Esercizio 55due polarizzatori e trasmissione a 45 gradi

Testo (I appello, 23 gennaio 2024, problema 3). Una sorgente naturale illumina con incidenza normale, nel vuoto, un polarizzatore ideale (senza riflessione né assorbimento) con asse ottico contenuto nel piano del foglio, con intensità pari a $I_0 = 1400\ \text{W/m}^2$. Si vuole che, dopo essere passata da un secondo polarizzatore, fornisca un'intensità finale $I_2$ pari al 10% di quella iniziale.

a) Che angolo deve avere il secondo polarizzatore rispetto al primo (più di una soluzione nell'angolo giro)?

Si prenda ora il valore più piccolo e positivo tra quelli trovati al punto precedente. Assumendo che questa radiazione finale incida con un angolo di incidenza $\theta_i = 45°$ su una superficie di separazione con un mezzo di indice di rifrazione $n = 1{,}25$:

b) Quanto vale il modulo della componente σ del campo elettrico prima dell'incidenza? c) Quanta intensità viene trasmessa nel piano di incidenza π?

Teoria: Polarizzatori e legge di MalusUn polarizzatore ideale lascia passare solo la componente del campo elettrico parallela al suo asse ottico (di trasmissione) e assorbe l'altra. Se la luce incidente è polarizzata linearmente e forma l'angolo θ con l'asse, esce E0 cos θ e l'intensità diventa I = I0 cos²θ (legge di Malus); la luce esce polarizzata lungo l'asse. La luce naturale perde sempre metà dell'intensità: I = I0/2. Due polarizzatori incrociati non lasciano passare nulla, ma inserendone un terzo a 45° in mezzo passa I0/8. Con una miscela di luce polarizzata e naturale: I = Inat/2 + Ipol cos²θ.Polarizzatori e legge di Malus →, Coefficienti di Fresnel e angolo di BrewsterIl campo elettrico dell'onda si scompone nella componente σ (perpendicolare al piano di incidenza) e π (nel piano). I coefficienti di Fresnel danno i rapporti tra le ampiezze: rσ = −sin(θi−θt)/sin(θi+θt), rπ = tan(θi−θt)/tan(θi+θt); a incidenza normale r = (n1−n2)/(n1+n2). La frazione di potenza riflessa è R = r², quella trasmessa T = 1 − R; aria-vetro a incidenza normale R = 4%. L'intensità trasmessa è T·Ii·cosθi/cosθt perché il fascio cambia sezione. Riflettendo su un mezzo più denso l'onda si inverte (sfasamento π). All'angolo di Brewster tan θB = n2/n1 (θi + θt = 90°) la componente π non viene riflessa: la luce riflessa è tutta polarizzata σ.Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster →.

a) Angolo tra i polarizzatori

Primo polarizzatore. La luce è naturale: qualunque sia l'orientazione dell'asse passa metà dell'intensitàPer la luce naturale la media di cos²θ su tutte le direzioni è 1/2.Polarizzatori e legge di Malus →, e la luce esce polarizzata lungo l'asse (nel piano del foglio):

$$I_1 = \frac{I_0}{2} = 700\ \text{W/m}^2$$

Secondo polarizzatore. Ora la luce è polarizzata: vale la legge di Malus con l'angolo $\theta$ tra i due assi:

$$I_2 = I_1\cos^2\theta = \frac{I_0}{10} \quad\Longrightarrow\quad \cos^2\theta = \frac{I_0/10}{I_0/2} = \frac15 \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta = \pm\frac{1}{\sqrt5} = \pm 0{,}447$$

Nell'angolo giro ci sono quattro soluzioni:

$$\theta = \pm 63{,}4° \qquad\text{e}\qquad \theta = \pm 116{,}6°$$

(cioè $63{,}4°$, $116{,}6°$, $243{,}4°$, $296{,}6°$). Sono tutte equivalenti: un asse ottico è una retta, e ruotarlo di $180°$ non cambia niente ($116{,}6° = 180° - 63{,}4°$).

b) Componente σ del campo

Campo dopo il secondo polarizzatore. Si prende $\theta = 63{,}4°$. Il campo è lungo l'asse del secondo polarizzatore; il suo modulo viene dall'intensità $I_2 = 140\ \text{W/m}^2$:

$$E = \sqrt{\frac{2I_2}{\varepsilon_0 c}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 140}{8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 3 \cdot 10^8}} = 324{,}8\ \text{V/m}$$

Scomposizione. Il testo sottintende che il piano di incidenza sulla superficie coincida con il piano del foglio, che contiene l'asse del primo polarizzatore. Allora il campo, inclinato di $\theta$ rispetto al foglio, ha:

• componente π (nel piano di incidenza): $E_\pi = E\cos\theta$;
• componente σ (perpendicolare al piano di incidenza): $E_\sigma = E\sin\theta$.

Con $\cos\theta = 1/\sqrt5$ e $\sin\theta = 2/\sqrt5$:

$$E_\sigma = E\sin\theta = 324{,}8 \cdot 0{,}894 = 290{,}5\ \text{V/m}, \qquad E_\pi = E\cos\theta = 145{,}2\ \text{V/m}$$

c) Intensità trasmessa nel piano π

Intensità π incidente.

$$I_{2\pi} = \frac12\varepsilon_0 c\,E_\pi^2 = I_2\cos^2\theta = 140 \cdot \frac15 = 28\ \text{W/m}^2$$

Angolo di trasmissione (Snell, dal vuoto al mezzo):

$$\sin\theta_t = \frac{\sin 45°}{1{,}25} = 0{,}566 \quad\Longrightarrow\quad \theta_t = 34{,}45°$$

Coefficiente di Fresnel π.

$$R_\pi = \frac{\tan^2(\theta_i - \theta_t)}{\tan^2(\theta_i + \theta_t)} = \frac{\tan^2(10{,}55°)}{\tan^2(79{,}45°)} = 0{,}0012, \qquad T_\pi = 1 - R_\pi = 0{,}9988$$

Quasi tutto passa: $45°$ è vicino all'angolo di Brewster di questa superficie ($\arctan 1{,}25 = 51{,}3°$), dove $R_\pi$ si annulla.

Intensità trasmessa. $T_\pi$ è la frazione di potenza; il fascio trasmesso ha sezione diversa da quello incidente, nel rapporto $\cos\theta_t/\cos\theta_i$ (vedi Coefficienti di Fresnel e angolo di BrewsterIl campo elettrico dell'onda si scompone nella componente σ (perpendicolare al piano di incidenza) e π (nel piano). I coefficienti di Fresnel danno i rapporti tra le ampiezze: rσ = −sin(θi−θt)/sin(θi+θt), rπ = tan(θi−θt)/tan(θi+θt); a incidenza normale r = (n1−n2)/(n1+n2). La frazione di potenza riflessa è R = r², quella trasmessa T = 1 − R; aria-vetro a incidenza normale R = 4%. L'intensità trasmessa è T·Ii·cosθi/cosθt perché il fascio cambia sezione. Riflettendo su un mezzo più denso l'onda si inverte (sfasamento π). All'angolo di Brewster tan θB = n2/n1 (θi + θt = 90°) la componente π non viene riflessa: la luce riflessa è tutta polarizzata σ.Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster →):

$$I_{t\pi} = T_\pi\,I_{2\pi}\,\frac{\cos\theta_i}{\cos\theta_t} = 0{,}9988 \cdot 28 \cdot \frac{0{,}7071}{0{,}8246} = 24{,}0\ \text{W/m}^2$$

La potenza π passa quasi tutta, ma si distribuisce su un fascio più largo: l'intensità scende da $28$ a $24\ \text{W/m}^2$.

Verifica numerica

import numpy as np
eps0, c, I0 = 8.854e-12, 2.998e8, 1400
I1, I2 = I0/2, I0/10
th = np.arccos(np.sqrt(I2/I1))
E = np.sqrt(2*I2/(eps0*c))
print(np.degrees(th), E, E*np.sin(th), E*np.cos(th))   # 63.43, 324.8, 290.5, 145.2 V/m
Ip = I2*np.cos(th)**2
ti = np.radians(45); tt = np.arcsin(np.sin(ti)/1.25)
Rp = (np.tan(ti - tt)/np.tan(ti + tt))**2
print(Ip, np.degrees(tt), Rp)                    # 28 W/m^2, 34.45 gradi, 0.0012
print((1 - Rp)*Ip*np.cos(ti)/np.cos(tt))         # 23.98 W/m^2

Risultati

Errori comuni

• Applicare Malus al primo polarizzatore: con luce naturale passa sempre metà.
• Scambiare seno e coseno: π è la componente nel piano del foglio (che contiene l'asse del primo polarizzatore), quindi $E\cos\theta$.
• Fermarsi a $T_\pi I_{2\pi}$: quella è la potenza trasmessa per unità di sezione del fascio incidente.