Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica

Segue Legge di Faraday-Neumann-LenzOgni volta che il flusso di B concatenato con un circuito cambia (perché cambia B, l'area o l'orientazione) nel circuito nasce una f.e.m. indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione. La carica che circola è q = ΔΦ/R (legge di Felici). Una sbarretta che scorre su rotaie dà ℰ = Bℓv ed è frenata da F = B²ℓ²v/R. Un campo B variabile produce un campo elettrico indotto non conservativo: ∮E·dl = −dΦ/dt, rot E = −∂B/∂t. Applicazioni: correnti di Foucault, alternatore.Legge di Faraday-Neumann-Lenz →. Ricalca Carica e scarica di un condensatoreIn un circuito RC la carica del condensatore non cambia di colpo: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), in scarica q(t) = q0 e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC. Dopo qualche τ il transitorio è finito. Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà finisce nel condensatore e metà si dissipa nella resistenza, qualunque sia R.Carica e scarica di un condensatore →, con l'induttanza al posto della capacità. Seguito: Mutua induzioneDue circuiti vicini si scambiano flusso: il flusso prodotto dal circuito 1 e concatenato con il 2 è Φ21 = M i1, e il coefficiente di mutua induzione M (in henry) è lo stesso nei due sensi, M12 = M21. Una corrente variabile in un circuito induce nell'altro la f.e.m. −M di/dt. Per una bobina di N spire di area A dentro un solenoide con n spire per metro, M = μ0 n N A cosθ. L'energia di due circuiti accoppiati è ½L1 i1² + ½L2 i2² + M i1 i2. Su questo funziona il trasformatore: V2/V1 = N2/N1.Mutua induzione →. Esercizi: Esercizio 34 · solenoide avvolto con un filo dato, Esercizio 42 · circuito RL e lavoro del generatore, Esercizio 43 · induttore e condensatore in un circuito con due interruttori, Esercizio 46 · toroide con nucleo e traferro, Esercizio 47 · cilindro di ferro estratto da un solenoide.

Il flusso autoconcatenato e l'induttanza

Un circuito percorso dalla corrente $i$ produce un campo magnetico, e questo campo ha un flusso anche attraverso il circuito stesso: l'autoflusso. Per la legge di LaplacedB = (μ0/4π) i dl × u_r / r²: il campo di un circuito è proporzionale alla sua corrente.Prima legge di Laplace e legge di Biot-Savart → il campo, in ogni punto, è proporzionale a $i$; quindi anche il flusso lo è:

$$\boxed{\Phi = L\,i}$$

La costante $L$ si chiama coefficiente di autoinduzione o induttanza del circuito. Dipende solo dalla forma e dalle dimensioni del circuito (e dal materiale che c'è attorno), non dalla corrente. Unità: $\text{Wb/A} =$ henry (H). Valori tipici: da $\mu\text{H}$ (pochi giri di filo) a qualche henry (bobine con molte spire e nucleo di ferro).

Come si calcola. Si suppone che nel circuito passi una corrente $i$, si calcola il campo che produce, se ne calcola il flusso concatenato (contando $N$ volte se le spire sono $N$) e si divide per $i$.

Solenoide di lunghezza $\ell$, sezione $S$, $N$ spire ($n = N/\ell$ per metro). Il campo interno è uniformeSolenoide indefinito: B = μ0 n i dentro, zero fuori.Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère →, $B = \mu_0 n i$; ogni spira concatena il flusso $BS$, tutte e $N$ insieme $NBS$:

$$L = \frac{NBS}{i} = \mu_0\,n\,N\,S = \boxed{\mu_0\,n^2\,S\,\ell = \mu_0\,\frac{N^2 S}{\ell}}$$

$L$ cresce con il quadrato del numero di spire: raddoppiandole raddoppia il campo e raddoppia anche il numero di spire che lo concatenano. Con un nucleo di permeabilità relativa $\mu_r$ (vedi Magnetizzazione e campo HNella materia ogni atomo si comporta come una piccola spira (correnti amperiane). Il vettore magnetizzazione M è il momento magnetico per unità di volume (A/m); un materiale magnetizzato equivale a correnti di magnetizzazione, superficiali k_m = M × n e di volume j_m = rot M. Il campo H = B/μ0 − M ha come sorgenti solo le correnti libere: ∮H·dl = i_libere. Nei materiali lineari M = χm H e B = μ0 μr H, con μr = 1 + χm. In un solenoide pieno di materiale H = n i e B = μ0 μr n i.Magnetizzazione e campo H →) il campo e quindi $L$ si moltiplicano per $\mu_r$.

Esempio: $N = 500$ spire su $\ell = 10\ \text{cm}$ con sezione $S = 4\ \text{cm}^2$: $L = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac{500^2 \cdot 4 \cdot 10^{-4}}{0{,}1} = 1{,}26\ \text{mH}$.

Solenoide toroidale con $N$ spire e sezione $S$ piccola rispetto al raggio medio $r$: $B = \mu_0 N i/2\pi r$, quindi $L = \dfrac{\mu_0 N^2 S}{2\pi r}$ (è il solenoide, con $\ell = 2\pi r$).

Cavo coassiale (raggi $a$ e $b$): il flusso per unità di lunghezza tra i conduttori è quello calcolato nell'Esercizio 33 · cavo coassiale e teorema di Ampère, e $\dfrac{L}{\ell} = \dfrac{\mu_0}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}$.

La f.e.m. autoindotta

Se la corrente cambia, cambia l'autoflusso, e per la legge di Faradayℰ = −dΦ/dt; la corrente indotta si oppone alla variazione di flusso (Lenz).Legge di Faraday-Neumann-Lenz → nel circuito nasce una f.e.m.

$$\boxed{\mathcal E_L = -L\,\frac{di}{dt}}$$

Per la legge di Lenz si oppone alla variazione della corrente: se la corrente cresce, $\mathcal E_L$ agisce contro di essa; se cala, agisce per mantenerla. L'induttanza è l'inerzia del circuito rispetto alle variazioni di corrente, come la massa lo è rispetto alle variazioni di velocità.

Conseguenze:

• la corrente in un induttore non può cambiare di colpo: servirebbe una f.e.m. infinita (come la tensione di un condensatore non può saltare);
• a corrente costante $\mathcal E_L = 0$: un induttore ideale si comporta come un semplice filo.

Nei circuiti l'induttore si disegna come una molla e si tratta come un elemento ai cui capi c'è la tensione $L\,di/dt$ (nel verso della corrente, come una caduta di tensione su una resistenza).

Circuito RL: chiusura

Un generatore $\mathcal E$, una resistenza $R$ e un induttore $L$ in serie; l'interruttore si chiude a $t = 0$. Legge delle maglie:

$$\mathcal E - L\,\frac{di}{dt} = R\,i$$

È la stessa equazione del circuito RCq(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)) con τ = RC: l'equazione è del primo ordine a variabili separabili.Carica e scarica di un condensatore →, con $i$ al posto di $q$. Separando le variabili e integrando da $(0, 0)$:

$$\boxed{i(t) = \frac{\mathcal E}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = \frac{L}{R}}$$

• a $t = 0$ la corrente è nulla: l'induttore appena collegato si comporta come un circuito aperto (tutta la tensione del generatore sta ai suoi capi, $L\,di/dt = \mathcal E$);
• a regime $i = \mathcal E/R$: l'induttore è un filo;
• in mezzo la corrente cresce con costante di tempo $\tau = L/R$ (in secondi: $\frac{\text{H}}{\Omega} = \frac{\text{V s/A}}{\text{V/A}} = \text{s}$). Dopo $\tau$ è al $63\%$ del valore finale, dopo $5\tau$ è praticamente a regime.

La tensione sull'induttore è $V_L = L\,\frac{di}{dt} = \mathcal E\,e^{-t/\tau}$: parte da $\mathcal E$ e si annulla.

Perché proprio $L/R$. Una $L$ grande frena di più le variazioni; una $R$ grande dà una corrente finale piccola, che si raggiunge prima. Se la corrente crescesse sempre con la pendenza iniziale $\mathcal E/L$, arriverebbe al valore finale $\mathcal E/R$ in un tempo $L/R$.

Circuito RL: apertura (o cortocircuito)

Il circuito porta la corrente $i_0$; a $t = 0$ si toglie il generatore lasciando chiusa la maglia con la resistenza. Ora $-L\,di/dt = Ri$, e

$$\boxed{i(t) = i_0\,e^{-t/\tau}}$$

La corrente non si ferma di colpo: l'induttore la "spinge" ancora per qualche $\tau$.

L'extracorrente di apertura. Se invece si apre il circuito di colpo (resistenza enorme), la corrente dovrebbe andare a zero in un tempo brevissimo, e $L\,di/dt$ diventa enorme: ai capi dell'interruttore nasce una tensione molto alta, che può far scoccare una scintilla. Per proteggere i circuiti si mette un diodo o una resistenza in parallelo all'induttore. Lo stesso effetto, voluto, serve nelle bobine di accensione delle automobili.

L'energia immagazzinata in un induttore

Bilancio durante la chiusura. Moltiplicando la legge delle maglie per $i$:

$$\mathcal E\,i = R\,i^2 + L\,i\,\frac{di}{dt} = R\,i^2 + \frac{d}{dt}\left(\frac12 L i^2\right)$$

La potenza del generatore va in parte in calore ($Ri^2$), in parte ad aumentare la quantità $\frac12 Li^2$. Questa è l'energia magnetica dell'induttore: per portare la corrente da $0$ a $i$ il generatore deve fare lavoro contro la f.e.m. autoindotta, $\int L\,i\,di = \frac12 Li^2$.

$$\boxed{U_B = \frac12\,L\,i^2 = \frac12\,\Phi\,i = \frac{\Phi^2}{2L}}$$

Quando si toglie il generatore e la corrente si spegne nella resistenza, tutta quest'energia si dissipa per effetto Joule:

$$\int_0^\infty R\,i_0^2\,e^{-2t/\tau}\,dt = R\,i_0^2\,\frac{\tau}{2} = R\,i_0^2\,\frac{L}{2R} = \frac12 L i_0^2$$

Bilancio completo della chiusura. Nell'intervallo da $0$ a $t$ il generatore fornisce $W_g = \int_0^t \mathcal E i\,dt$; con $i_0 = \mathcal E/R$:

$$W_g = \mathcal E\,i_0\left[t - \tau\left(1 - e^{-t/\tau}\right)\right]$$

e la differenza tra $W_g$ e l'energia $\frac12 Li(t)^2$ accumulata nell'induttore è l'energia dissipata nella resistenza.

La densità di energia magnetica

Dove sta quest'energia? Nel campo magnetico, come quella del condensatore stava nel campo elettrico. Per un solenoide ($L = \mu_0 n^2 S\ell$, $B = \mu_0 n i$):

$$U_B = \frac12\,\mu_0 n^2 S\ell\,i^2 = \frac{(\mu_0 n i)^2}{2\mu_0}\,S\ell = \frac{B^2}{2\mu_0}\,(S\ell)$$

$S\ell$ è il volume interno, dove c'è il campo (fuori è nullo). L'energia per unità di volume è

$$\boxed{u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}}$$

Il risultato vale per qualsiasi campo magnetico, non solo nel solenoide: l'energia totale si ottiene integrando $u_B$ su tutto lo spazio, $U_B = \int \frac{B^2}{2\mu_0}\,d\tau$. Nella materia lineare diventa $u_B = \frac{B^2}{2\mu} = \frac12 \vec B \cdot \vec H$.

Confronto. Densità di energia elettrica $u_E = \frac12\varepsilon_0E^2$, magnetica $u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$. Un campo di $1\ \text{T}$ contiene $\frac{1}{2 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7}} = 4 \cdot 10^5\ \text{J/m}^3$; per avere la stessa densità con un campo elettrico servirebbero $3 \cdot 10^8\ \text{V/m}$, cento volte la rigidità dell'aria. Per questo i campi magnetici sono il modo pratico di immagazzinare energia elettromagnetica in grande quantità.

Calcolare $L$ dall'energia. A volte è più comodo calcolare l'energia del campo e poi ricavare $L = 2U_B/i^2$. Per esempio per il cavo coassiale, integrando $\frac{B^2}{2\mu_0}$ con $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ su gusci cilindrici di volume $2\pi r\ell\,dr$ tra $a$ e $b$ si ritrova $\frac{\mu_0\ell}{4\pi}\ln\frac ba\,i^2 = \frac12 Li^2$.

Errori comuni

• Dimenticare il quadrato di $N$ (o di $n$) nell'induttanza del solenoide.
• Usare $\tau = RL$ o $\tau = R/L$: la costante di tempo è $L/R$.
• Mettere corrente nell'induttore subito dopo la chiusura: la corrente parte da zero (o dal valore che aveva prima).
• Contare l'induttore nella corrente di regime: in continua, a regime, è un filo.
• Pensare che l'energia magnetica sparisca togliendo il generatore: si dissipa nella resistenza durante la scarica.