Esercizio 33cavo coassiale e teorema di Ampère

Testo (esercizio di allenamento sul teorema di Ampère). Un cavo coassiale molto lungo è formato da un conduttore centrale pieno di raggio $a = 1\ \text{mm}$, percorso dalla corrente $i = 5\ \text{A}$ distribuita uniformemente nella sezione, e da un guscio cilindrico sottile coassiale di raggio $b = 4\ \text{mm}$, percorso dalla stessa corrente in verso opposto (è il conduttore di ritorno).

a) Calcolare il campo magnetico a distanza $r = 0{,}5\ \text{mm}$, $r = 2\ \text{mm}$ e $r = 6\ \text{mm}$ dall'asse. b) Disegnare l'andamento di $B(r)$. c) Calcolare il flusso del campo magnetico, per metro di cavo, attraverso il rettangolo che va dalla superficie del conduttore centrale al guscio ($a < r < b$) in un piano che contiene l'asse.

Teoria: Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di AmpèreLe linee del campo magnetico sono chiuse: il flusso di B attraverso qualunque superficie chiusa è nullo (div B = 0, non esistono monopoli). La circuitazione di B lungo una linea chiusa vale μ0 per la corrente concatenata (teorema di Ampère, rot B = μ0 j). Con la simmetria giusta Ampère dà subito il campo: filo spesso, solenoide indefinito B = μ0 n i (uniforme dentro, nullo fuori), toroide B = μ0 N i/2πr.Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère →.

Simmetria e scelta della linea

La distribuzione di corrente ha simmetria cilindrica: ruotando il cavo attorno all'asse o traslandolo lungo l'asse non cambia nulla. Quindi il campo può dipendere solo dalla distanza $r$ dall'asse, e (come per un filo) le sue linee sono circonferenze coassiali. Si applica il teorema di AmpèreLa circuitazione di B lungo una linea chiusa vale μ0 per la corrente concatenata.Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère → a una circonferenza di raggio $r$: su di essa $B$ è costante e tangente, quindi

$$\oint \vec B \cdot d\vec l = B \cdot 2\pi r = \mu_0\,i_{\text{conc}}(r) \quad\Longrightarrow\quad B(r) = \frac{\mu_0\,i_{\text{conc}}(r)}{2\pi r}$$

Tutto il problema si riduce a contare la corrente concatenata in ciascuna zona.

a) Il campo nelle tre zone

Dentro il conduttore centrale ($r < a$). La corrente è uniforme: la densità è $j = i/\pi a^2$ e la circonferenza di raggio $r$ racchiude la frazione $\pi r^2/\pi a^2$ della corrente:

$$i_{\text{conc}} = i\,\frac{r^2}{a^2} \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{\mu_0\,i\,r}{2\pi a^2}$$

A $r = 0{,}5\ \text{mm}$: $B = \dfrac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 10^{-4}}{2\pi \cdot 10^{-6}} = 5{,}0 \cdot 10^{-4}\ \text{T}$.

Tra i due conduttori ($a < r < b$). È concatenata tutta la corrente centrale:

$$i_{\text{conc}} = i \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$$

come un filo sottile. A $r = 2\ \text{mm}$: $B = \dfrac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 5}{2 \cdot 10^{-3}} = 5{,}0 \cdot 10^{-4}\ \text{T}$.

Fuori dal cavo ($r > b$). Sono concatenate entrambe le correnti, uguali e opposte:

$$i_{\text{conc}} = i - i = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = 0$$

A $r = 6\ \text{mm}$: $B = 0$. È il pregio del cavo coassiale: il campo magnetico resta tutto dentro il cavo, e il cavo non disturba (e non è disturbato da) ciò che sta fuori.

(I due valori uguali a $0{,}5$ e $2\ \text{mm}$ sono una coincidenza: $r/a^2$ e $1/r$ danno lo stesso numero per $r = a/2$ e $r = 2a$.)

b) Andamento

$B$ cresce linearmente da zero sull'asse fino al massimo sulla superficie del conduttore centrale, $B(a) = \frac{\mu_0 i}{2\pi a} = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\ \text{T}$; poi cala come $1/r$ fino al guscio, dove scende bruscamente a zero (attraversando il guscio sottile la corrente concatenata passa da $i$ a $0$).

c) Flusso tra i conduttori

Il rettangolo sta in un piano che contiene l'asse, è lungo $\ell = 1\ \text{m}$ e va da $r = a$ a $r = b$. Le linee di campo (circonferenze attorno all'asse) lo attraversano perpendicolarmente. Il campo dipende da $r$, quindi si divide il rettangolo in strisce di larghezza $dr$ e area $\ell\,dr$, in ciascuna delle quali $B$ è costante:

$$\Phi = \int_a^b B(r)\,\ell\,dr = \frac{\mu_0 i\,\ell}{2\pi}\int_a^b\frac{dr}{r} = \frac{\mu_0 i\,\ell}{2\pi}\ln\frac ba$$

Per metro:

$$\frac{\Phi}{\ell} = 2 \cdot 10^{-7} \cdot 5 \cdot \ln 4 = 1{,}39 \cdot 10^{-6}\ \text{Wb/m}$$

Questo flusso, diviso per la corrente, è l'induttanza per unità di lunghezza del cavo, $\frac{L}{\ell} = \frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac ba = 0{,}28\ \mu\text{H/m}$ (se si trascura il campo dentro il conduttore centrale): tornerà in Autoinduzione, circuiti RL ed energia magneticaLa corrente di un circuito produce un flusso concatenato con il circuito stesso, Φ = L i; L (induttanza, in henry) dipende solo dalla geometria: per un solenoide L = μ0 n² S ℓ. Se la corrente cambia nasce una f.e.m. autoindotta −L di/dt che si oppone alla variazione. In un circuito RL la corrente cresce come i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)) e si spegne come i0 e^(−t/τ), con τ = L/R. Un induttore percorso da corrente immagazzina l'energia ½ L i², distribuita nel campo con densità u = B²/2μ0.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica →. Si noti l'analogia con la capacità del condensatore cilindrico, dove compare lo stesso logaritmo.

Verifica numerica

import numpy as np
mu0, i, a, b = 4e-7*np.pi, 5, 1e-3, 4e-3
def B(r):
    if r < a: return mu0*i*r/(2*np.pi*a**2)
    if r < b: return mu0*i/(2*np.pi*r)
    return 0.0
print(B(0.5e-3), B(2e-3), B(6e-3), B(a*0.999999))   # 5e-4, 5e-4, 0, 1e-3 T
print(mu0*i/(2*np.pi)*np.log(b/a))                   # 1.39e-6 Wb/m

Risultati

Errori comuni

• Usare tutta la corrente dentro il conduttore centrale: la circonferenza di raggio $r < a$ ne racchiude solo la frazione $r^2/a^2$.
• Dimenticare la corrente di ritorno fuori dal cavo: le correnti concatenate si sommano con il segno.
• Calcolare il flusso come $B$ per area con $B$ preso in un punto: $B$ cambia con $r$, bisogna integrare.