Esercizio 46toroide con nucleo e traferro

Testo (prova scritta del 18 settembre 2017, temi del Dipartimento di Fisica, problema 2). Un solenoide toroidale composto da $N_s = 2300$ spire è avvolto attorno ad un nucleo di materiale con permeabilità magnetica relativa $\mu_r = 8{,}2$, costante per un largo intervallo di valori di $H$, in cui è compreso un interferro di spessore $h = 3{,}2\ \text{cm}$. La sezione del solenoide, di area $S = 7{,}5\ \text{cm}^2$, ha dimensioni lineari trascurabili rispetto al raggio medio $d = 0{,}64\ \text{m}$. Inizialmente il solenoide è alimentato da una corrente $I_0 = 25\ \text{A}$. Calcolare:

(a) il coefficiente di autoinduzione $L$ del solenoide toroidale; (b) il modulo $|\vec M|$ della magnetizzazione del materiale.

Al centro dell'interferro, coassiale con il solenoide, si trova una bobina composta da $N_b = 12$ avvolgimenti circolari di raggio $a = 1{,}1\ \text{cm}$ e resistenza $R = 15\ \Omega$, orientata convenzionalmente come le spire del solenoide. Ad un certo istante $t_0 = 0$ la corrente nel solenoide comincia a diminuire secondo la legge $I(t) = I_0\,e^{-t/\tau}$, con $\tau = 2{,}6\ \text{s}$. Trascurando effetti di bordo e di autoinduzione della bobina, calcolare:

(c) la corrente $I_b(t)$ indotta nella bobina ed il suo valore per $t_1 = 3\tau$; (d) l'energia $U(t)$ dissipata nella bobina a partire da $t_0 = 0$ ed il suo valore per $t_2 = 2\tau$.

Teoria: Legge di Faraday-Neumann-LenzOgni volta che il flusso di B concatenato con un circuito cambia (perché cambia B, l'area o l'orientazione) nel circuito nasce una f.e.m. indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione. La carica che circola è q = ΔΦ/R (legge di Felici). Una sbarretta che scorre su rotaie dà ℰ = Bℓv ed è frenata da F = B²ℓ²v/R. Un campo B variabile produce un campo elettrico indotto non conservativo: ∮E·dl = −dΦ/dt, rot E = −∂B/∂t. Applicazioni: correnti di Foucault, alternatore.Legge di Faraday-Neumann-Lenz →, Autoinduzione, circuiti RL ed energia magneticaLa corrente di un circuito produce un flusso concatenato con il circuito stesso, Φ = L i; L (induttanza, in henry) dipende solo dalla geometria: per un solenoide L = μ0 n² S ℓ. Se la corrente cambia nasce una f.e.m. autoindotta −L di/dt che si oppone alla variazione. In un circuito RL la corrente cresce come i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)) e si spegne come i0 e^(−t/τ), con τ = L/R. Un induttore percorso da corrente immagazzina l'energia ½ L i², distribuita nel campo con densità u = B²/2μ0.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica →, Magnetizzazione e campo HNella materia ogni atomo si comporta come una piccola spira (correnti amperiane). Il vettore magnetizzazione M è il momento magnetico per unità di volume (A/m); un materiale magnetizzato equivale a correnti di magnetizzazione, superficiali k_m = M × n e di volume j_m = rot M. Il campo H = B/μ0 − M ha come sorgenti solo le correnti libere: ∮H·dl = i_libere. Nei materiali lineari M = χm H e B = μ0 μr H, con μr = 1 + χm. In un solenoide pieno di materiale H = n i e B = μ0 μr n i.Magnetizzazione e campo H → (toroide con traferro).

Il campo nel nucleo e nel traferro

È il caso del toroide con traferroB è lo stesso nel nucleo e nel traferro (componente normale continua); con Ampère per H: H_nucleo (2πd − h) + H_aria h = N I.Magnetizzazione e campo H →. Le linee di campo sono circonferenze coassiali; la sezione è piccola, quindi i campi sono uniformi nella sezione e valgono quelli sulla circonferenza media di raggio $d$.

Cosa è continuo. Attraversando le facce del traferro le linee di $\vec B$ sono perpendicolari alle superfici: la componente normale di $\vec B$ è continua, quindi $B$ è lo stesso nel nucleo e nell'aria (trascurando gli effetti di bordo, cioè l'allargamento delle linee nel traferro). $H$ invece cambia: $H_{\text{int}} = B/(\mu_0\mu_r)$ nel nucleo, $H_{\text{ext}} = B/\mu_0$ nel traferro.

Ampère per $\vec H$ lungo la circonferenza media, che concatena $N_s$ volte la corrente libera $I_0$:

$$H_{\text{int}}\,(2\pi d - h) + H_{\text{ext}}\,h = N_s I_0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{B}{\mu_0}\left(\frac{2\pi d - h}{\mu_r} + h\right) = N_s I_0$$

Moltiplicando numeratore e denominatore per $\mu_r$:

$$B = \frac{\mu_r\,\mu_0\,N_s I_0}{2\pi d + (\mu_r - 1)\,h}$$

Numeri. $2\pi d = 4{,}021\ \text{m}$, $(\mu_r - 1)h = 7{,}2 \cdot 0{,}032 = 0{,}230\ \text{m}$; denominatore $4{,}252\ \text{m}$. Numeratore: $8{,}2 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 2300 \cdot 25 = 0{,}5925\ \text{T m}$.

$$B = \frac{0{,}5925}{4{,}252} = 0{,}139\ \text{T}$$

Senza traferro sarebbe $0{,}5925/4{,}021 = 0{,}147\ \text{T}$: i $3{,}2\ \text{cm}$ d'aria "pesano" come $0{,}23\ \text{m}$ di nucleo in più. (Con un $\mu_r$ così modesto l'effetto è piccolo; con il ferro, $\mu_r \sim 1000$, il traferro dominerebbe.)

I due campi $H$: $H_{\text{int}} = 1{,}35 \cdot 10^4\ \text{A/m}$ nel nucleo, $H_{\text{ext}} = 1{,}11 \cdot 10^5\ \text{A/m}$ nel traferro, $\mu_r$ volte di più.

(a) Coefficiente di autoinduzione

Il flusso concatenato con le $N_s$ spire, ognuna di sezione $S$:

$$L = \frac{N_s\,B\,S}{I_0} = \frac{\mu_r\,\mu_0\,N_s^2\,S}{2\pi d + (\mu_r - 1)\,h} = \frac{2300 \cdot 0{,}139 \cdot 7{,}5 \cdot 10^{-4}}{25} = 9{,}62 \cdot 10^{-3}\ \text{H}$$

(b) Magnetizzazione del nucleo

Nel materiale lineare $\vec M = \chi_m\vec H = (\mu_r - 1)\vec H$:

$$|\vec M| = (\mu_r - 1)\,H_{\text{int}} = (\mu_r - 1)\,\frac{B}{\mu_0\mu_r} = 7{,}2 \cdot 1{,}35 \cdot 10^4 = 9{,}74 \cdot 10^4\ \text{A/m}$$

Equivalentemente, $|\vec M| = \frac{(\mu_r - 1)N_sI_0}{2\pi d + (\mu_r - 1)h}$. Controllo: $\mu_0(H_{\text{int}} + M) = 4\pi \cdot 10^{-7}(1{,}35 + 9{,}74) \cdot 10^4 = 0{,}139\ \text{T} = B$ ✓. Le correnti di magnetizzazione sulla superficie del nucleo ($k_m = M$, quasi $10^5$ ampere per metro) contribuiscono al campo più delle spire stesse ($N_sI_0/2\pi d = 1{,}4 \cdot 10^4\ \text{A/m}$).

(c) Corrente indotta nella bobina

Il flusso. La bobina è nel traferro, coassiale (le sue spire sono parallele a quelle del solenoide), e il raggio $a = 1{,}1\ \text{cm}$ è compatibile con la sezione ($S = 7{,}5\ \text{cm}^2$ corrisponde a un raggio di $1{,}55\ \text{cm}$): tutta la sua area è attraversata dal campo $B$, che nel traferro è lo stesso del nucleo. Siccome $B$ è proporzionale alla corrente del solenoide, $B(t) = B_0\,e^{-t/\tau}$ con $B_0 = 0{,}139\ \text{T}$:

$$\Phi_b(t) = N_b\,\pi a^2\,B_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \Phi_b(0) = 12 \cdot \pi(0{,}011)^2 \cdot 0{,}139 = 6{,}36 \cdot 10^{-4}\ \text{Wb}$$

La corrente (trascurando l'autoinduzione della bobina):

$$I_b(t) = -\frac{1}{R}\frac{d\Phi_b}{dt} = \frac{\Phi_b(0)}{\tau R}\,e^{-t/\tau}$$

positiva, cioè nel verso convenzionale delle spire del solenoide: per Lenz la bobina cerca di sostenere il flusso che cala. Il valore iniziale è $\frac{6{,}36 \cdot 10^{-4}}{2{,}6 \cdot 15} = 1{,}63 \cdot 10^{-5}\ \text{A}$; a $t_1 = 3\tau$:

$$I_b(3\tau) = 1{,}63 \cdot 10^{-5} \cdot e^{-3} = 8{,}12 \cdot 10^{-7}\ \text{A}$$

(d) Energia dissipata nella bobina

$$U(t) = \int_0^t R\,I_b^2\,dt' = \frac{\Phi_b(0)^2}{\tau^2 R}\int_0^t e^{-2t'/\tau}dt' = \frac{\Phi_b(0)^2}{2\tau R}\left(1 - e^{-2t/\tau}\right)$$

A $t_2 = 2\tau$:

$$U(2\tau) = \frac{(6{,}36 \cdot 10^{-4})^2}{2 \cdot 2{,}6 \cdot 15}\left(1 - e^{-4}\right) = 5{,}18 \cdot 10^{-9} \cdot 0{,}982 = 5{,}09 \cdot 10^{-9}\ \text{J}$$

Un'energia minuscola, perché la variazione è lenta ($\tau = 2{,}6\ \text{s}$) e la resistenza grande: la potenza va come $(d\Phi/dt)^2/R$.

Verifica numerica

import numpy as np
mu0 = 4e-7*np.pi
Ns, mur, h, S, d, I0 = 2300, 8.2, 0.032, 7.5e-4, 0.64, 25
Nb, a, R, tau = 12, 0.011, 15, 2.6
B0 = mur*mu0*Ns*I0/(2*np.pi*d + (mur - 1)*h)
L = Ns*B0*S/I0; Hint = B0/(mur*mu0); M = (mur - 1)*Hint
print(B0, L, Hint, B0/mu0, M)                  # 0.139 T, 9.62e-3 H, 1.35e4, 1.11e5, 9.74e4 A/m
Phi0 = Nb*np.pi*a**2*B0
print(Phi0, Phi0/(tau*R)*np.exp(-3))           # 6.36e-4 Wb, 8.12e-7 A
print(Phi0**2/(2*tau*R)*(1 - np.exp(-4)))      # 5.09e-9 J

Risultati

Errori comuni

• Usare $B = \mu_0\mu_r N_sI_0/2\pi d$ ignorando il traferro: nell'aria $H$ è $\mu_r$ volte più grande e "consuma" una parte delle amperspire.
• Prendere $H$ continuo attraverso il traferro: è $B$ (normale alla faccia) a essere continuo.
• Usare $\mu_r$ per il campo nella bobina: la bobina è nell'aria, ma il campo $B$ è lo stesso del nucleo; cambia $H$, non $B$.