Esercizio 35filo avvolto un giro e mezzo con tratti rettilinei

Testo (II appello, 14 febbraio 2020, problema 2). Un filo è avvolto come in figura, facendo un giro e mezzo di raggio $R = 3{,}7\ \text{cm}$, prima di uscire di nuovo in modo rettilineo. La circuitazione del campo magnetico lungo la linea $\Gamma$ di figura vale $\Lambda_\Gamma = 9 \cdot 10^{-7}\ \text{T m}$.

a) Quanta corrente $i$ scorre nel circuito? b) Qual è il valore del modulo del campo magnetico $B$ nel centro $O$ della spira circolare? Per il calcolo si utilizzi l'angolo $\theta_0$ della figura. c) Un piccolo dipolo magnetico $m = 10^{-3}\ \text{A m}^2$ viene tenuto al centro della spira con una inclinazione del suo momento di dipolo magnetico di $\pi$ rispetto al campo. Rilasciandolo, oscilla di moto armonico. Sapendo che ha un momento di inerzia $I = 7{,}7 \cdot 10^{-9}\ \text{kg m}^2$, qual è la sua massima velocità angolare $\omega$?

(Nel testo originale l'unità del momento magnetico è scritta "T m²", un refuso: il momento magnetico si misura in $\text{A m}^2$.)

La figura, a parole: una circonferenza di raggio $R$ centrata in $O$, percorsa dal filo per un giro e mezzo (sul semicerchio sinistro ci sono quindi due avvolgimenti sovrapposti). Dal punto più alto della circonferenza il filo prosegue in linea retta verso destra per un tratto $2R$, scende verticalmente per $2R$ e torna verso sinistra per $2R$ fino al punto più basso della circonferenza, chiudendo il circuito. Il lato verticale sta quindi a distanza $2R$ da $O$, i due lati orizzontali a distanza $R$. $\theta_0$ è l'angolo, nel vertice in alto a destra, tra il lato orizzontale e la congiungente con $O$: $\tan\theta_0 = R/2R = 0{,}5$. La linea $\Gamma$ gira attorno al filo sul lato sinistro della circonferenza. Nel lato verticale la corrente scende.

Teoria: Prima legge di Laplace e legge di Biot-SavartOgni tratto di filo percorso da corrente produce un campo dB = (μ0/4π) i dl × u_r / r² (prima legge elementare di Laplace). Integrando: filo rettilineo indefinito B = μ0 i/2πR (Biot-Savart), con linee di campo circolari; spira circolare al centro B = μ0 i/2R, sull'asse uguale al campo di un dipolo magnetico lontano. Due fili paralleli si attraggono se le correnti sono concordi, con forza per unità di lunghezza μ0 i1 i2/2πd.Prima legge di Laplace e legge di Biot-Savart →, Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di AmpèreLe linee del campo magnetico sono chiuse: il flusso di B attraverso qualunque superficie chiusa è nullo (div B = 0, non esistono monopoli). La circuitazione di B lungo una linea chiusa vale μ0 per la corrente concatenata (teorema di Ampère, rot B = μ0 j). Con la simmetria giusta Ampère dà subito il campo: filo spesso, solenoide indefinito B = μ0 n i (uniforme dentro, nullo fuori), toroide B = μ0 N i/2πr.Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère →, Forza magnetica su un conduttore e momento su una spiraSu un tratto di filo percorso da corrente agisce la forza dF = i dl × B (seconda legge elementare di Laplace); su un filo rettilineo in campo uniforme F = i l B sinθ. Nell'effetto Hall la forza sui portatori produce una tensione trasversale che misura B. Una spira in un campo uniforme non sente forza totale ma un momento M = m × B, con momento magnetico m = i S n; l'energia è U = −m·B. Su questo funzionano galvanometro e motore elettrico.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira →.

a) Corrente dalla circuitazione

La linea $\Gamma$ circonda il filo nel tratto sinistro della circonferenza, dove i giri sono due: la superficie che ha $\Gamma$ come bordo è attraversata due volte dalla corrente, nello stesso verso. Per il teorema di AmpèreLa circuitazione di B vale μ0 per le correnti concatenate; un filo che attraversa la superficie due volte nello stesso verso conta due volte.Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère →:

$$\Lambda_\Gamma = \mu_0 \cdot 2i \quad\Longrightarrow\quad i = \frac{\Lambda_\Gamma}{2\mu_0} = \frac{9 \cdot 10^{-7}}{2 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7}} = 0{,}358\ \text{A}$$

b) Campo nel centro $O$

Il campo in $O$ è la somma dei contributi dei pezzi del circuito, calcolati con la prima legge di LaplaceTratto rettilineo visto da distanza d sotto gli angoli α1 e α2 dalla perpendicolare: B = μ0 i (sinα1 + sinα2)/(4πd). Spira al centro: μ0 i/2R.Prima legge di Laplace e legge di Biot-Savart →. Conviene la grandezza

$$\frac{\mu_0 i}{4\pi R} = \frac{10^{-7} \cdot 0{,}358}{0{,}037} = 9{,}68 \cdot 10^{-7}\ \text{T}$$

e gli angoli: la congiungente di $O$ con i vertici di destra forma con la perpendicolare ai lati orizzontali un angolo $\alpha$ con $\sin\alpha = \frac{2R}{\sqrt{5}R} = \cos\theta_0 = 0{,}894$, e con la perpendicolare al lato verticale un angolo con seno $\frac{R}{\sqrt5 R} = \sin\theta_0 = 0{,}447$.

Lato orizzontale superiore (distanza $R$ da $O$): va dal punto più alto della circonferenza, che è il piede della perpendicolare da $O$ ($\alpha_1 = 0$), al vertice ($\sin\alpha_2 = \cos\theta_0$):

$$B_1 = \frac{\mu_0 i}{4\pi R}\cos\theta_0 = 9{,}68 \cdot 10^{-7} \cdot 0{,}894 = 8{,}66 \cdot 10^{-7}\ \text{T}$$

Lato verticale (distanza $2R$), simmetrico rispetto al piede della perpendicolare, visto sotto due angoli con seno $\sin\theta_0$:

$$B_2 = \frac{\mu_0 i}{4\pi(2R)}\cdot 2\sin\theta_0 = \frac{9{,}68 \cdot 10^{-7}}{2}\cdot 0{,}894 = 4{,}33 \cdot 10^{-7}\ \text{T}$$

Lato orizzontale inferiore: uguale al superiore per simmetria, $B_3 = 8{,}66 \cdot 10^{-7}\ \text{T}$.

Il giro e mezzo di circonferenza: un arco di angolo $\varphi = 3\pi$ visto dal centro, cioè una volta e mezza il campo di una spira:

$$B_4 = \frac32\cdot\frac{\mu_0 i}{2R} = 1{,}5 \cdot \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 0{,}358}{0{,}074} = 9{,}12 \cdot 10^{-6}\ \text{T}$$

Versi. Nel lato verticale la corrente scende e $O$ sta alla sua sinistra: con la mano destra (pollice verso il basso) il campo in $O$ è entrante nel foglio. Il circuito gira tutto attorno a $O$ nello stesso verso (orario), quindi anche gli altri contributi sono entranti e si sommano i moduli:

$$B = B_1 + B_2 + B_3 + B_4 = (0{,}866 + 0{,}433 + 0{,}866 + 9{,}12) \cdot 10^{-6} = 1{,}13 \cdot 10^{-5}\ \text{T}$$

L'avvolgimento circolare dà più dell'$80\%$ del campo: è più vicino ed è "piegato" attorno a $O$.

c) Velocità angolare massima del dipolo

L'energia. L'energia del dipoloU = −m·B = −mB cosθ: massima con il momento antiparallelo al campo, minima parallelo.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira → vale $U(\theta) = -mB\cos\theta$. Il dipolo parte (fermo) da $\theta = \pi$, antiparallelo al campo, dove l'energia è massima, $+mB$. Lasciato libero, ruota verso l'allineamento; la velocità angolare è massima quando passa per $\theta = 0$, dove l'energia è minima, $-mB$. Tutta la differenza diventa energia cinetica di rotazione:

$$\frac12 I\omega_{\max}^2 = U(\pi) - U(0) = 2mB \quad\Longrightarrow\quad \omega_{\max} = \sqrt{\frac{4mB}{I}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 10^{-3} \cdot 1{,}13 \cdot 10^{-5}}{7{,}7 \cdot 10^{-9}}} = 2{,}42\ \text{rad/s}$$

Due precisazioni sul testo.

• A $\theta = \pi$ esatto il momento meccanico $mB\sin\theta$ è nullo: è un equilibrio instabile, e il dipolo parte solo se è inclinato anche di pochissimo. Si intende "quasi $\pi$".
• Con un'ampiezza così grande il moto è un'oscillazione da una parte all'altra (come un pendolo lasciato quasi dalla verticale in alto), non un moto armonico: armonico è solo per piccole oscillazioni attorno a $\theta = 0$, con pulsazione $\sqrt{mB/I} = 1{,}21\ \text{rad/s}$.

(La soluzione ufficiale pone $\frac12 I\omega^2 = U(\pi) = mB$ e trova $1{,}71\ \text{rad/s}$: così misura l'energia rispetto alla posizione $\theta = \pi/2$, cioè trova la velocità angolare quando il dipolo è perpendicolare al campo, non la massima.)

Verifica numerica

import numpy as np
mu0 = 4e-7*np.pi
R, Lam, m, I = 0.037, 9e-7, 1e-3, 7.7e-9
i = Lam/(2*mu0); k = mu0*i/(4*np.pi*R); th0 = np.arctan(0.5)
B1 = k*np.cos(th0); B2 = mu0*i/(4*np.pi*2*R)*2*np.sin(th0); B4 = 1.5*mu0*i/(2*R)
B = 2*B1 + B2 + B4
print(i, B1, B2, B4, B)                         # 0.358 A, 8.66e-7, 4.33e-7, 9.12e-6, 1.13e-5 T
print(np.sqrt(4*m*B/I), np.sqrt(m*B/I))         # 2.42 rad/s, 1.21 rad/s

Risultati

Errori comuni

• Contare la corrente una volta sola nella circuitazione: dove i giri sono due, la linea concatena $2i$.
• Usare la formula del filo indefinito per i lati rettilinei: sono segmenti finiti, servono gli angoli.
• Prendere $mB$ invece di $2mB$ come energia disponibile: il dipolo passa da $+mB$ a $-mB$.