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Note per Studenti Esercizio 28 · ione sospeso tra gravità e campo magnetico

Esercizio 28ione sospeso tra gravità e campo magnetico

In questa pagina 7

Testo (esercizio 1 del prof, preparazione al compitino). In un sistema di riferimento cartesiano, lo ione di una molecola molto grande, di massa m=30 000⋅10−27 kgm = 30\,000 \cdot 10^{-27}\ \text{kg} e carica pari a 5 volte quella dell'elettrone, si muove con velocità v⃗=(0,v,0)\vec v = (0, v, 0) con v>0v > 0, parallelamente all'asse yy. È immerso inoltre in un campo magnetico B⃗=(B,0,0)\vec B = (B, 0, 0) diretto lungo l'asse xx, del valore di 1 T1\ \text{T}. La gravità agisce sullo ione in modo che la sua accelerazione totale sia nulla, a⃗=0\vec a = 0.

a) Fare un disegno chiaro che indichi in quale direzione sono dirette le forze presenti. b) Si calcoli la forza dovuta al campo magnetico, con il segno corretto, passando dalla definizione di prodotto vettoriale. c) Si calcolino la velocità dello ione e la sua energia cinetica.

Teoria: Campo magnetico e forza di LorentzIl campo magnetico B si definisce dalla forza che agisce su una carica in moto: F = q v × B (forza di Lorentz), perpendicolare alla velocità, quindi non compie lavoro e non cambia l'energia cinetica. Una carica con velocità perpendicolare a B percorre una circonferenza di raggio r = mv/qB con pulsazione ω = qB/m; con una componente parallela il moto è un'elica. Applicazioni: selettore di velocità, spettrometro di massa.Campo magnetico e forza di Lorentz →.

Dati

  • m=3,0⋅10−23 kgm = 3{,}0 \cdot 10^{-23}\ \text{kg} (circa 18 00018\,000 volte la massa di un protone: una macromolecola);
  • carica: "5 volte quella dell'elettrone", quindi q=−5e=−8,0⋅10−19 Cq = -5e = -8{,}0 \cdot 10^{-19}\ \text{C} (negativa);
  • B⃗=(1 T) u^x\vec B = (1\ \text{T})\,\hat u_x, v⃗=v u^y\vec v = v\,\hat u_y;
  • l'asse zz è verticale, verso l'alto: la gravità è F⃗g=−mg u^z\vec F_g = -mg\,\hat u_z.

a) Le forze

Agiscono due forze: il peso, verso il basso (−z-z), e la forza magnetica. Perché l'accelerazione sia nulla, la forza magnetica deve essere uguale e opposta al peso: verticale, verso l'alto (+z+z). Il disegno: lo ione si muove lungo +y+y, il campo punta lungo +x+x, il peso verso −z-z e la forza magnetica verso +z+z.

Bisogna però verificare che la forza magnetica possa davvero puntare verso l'alto con questi versi di v⃗\vec v e B⃗\vec B: lo si fa al punto b).

b) La forza magnetica dal prodotto vettoriale

La forza di LorentzF = q v × B: perpendicolare a v e a B, verso dato dalla regola della mano destra, invertito per cariche negative.Campo magnetico e forza di Lorentz → è F⃗=q v⃗×B⃗\vec F = q\,\vec v \times \vec B. Il prodotto vettoriale con il determinante:

v⃗×B⃗=∣u^xu^yu^z0v0B00∣=u^x(v⋅0−0⋅0)−u^y(0⋅0−0⋅B)+u^z(0⋅0−v⋅B)=−vB u^z\vec v \times \vec B = \begin{vmatrix} \hat u_x & \hat u_y & \hat u_z \\ 0 & v & 0 \\ B & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat u_x(v \cdot 0 - 0 \cdot 0) - \hat u_y(0 \cdot 0 - 0 \cdot B) + \hat u_z(0 \cdot 0 - v \cdot B) = -vB\,\hat u_z

(equivalentemente: u^y×u^x=−u^z\hat u_y \times \hat u_x = -\hat u_z.) Moltiplicando per la carica negativa q=−5eq = -5e:

F⃗m=(−5e)(−vB) u^z=+5evB u^z\vec F_m = (-5e)(-vB)\,\hat u_z = +5evB\,\hat u_z

La forza punta verso l'alto: la configurazione funziona proprio perché la carica è negativa. Con una carica positiva la forza punterebbe verso il basso e si sommerebbe al peso.

c) Velocità ed energia cinetica

Equilibrio (a⃗=0\vec a = 0): forza magnetica uguale al peso in modulo,

5evB=mg⟹v=mg5eB=3,0⋅10−23⋅9,818,0⋅10−19⋅1=3,7⋅10−4 m/s5evB = mg \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{mg}{5eB} = \frac{3{,}0 \cdot 10^{-23} \cdot 9{,}81}{8{,}0 \cdot 10^{-19} \cdot 1} = 3{,}7 \cdot 10^{-4}\ \text{m/s}

Meno di mezzo millimetro al secondo: il peso di una molecola è piccolissimo, e basta una velocità minima perché la forza magnetica lo compensi. (Su un elettrone o un protone, che pesano ancora meno, la gravità è sempre trascurabile rispetto alle forze elettromagnetiche.)

Energia cinetica:

K=12mv2=12⋅3,0⋅10−23⋅(3,7⋅10−4)2=2,0⋅10−30 JK = \tfrac12 m v^2 = \tfrac12 \cdot 3{,}0 \cdot 10^{-23} \cdot (3{,}7 \cdot 10^{-4})^2 = 2{,}0 \cdot 10^{-30}\ \text{J}

L'equilibrio dura? Con accelerazione nulla la velocità resta costante, quindi anche la forza magnetica resta la stessa: lo ione procede in linea retta lungo yy a velocità costante, sospeso. È un equilibrio delicato: se la velocità fosse un po' diversa, la forza non bilancerebbe più il peso e lo ione comincerebbe a curvare.

Verifica numerica

python
import numpy as np
m, q, B, g = 3e-23, -5*1.6e-19, 1.0, 9.81
v = m*g/(abs(q)*B)
F = q*np.cross([0, v, 0], [B, 0, 0])
print(v, F, m*g)                  # 3.7e-4 m/s, [0 0 +2.94e-22] N, 2.94e-22 N
print(0.5*m*v**2)                 # 2.0e-30 J

Risultati

grandezza valore
v⃗×B⃗\vec v \times \vec B −vB u^z-vB\,\hat u_z
forza magnetica +5evB u^z+5evB\,\hat u_z, verso l'alto (carica negativa)
velocità 3,7⋅10−4 m/s3{,}7 \cdot 10^{-4}\ \text{m/s}
energia cinetica 2,0⋅10−30 J2{,}0 \cdot 10^{-30}\ \text{J}

Errori comuni

  • Prendere la carica positiva: "5 volte quella dell'elettrone" vuol dire −5e-5e, e il segno decide il verso della forza.
  • Sbagliare l'ordine nel prodotto vettoriale: v⃗×B⃗≠B⃗×v⃗\vec v \times \vec B \ne \vec B \times \vec v.
  • Dimenticare la gravità in un problema magnetico: qui è proprio lei a fissare la velocità.

Teoria collegata