$ a $+\mu_0 n i N a^2$: la variazione è doppia del flusso massimo.

Con la legge di Feliciq =|Φf − Φi|/R, indipendentemente da come avviene la rotazione.Legge di Faraday-Neumann-Lenz →:

$$q_{\text{tot}} = \frac{|\Phi(t_2) - \Phi(t_0)|}{R} = \frac{2\,\mu_0 n N a^2\,i}{R} = \frac{2 \cdot 2{,}51 \cdot 10^{-4} \cdot 3{,}5}{30} = 5{,}86 \cdot 10^{-5}\ \text{C}$$

Non serve sapere come varia l'angolo: conta solo che la bobina sia passata da capovolta ad allineata.

3) F.e.m. all'istante iniziale

$$V(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = -\mu_0 n\,i\,N a^2\,\frac{d}{dt}\cos\theta = \mu_0 n\,i\,N a^2\,\sin\theta\,\frac{d\theta}{dt}$$

con $\frac{d\theta}{dt} = -\frac{\pi}{\tau}e^{-t/\tau}$. A $t_0 = 0$ la velocità angolare è massima ($\pi/\tau = 3{,}1 \cdot 10^6\ \text{rad/s}$), ma $\sin\theta = \sin\pi = 0$:

$$V_0 = 0$$

Perché. Il flusso è $\propto\cos\theta$, e il coseno è "piatto" (ha derivata nulla) attorno a $\theta = \pi$: una piccola rotazione a partire dalla posizione capovolta non cambia il flusso al primo ordine. La f.e.m. dipende da quanto rapidamente cambia il flusso, non l'angolo. È lo stesso motivo per cui nell'alternatoreBobina che ruota in un campo uniforme: ℰ = NBSω sin(ωt), nulla quando il flusso è massimo in modulo.Legge di Faraday-Neumann-Lenz → la f.e.m. è nulla quando il flusso è massimo in modulo.

Quando la f.e.m. è massima? (non richiesto) Con $u = e^{-t/\tau}$, $|V| \propto u\sin(\pi u)$, massimo per $\tan(\pi u) = -\pi u$, cioè $u = 0{,}646$ ($\theta = 116°$): $|V|_{\max} = \mu_0 n i N a^2\frac{\pi}{\tau}\cdot 0{,}646\sin(116°) = 1{,}6 \cdot 10^3\ \text{V}$. Una rotazione in un microsecondo induce migliaia di volt.

Verifica numerica

import numpy as np
from scipy.optimize import brentq
mu0 = 4e-7*np.pi
a, N, R, n, i, tau = 0.01, 40, 30, 5e4, 3.5, 1e-6
M0 = mu0*n*N*a**2
print(M0, M0*np.cos(np.pi/3), 2*M0*i/R)           # 2.51e-4 H, 1.26e-4 H, 5.86e-5 C
u = brentq(lambda u: np.tan(np.pi*u) + np.pi*u, 0.55, 0.9)
print(u, np.degrees(np.pi*u), M0*i*np.pi/tau*u*np.sin(np.pi*u))   # 0.646, 116°, 1.6e3 V

Risultati

Errori comuni

• Usare la variazione del flusso massimo invece del doppio: la bobina passa da flusso negativo a flusso positivo.
• Pensare che la f.e.m. iniziale sia massima perché la rotazione è più rapida: conta $d\Phi/dt$, che contiene $\sin\theta = 0$.
• Non convertire le spire/cm in spire/m.