Esercizio 64venti fenditure in un blocco di vetro con un difetto

Testo (III appello, 20 giugno 2024, problema 3). Un parallelepipedo di vetro (indice di rifrazione $n = 1{,}5$) contiene nel suo centro uno schermo con $N = 20$ fenditure lineari parallele di larghezza trascurabile e con spaziatura $d = 10\ \mu\text{m}$ tra due successive. Su una faccia esterna del blocco di vetro è posto uno schermo parallelo al piano delle fenditure, a distanza dal piano $L = 1\ \text{cm}$. Dalla parte opposta le fenditure sono investite da un fascio di luce monocromatica di frequenza $\nu = 5 \cdot 10^{14}\ \text{Hz}$, incidente normalmente al piano delle fenditure. Ogni fenditura trasmette un fascio di intensità $I_0 = 20\ \text{mW/m}^2$. Si osserva la figura di interferenza sullo schermo. Determinare:

1. la distanza $x_3 - x_1$ tra le frange corrispondenti al primo ordine e al terzo ordine dei massimi principali di interferenza;
2. l'ampiezza massima del campo magnetico sullo schermo nel punto dove si trova il massimo di interferenza di ordine 0, $B_{\max}$;
3. l'intensità della luce nel punto $x_0 = 0$ nel caso in cui sia presente un difetto nel vetro, nella forma di uno strato vuoto di spessore $h = 100\ \text{nm}$ di fronte alle 10 fenditure a sinistra.

Teoria: Interferenza di N sorgenti e onde stazionarieN sorgenti coerenti, uguali ed equidistanti (passo d), come N fenditure sottili: tra due sorgenti vicine c'è la differenza di fase δ = 2π d sin θ/λ e l'intensità è I = I0 sin²(Nδ/2)/sin²(δ/2). Massimi principali per d sin θ = mλ, con intensità N²I0; minimi per d sin θ = m'λ/N (m' non multiplo di N): tra due massimi principali ci sono N − 1 minimi e N − 2 massimi secondari deboli. Più sorgenti = massimi più alti (N²) e più stretti (1/N). Due onde uguali che viaggiano in versi opposti formano un'onda stazionaria 2A sin(kx) cos(ωt): nodi fissi ogni λ/2, nessun trasporto di energia; davanti a uno specchio metallico E ha un nodo sullo specchio.Interferenza di N sorgenti e onde stazionarie →, Interferenza di due sorgenti ed esperimento di YoungDue onde coerenti (stessa frequenza, differenza di fase costante) con la stessa polarizzazione che si sovrappongono danno I = I1 + I2 + 2√(I1 I2) cos δ, con δ = k(r2 − r1) + sfasamento tra le sorgenti. Massimi (interferenza costruttiva) per δ = 2mπ, cioè r2 − r1 = mλ; minimi (distruttiva) per δ = (2m+1)π, cioè r2 − r1 = (m + ½)λ. Con intensità uguali I = 4I0 cos²(δ/2): massimi 4I0, minimi 0. Onde incoerenti o polarizzate perpendicolarmente non interferiscono: I = I1 + I2. Esperimento di Young (fenditure a distanza d, schermo a distanza L): massimi a d sin θ = mλ, frange equidistanti di passo Δx = λL/d. In un mezzo conta il cammino ottico n·r; una lamina di spessore s davanti a una fenditura sfasa di 2π(n−1)s/λ0.Interferenza di due sorgenti ed esperimento di Young →.

1. Distanza tra i massimi di ordine 1 e 3

Lunghezza d'onda nel vetro. Tutto il percorso tra fenditure e schermo è nel vetro, dove la luce ha

$$\lambda_v = \frac{\lambda_0}{n} = \frac{c}{n\nu} = \frac{3 \cdot 10^8}{1{,}5 \cdot 5 \cdot 10^{14}} = 400\ \text{nm}$$

(nel vuoto $\lambda_0 = 600\ \text{nm}$).

Massimi principali. Per N fenditureI massimi principali sono dove tutte le onde arrivano in fase: d sin θ = mλ, con intensità N²I0.Interferenza di N sorgenti e onde stazionarie → $d\sin\theta = m\lambda_v$. Gli angoli sono piccoli ($\sin\theta_3 = 3 \cdot 0{,}4/10 = 0{,}12$), quindi $x = L\tan\theta \approx L\sin\theta = mL\lambda_v/d$:

$$x_3 - x_1 = (3 - 1)\,\frac{\lambda_vL}{d} = 2 \cdot \frac{400 \cdot 10^{-9} \cdot 10^{-2}}{10 \cdot 10^{-6}} = 0{,}8\ \text{mm}$$

(Senza approssimazione: $x_1 = L\tan(\arcsin 0{,}04) = 0{,}400\ \text{mm}$, $x_3 = L\tan(\arcsin 0{,}12) = 1{,}208\ \text{mm}$, differenza $0{,}81\ \text{mm}$.)

2. Campo magnetico nel massimo centrale

Intensità. Nel massimo di ordine 0 le 20 onde arrivano in fase:

$$I = N^2I_0 = 400 \cdot 20 \cdot 10^{-3} = 8\ \text{W/m}^2$$

Campi nel vetro. Nel mezzoI = n E0²/(2Z0), e i campi sono legati da E = vB = cB/n.Principio di Huygens, riflessione e rifrazione →:

$$E_{\max} = \sqrt{\frac{2Z_0I}{n}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 376{,}7 \cdot 8}{1{,}5}} = 63{,}4\ \text{V/m}, \qquad B_{\max} = \frac{E_{\max}}{v} = \frac{nE_{\max}}{c} = 3{,}17 \cdot 10^{-7}\ \text{T}$$

3. Intensità al centro con il difetto

Lo sfasamento. Davanti alle 10 fenditure di sinistra c'è uno strato vuoto spesso $h$: le loro onde percorrono un tratto $h$ nel vuoto invece che nel vetro, e il loro cammino ottico diminuisce di $(n - 1)h$. Al centro dello schermo ($\theta = 0$) i cammini geometrici sono uguali, quindi tra le onde del gruppo di sinistra e quelle del gruppo di destra c'è la differenza di fase

$$\delta = \frac{2\pi}{\lambda_0}(n - 1)\,h = \frac{2\pi \cdot 0{,}5 \cdot 100 \cdot 10^{-9}}{600 \cdot 10^{-9}} = \frac{\pi}{6}$$

(Equivalentemente $\frac{2\pi h}{\lambda_v} - \frac{2\pi h}{\lambda_0}$: nel vetro le lunghezze d'onda contenute nello spessore $h$ sono di più.)

Due gruppi. Al centro le 10 onde di ciascun gruppo sono in fase tra loro. Ogni gruppo produce quindi un campo dieci volte quello di una fenditura, con intensità

$$I_{1/2} = \left(\frac{N}{2}\right)^2I_0 = 100 \cdot 0{,}02 = 2\ \text{W/m}^2$$

I due gruppi sono coerenti e sfasati di $\delta$: si applica la formula di due onde ugualiI = 2I0(1 + cos δ) = 4I0 cos²(δ/2).Interferenza di due sorgenti ed esperimento di Young →:

$$I = 2I_{1/2}(1 + \cos\delta) = 2 \cdot 2 \cdot (1 + \cos 30°) = 4 \cdot 1{,}866 = 7{,}46\ \text{W/m}^2$$

Equivalentemente $I = N^2I_0\cos^2(\delta/2) = 8\cos^2 15° = 7{,}46\ \text{W/m}^2$: il difetto, con uno sfasamento piccolo, abbassa il massimo centrale solo del 7%.

(Nel testo della soluzione ufficiale compare $I_{1/2} = 5\ \text{W/m}^2$, un refuso: il risultato finale $7{,}46\ \text{W/m}^2$ è quello che si ottiene con $2\ \text{W/m}^2$.)

Verifica numerica

import numpy as np
Z0, c = 376.73, 3e8
n, N, d, L, nu, I0, h = 1.5, 20, 10e-6, 0.01, 5e14, 20e-3, 100e-9
lv = c/(nu*n); print(lv, 2*lv*L/d)               # 4.0e-7 m, 8.0e-4 m
I = N**2*I0; E = np.sqrt(2*Z0*I/n)
print(I, E, n*E/c)                               # 8 W/m^2, 63.4 V/m, 3.17e-7 T
delta = 2*np.pi*(n - 1)*h/(c/nu)
print(delta/np.pi, 2*(N/2)**2*I0*(1 + np.cos(delta)))   # 1/6, 7.46 W/m^2

Risultati

Errori comuni

• Usare la lunghezza d'onda nel vuoto per le frange: tra fenditure e schermo c'è vetro.
• Usare $B = E/c$ nel vetro: lì $B = E/v = nE/c$.
• Sfasare tra loro tutte le 20 onde: al centro le onde di ciascun gruppo sono in fase; lo sfasamento c'è solo tra i due gruppi.