Esercizio 34solenoide avvolto con un filo dato

Testo (II appello, 10 febbraio 2021, problema 2). Un filo elettrico di sezione circolare di raggio $a = 0{,}1\ \text{mm}$ e resistività $\rho = 10^{-8}\ \Omega\,\text{m}$ viene avvolto su se stesso per formare un solenoide. Si assume per semplicità che quest'ultimo si possa approssimare come un solenoide ideale composto di $N$ spire di raggio $b = 2\ \text{cm}$. I due capi del filo vengono poi connessi a un generatore di f.e.m. $\mathcal E_0 = 3\ \text{V}$.

1. Calcolare la lunghezza totale $\ell$ del filo, se la corrente dopo un periodo di transizione approssima il valore asintotico $i = 2{,}5\ \text{A}$.
2. Se la lunghezza della porzione di filo non usata per formare il solenoide è trascurabile, calcolare il numero di spire $N$ del solenoide.
3. Quanto vale il campo magnetico $B$ all'interno del solenoide?
4. Il generatore viene poi rimosso e i due capi del filo connessi istantaneamente. Calcolare quanta energia viene dissipata.

Teoria: Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di AmpèreLe linee del campo magnetico sono chiuse: il flusso di B attraverso qualunque superficie chiusa è nullo (div B = 0, non esistono monopoli). La circuitazione di B lungo una linea chiusa vale μ0 per la corrente concatenata (teorema di Ampère, rot B = μ0 j). Con la simmetria giusta Ampère dà subito il campo: filo spesso, solenoide indefinito B = μ0 n i (uniforme dentro, nullo fuori), toroide B = μ0 N i/2πr.Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère →, Corrente elettrica e legge di OhmLa corrente i = dq/dt è la carica che attraversa una sezione per unità di tempo; la densità di corrente j = n q v_d lega la corrente al moto di deriva delle cariche. La carica si conserva (equazione di continuità). Nei conduttori ohmici j = σE, cioè V = R i con R = ρ ℓ/S; la potenza dissipata per effetto Joule è P = R i².Corrente elettrica e legge di Ohm →, Autoinduzione, circuiti RL ed energia magneticaLa corrente di un circuito produce un flusso concatenato con il circuito stesso, Φ = L i; L (induttanza, in henry) dipende solo dalla geometria: per un solenoide L = μ0 n² S ℓ. Se la corrente cambia nasce una f.e.m. autoindotta −L di/dt che si oppone alla variazione. In un circuito RL la corrente cresce come i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)) e si spegne come i0 e^(−t/τ), con τ = L/R. Un induttore percorso da corrente immagazzina l'energia ½ L i², distribuita nel campo con densità u = B²/2μ0.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica → (punti 1 e 4).

1) Lunghezza del filo

Il solenoide è un circuito RL: una resistenza (quella del filo) e un'induttanza (il solenoide). Dopo il transitorio di accensione la corrente è costante, l'induttanza non ha più effetto (regime di un circuito RLA corrente costante la f.e.m. autoindotta −L di/dt è nulla: l'induttore si comporta come un filo e la corrente è ℰ/R.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica →) e la corrente è fissata solo dalla resistenza:

$$i = \frac{\mathcal E_0}{R}, \qquad R = \rho\,\frac{\ell}{\pi a^2}$$

(seconda legge di Ohm con sezione $\pi a^2$). Ricavando $\ell$:

$$\ell = \frac{\mathcal E_0\,\pi a^2}{\rho\,i} = \frac{3 \cdot \pi \cdot 10^{-8}}{10^{-8} \cdot 2{,}5} = 3{,}77\ \text{m}$$

e la resistenza è $R = \mathcal E_0/i = 1{,}2\ \Omega$.

2) Numero di spire

Ogni spira è una circonferenza di raggio $b$, lunga $2\pi b$; tutto il filo è usato per le spire:

$$N = \frac{\ell}{2\pi b} = \frac{3{,}77}{2\pi \cdot 0{,}02} = \frac{3{,}77}{0{,}1257} = 30$$

3) Campo dentro il solenoide

Per un solenoide ideale $B = \mu_0 n i$, con $n$ numero di spire per unità di lunghezza (solenoide indefinitoCon Ampère su un rettangolo a cavallo dell'avvolgimento: B = μ0 n i, uniforme dentro e nullo fuori.Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère →). Serve la lunghezza del solenoide: le spire sono avvolte una accanto all'altra, e ogni spira occupa uno spessore uguale al diametro del filo, $2a$. Quindi il solenoide è lungo $h = 2aN$ e

$$n = \frac{N}{h} = \frac{1}{2a} = \frac{1}{2 \cdot 10^{-4}} = 5000\ \text{spire/m}$$

$$B = \mu_0\,\frac{i}{2a} = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 5000 \cdot 2{,}5 = 1{,}57 \cdot 10^{-2}\ \text{T} = 15{,}7\ \text{mT}$$

Il campo non dipende dal numero di spire né dal raggio, ma solo da quanto sono fitte: un avvolgimento con filo più sottile darebbe un campo più intenso a parità di corrente.

(Il solenoide è lungo $h = 2 \cdot 10^{-4} \cdot 30 = 6\ \text{mm}$, meno del suo raggio di $2\ \text{cm}$: in realtà è più una bobina piatta che un solenoide "indefinito". Il testo chiede esplicitamente di trattarlo come ideale.)

4) Energia dissipata quando si cortocircuita

Tolto il generatore e collegati i capi, la corrente non si annulla di colpo: l'induttanza la mantiene e la fa decrescere esponenzialmente con costante di tempo $L/R$. Durante questa scarica tutta l'energia magnetica immagazzinata nel solenoide si dissipa per effetto Joule nella resistenza del filo. Basta quindi calcolare quell'energia.

Induttanza del solenoide. Il flusso concatenato con le $N$ spire è $N \cdot B \cdot \pi b^2$, e $L = N B \pi b^2/i$:

$$L = \mu_0\,\frac{N^2}{h}\,\pi b^2 = \mu_0\,\frac{N\,\pi b^2}{2a} = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \frac{30 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 10^{-4}}{2 \cdot 10^{-4}} = 2{,}37 \cdot 10^{-4}\ \text{H}$$

Energia:

$$U_B = \tfrac12 L i^2 = \tfrac12 \cdot 2{,}37 \cdot 10^{-4} \cdot 2{,}5^2 = 7{,}4 \cdot 10^{-4}\ \text{J}$$

Controllo con la densità di energia. L'energia magnetica si può anche calcolare come densità $\frac{B^2}{2\mu_0}$ per il volume interno del solenoide, $h\pi b^2$:

$$U_B = \frac{B^2}{2\mu_0}\,h\pi b^2 = \frac{(1{,}57 \cdot 10^{-2})^2}{2 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7}} \cdot 6 \cdot 10^{-3} \cdot \pi \cdot 4 \cdot 10^{-4} = 98 \cdot 7{,}54 \cdot 10^{-6} = 7{,}4 \cdot 10^{-4}\ \text{J}\ ✓$$

La costante di tempo della scarica è $L/R = 2{,}37 \cdot 10^{-4}/1{,}2 = 0{,}2\ \text{ms}$.

Verifica numerica

import numpy as np
mu0 = 4e-7*np.pi
a, rho, b, E0, i = 1e-4, 1e-8, 0.02, 3, 2.5
l = E0*np.pi*a**2/(rho*i); N = l/(2*np.pi*b)
B = mu0*i/(2*a); L = mu0*N*np.pi*b**2/(2*a)
print(l, N, B)                                        # 3.77 m, 30, 0.0157 T
print(L, 0.5*L*i**2, B**2/(2*mu0)*2*a*N*np.pi*b**2)   # 2.37e-4 H, 7.4e-4 J, 7.4e-4 J

Risultati

Errori comuni

• Includere l'induttanza nella corrente di regime: a corrente costante l'induttore non conta.
• Prendere $n = N$ o usare il raggio delle spire per la lunghezza del solenoide: la lunghezza è data dallo spessore del filo, $2a$ per spira.
• Pensare che, tolto il generatore, la corrente si fermi subito: l'energia magnetica deve dissiparsi nella resistenza.