Esercizio 49onda piana rivelata con una spira e assorbita da un disco

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Testo (prova scritta del 13 settembre 2019, temi del Dipartimento di Fisica, problema 3). Un'onda elettromagnetica piana si propaga nel verso positivo dell'asse $x$ di un sistema di riferimento cartesiano nella cui origine è posta una spira circolare di raggio $a = 10\ \text{cm}$ , resistenza $R = 8\ \Omega$ e induttanza trascurabile. Disponendo la spira con il versore normale di riferimento coincidente con quello dell'asse $z$ , si misura nella spira una corrente sinusoidale $I(t) = I_0\cos(2\pi\nu t)$ , con $I_0 = 1{,}5\ \text{A}$ e $\nu = 10^8\ \text{Hz}$ . Non si osserva invece passaggio di corrente se si dispone la spira con il suo versore normale coincidente con quello dell'asse $y$ .

(a) Calcolare il rapporto $r = a/\lambda$ tra il raggio della spira e la lunghezza d'onda $\lambda$ della radiazione. (b) Ricordando il risultato del punto precedente, scrivere l'espressione delle tre componenti $(E_x, E_y, E_z)$ e $(B_x, B_y, B_z)$ dei campi elettrico e magnetico dell'onda in funzione delle coordinate e del tempo, esprimendo le ampiezze, il numero d'onda $k$ e la pulsazione $\omega$ in funzione di $a$ , $R$ , $I_0$ e $\nu$ , e valutare numericamente i valori massimi $E_{\max}$ e $B_{\max}$ di $|\vec E|$ e $|\vec B|$ . (c) Se al posto della spira si pone ora nell'origine un disco sottile, sempre di raggio $a$ , di materiale perfettamente assorbente, con il versore normale formante un angolo $\theta = \pi/3$ con l'asse $x$ , quanta energia $\Delta U$ si deposita sul disco in un intervallo di tempo $\Delta t = 2\ \text{s}$ ? (d) Che forza $\vec F$ deve esercitare (in modulo, direzione e verso) il supporto del disco per mantenere il disco fermo nell'origine?

Teoria: Onde elettromagnetiche, Legge di Faraday-Neumann-Lenz.

(a) Raggio della spira e lunghezza d'onda

$\lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{3{,}00 \cdot 10^8}{10^8} = 3{,}00\ \text{m}, \qquad r = \frac{a}{\lambda} = \frac{0{,}1}{3} = 0{,}033$

La spira è trenta volte più piccola della lunghezza d'onda. Conseguenza (che serve al punto b): in ogni istante il campo dell'onda è praticamente lo stesso in tutti i punti della spira, e il flusso si calcola come campo al centro per area.

Pulsazione e numero d'onda: $\omega = 2\pi\nu = 6{,}28 \cdot 10^8\ \text{rad/s}$ , $k = \omega/c = 2\pi/\lambda = 2{,}09\ \text{rad/m}$ .

(b) I campi dell'onda

Cosa sappiamo dalla trasversalità. L'onda viaggia lungo $x$ : per le proprietà dell'onda piana $E_x = 0$ e $B_x = 0$ . Restano da trovare le componenti $y$ e $z$ .

Cosa dice la spira. La spira "misura" il flusso del campo magnetico attraverso di sé (legge di Faraday): con la normale lungo $z$ conta $B_z$ , con la normale lungo $y$ conta $B_y$ .

Normale lungo $y$ : nessuna corrente, quindi nessuna f.e.m., quindi $B_y$ non cambia nel tempo; per un'onda significa $B_y = 0$ .
Normale lungo $z$ : la corrente indotta è $I = \mathcal E/R$ (induttanza trascurabile), con $\mathcal E = -\frac{d\Phi}{dt} = -\pi a^2\frac{\partial B_z}{\partial t}$ calcolata nell'origine:

$R\,I_0\cos(\omega t) = -\pi a^2\,\frac{\partial B_z(0, t)}{\partial t}$

Integrando nel tempo (senza costanti: un'onda non ha una parte costante):

$B_z(0, t) = -\frac{R I_0}{\pi a^2\,\omega}\,\sin(\omega t)$

Siccome l'onda viaggia verso $+x$ , il campo in un punto qualsiasi dipende da $kx - \omega t$ , e $-\sin(\omega t) = \sin(kx - \omega t)$ in $x = 0$ :

$B_z(x, t) = B_{\max}\,\sin(kx - \omega t), \qquad B_{\max} = \frac{R I_0}{\pi a^2\,\omega} = \frac{8 \cdot 1{,}5}{\pi \cdot 0{,}01 \cdot 6{,}28 \cdot 10^8} = 6{,}08 \cdot 10^{-7}\ \text{T}$

Il campo elettrico. È perpendicolare a $\vec B$ (quindi lungo $y$ ), con $E = cB$ e verso tale che $\vec E \times \vec B$ punti lungo $+x$ . Siccome $\hat u_y \times \hat u_z = \hat u_x$ , $E_y$ e $B_z$ devono avere lo stesso segno:

$E_y(x, t) = E_{\max}\,\sin(kx - \omega t), \qquad E_{\max} = c\,B_{\max} = \frac{c\,R\,I_0}{\pi a^2\,\omega} = 182\ \text{V/m}$

Riepilogo:

$\vec E = \big(0,\ E_{\max}\sin(kx - \omega t),\ 0\big), \qquad \vec B = \big(0,\ 0,\ B_{\max}\sin(kx - \omega t)\big)$

con $\omega = 2\pi\nu$ e $k = 2\pi\nu/c$ . L'onda è polarizzata linearmente lungo $y$ .

(c) Energia assorbita dal disco

Il vettore di Poynting:

$\vec S = \frac{\vec E \times \vec B}{\mu_0} = \frac{E_{\max}B_{\max}}{\mu_0}\sin^2(kx - \omega t)\,\hat u_x = \varepsilon_0 c\,E_{\max}^2\sin^2(kx - \omega t)\,\hat u_x$

con valore massimo $S_{\max} = \varepsilon_0 c E_{\max}^2 = 8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot 182^2 = 88{,}2\ \text{W/m}^2$ e media (l'intensità) $I = S_{\max}/2 = 44{,}1\ \text{W/m}^2$ .

Potenza intercettata. Il disco, inclinato di $\theta = 60°$ rispetto alla direzione di propagazione, intercetta il flusso di $\vec S$ attraverso la sua area, $\pi a^2\cos\theta$ (la sua "ombra" vista dall'onda):

$\langle P\rangle = I\,\pi a^2\cos\theta = 44{,}1 \cdot 0{,}0314 \cdot 0{,}5 = 0{,}693\ \text{W}$

Energia in $2\ \text{s}$ . L'intervallo contiene $2 \cdot 10^8$ periodi: si può usare il valore medio.

$\Delta U = \langle P\rangle\,\Delta t = \pi a^2\cos\theta\,\frac{S_{\max}}{2}\,\Delta t = 0{,}693 \cdot 2 = 1{,}39\ \text{J}$

(d) Forza del supporto

Il disco assorbe completamente l'onda, quindi ne assorbe anche la quantità di moto: per un'onda piana, la quantità di moto trasportata è l'energia divisa per $c$ , diretta lungo la propagazione. La forza media che l'onda esercita sul disco è la quantità di moto assorbita per unità di tempo (la pressione di radiazione per l'area intercettata):

$\vec F_{\text{onda}} = \frac{\langle P\rangle}{c}\,\hat u_x = \frac{0{,}693}{3 \cdot 10^8}\,\hat u_x = 2{,}31 \cdot 10^{-9}\ \text{N}\ \hat u_x$

La forza dell'onda è lungo $x$ (la direzione di propagazione), non lungo la normale al disco, perché la quantità di moto assorbita è quella dell'onda. Il supporto deve esercitare la forza opposta:

$\vec F = -2{,}31 \cdot 10^{-9}\ \text{N}\ \hat u_x$

Due nanonewton: la pressione di radiazione è minuscola per le intensità ordinarie.

Verifica numerica

python

import numpy as np
mu0 = 4e-7*np.pi; eps0 = 8.854e-12; c = 1/np.sqrt(mu0*eps0)
a, R, I0, nu, th, dt = 0.1, 8, 1.5, 1e8, np.pi/3, 2
w = 2*np.pi*nu; lam = c/nu
print(lam, a/lam, w, w/c)                       # 3.0 m, 0.033, 6.28e8 rad/s, 2.09 rad/m
Bmax = R*I0/(np.pi*a**2*w); Emax = c*Bmax
Smax = eps0*c*Emax**2
print(Emax, Bmax, Smax)                         # 182 V/m, 6.08e-7 T, 88.2 W/m^2
P = np.pi*a**2*np.cos(th)*Smax/2
print(P, P*dt, P/c)                             # 0.693 W, 1.39 J, 2.31e-9 N

Risultati

grandezza	valore
lunghezza d'onda	$3{,}00\ \text{m}$
$a/\lambda$	$0{,}033$
$\omega$ , $k$	$6{,}28 \cdot 10^8\ \text{rad/s}$ , $2{,}09\ \text{rad/m}$
campi	$E_y = E_{\max}\sin(kx - \omega t)$ , $B_z = B_{\max}\sin(kx - \omega t)$ , le altre nulle
$E_{\max}$ , $B_{\max}$	$182\ \text{V/m}$ , $6{,}08 \cdot 10^{-7}\ \text{T}$
intensità	$44{,}1\ \text{W/m}^2$
energia assorbita in $2\ \text{s}$	$1{,}39\ \text{J}$
forza del supporto	$-2{,}31 \cdot 10^{-9}\ \text{N}\ \hat u_x$

Errori comuni

Mettere il campo elettrico lungo $z$ perché la spira con normale $z$ misura corrente: la spira misura il flusso magnetico, quindi dice che $\vec B$ è lungo $z$ , e $\vec E$ è perpendicolare.
Usare $S_{\max}$ invece della media: su $2\ \text{s}$ conta l'intensità, $S_{\max}/2$ .
Dirigere la forza lungo la normale al disco: per un assorbitore perfetto è lungo la direzione di propagazione dell'onda.